Strano sviluppo di Fourier

Jerico999
Nei testi che descrivono la quantizzazione del settore bosonico dell'elettrodinamica quantistica ho sempre trovato uno "strano" sviluppo in serie di Fourier.
Ad esempio qui e qui a pagina 20 è mostrato lo sviluppo in sere nella forma di due coefficienti, l'uno il complesso coniugato dell'altro.
Non riesco a trovare nessuna documentazione che illustri questo tipo di sviluppo.
Ho ipotizzato che usando l'identità [tex]c_n^*=c_{-n}[/tex] per i coefficienti potrei ottenere:

[tex]f(t)=\sum_{n=-\infty }^\infty {c_n e^{int}}=\sum_{n=0 }^\infty {c_n e^{int}}+\sum_{n=-\infty }^{-1} {c_n e^{int}}=\sum_{n=0 }^\infty {c_n e^{int}}+\sum_{n=1 }^\infty {c_n^* e^{-int}}[/tex]

il che si avvicina a quello che voglio se non fosse per la seconda sommatoria che non va da 0.
Mancherebbe un termine [tex]c_0^*[/tex] che se fosse nullo potrei aggiungerlo tranquillamente e arrivare a

[tex]\sum_{n=0 }^\infty {c_n e^{int}}+\sum_{n=1 }^\infty {c_n^* e^{-int}}+c_0^*=\sum_{n=0 }^\infty {c_n e^{int}}+\sum_{n=0 }^\infty {c_n^* e^{-int}}=\sum_{n=0 }^\infty {(c_n e^{int}+c_n^* e^{-int})}[/tex]

Non so, forse il fatto che la funzione da sviluppare sia un'onda determina che [tex]c_0^*[/tex] sia identicamente nullo...

Risposte
yoshiharu
"Jerico999":

Ho ipotizzato che usando l'identità [tex]c_n^*=c_{-n}[/tex] per i coefficienti


Questa identita' e' dovuta al fatto che il campo che stai sviluppando e' reale (nel senso di autoaggiunto).

potrei ottenere:

[tex]f(t)=\sum_{n=-\infty }^\infty {c_n e^{int}}=\sum_{n=0 }^\infty {c_n e^{int}}+\sum_{n=-\infty }^{-1} {c_n e^{int}}=\sum_{n=0 }^\infty {c_n e^{int}}+\sum_{n=1 }^\infty {c_n^* e^{-int}}[/tex]

il che si avvicina a quello che voglio se non fosse per la seconda sommatoria che non va da 0.
Mancherebbe un termine [tex]c_0^*[/tex]


Non ho capito molto bene il tuo dubbio, tu di preciso cosa vorresti ottenere?
Tieni comunque conto che il modo zero fa un po' gioco a se', visto che nella relazione di prima viene mappato in se' stesso dalla coniugazione hermitiana.

Jerico999
"yoshiharu":

Non ho capito molto bene il tuo dubbio, tu di preciso cosa vorresti ottenere?

Voglio ottenere questo
[tex]f(t)=\sum_{n=0 }^\infty {(c_n e^{int}+c_n^* e^{-int})}[/tex]
che dovrebbe essere lo sviluppo che compare alla pagina 20 di questo pdf:
http://www.roma1.infn.it/people/luci/fn ... eorica.pdf

Jerico999
http://www.dmf.unisalento.it//~coriano/tesi/marzo.pdf
pagina 8:

Le oscillazioni normali forniscono una base per il potenziale vettore A da
noi cercato, così che questo può essere espresso attraverso una loro sovrappo-
sizione con coefficienti di Fourier dipendenti dal tempo. Tenendo conto che
questi sono esponenziali complessi uno sviluppo che ci assicuri la realtà del
potenziale vettore è ottenuto nella maniera seguente
:


Cioè, in pratica quell'espressione è solo un escamotage per avere una quantità sicuramente reale?

yoshiharu
"Jerico999":

Voglio ottenere questo
[tex]f(t)=\sum_{n=0 }^\infty {(c_n e^{int}+c_n^* e^{-int})}[/tex]
che dovrebbe essere lo sviluppo che compare alla pagina 20 di questo pdf:
http://www.roma1.infn.it/people/luci/fn ... eorica.pdf


Ah, ho capito.
Allora, in generale tu lo sviluppo di Fourier di una equazione come quella di Klein-Gordon lo fai mettendo insieme i termini a energia positiva e quelli a energia negativa. Se il campo e' reale sai che gli operatori di creazione-distruzione della particella sono i coniugati di quelli dell'antiparticella (a parti scambiate).
Nella somma delle dispense che hai linkato si vedono i due contributi (particella e antiparticella). Per esempio nel caso dell'equazione di Dirac avresti i termini relativi agli elettroni e ai positroni.
In pratica prima trovi la soluzione generale espandendo in modi normali, poi imponi le condizioni di realta'.
Vedi che comunque l'ordine nel quale fai queste operazioni non fa una grande differenza, perche' il termine costante che ti preoccupa non dipende nemmeno dal tempo (trattandosi di fotoni).

Jerico999
Allora, io non vedo un percorso logico chiaro che porta a quella scrittura.
Che A sia uguale a quella sommatoria io devo esserne convinto, se leggo "il campo A si può sviluppare in serie di Fourier" mi aspetto che effettuando io stesso un'espansione in serie di Fourier ottenga lo stesso risultato.
A me sembra tanto una cosa costruita ad hoc, la somma di due generiche serie di Fourier l'una il c.c. dell'altra per ottenere una quantità reale, e mi starebbe anche bene, ma non è un asserzione di poco conto, qualche passaggio in più ce lo potevano pure mettere...

yoshiharu
"Jerico999":

A me sembra tanto una cosa costruita ad hoc, la somma di due generiche serie di Fourier l'una il c.c. dell'altra per ottenere una quantità reale, e mi starebbe anche bene, ma non è un asserzione di poco conto, qualche passaggio in più ce lo potevano pure mettere...


No, non e' una cosa ad hoc: hai una equazione lineare, e ne cerchi una soluzione in serie di Fourier; vista la natura dell'equazione esistono soluzioni a energia positiva e soluzioni a energia negativa, e devi mettere tutte insieme: queste normalmente sono antiparticelle l'una dell'altra; nel caso del fotone, imponendo la condizione di realta' (perche' stai cercando un campo reale: e' un'altra condizione che il campo deve soddisfare, oltre all'equazione d'onda, non e' una cosa arbitraria), ottieni che i coefficienti devono soddisfare una certa relazione: altrimenti avresti due set di coefficienti, senza vincoli, cosi' come per esempio per il campo di Dirac.
Se proprio vogliamo, un procedimento che lascia un po' il "senso di vuoto" e' quello che porta alla c.d. "seconda quantizzazione", in cui "promuovi" i coefficienti ad operatori lineari su spazi di Hilbert infinito dimensionali...
Per il resto di fonti (libri, dispense, siti) ce ne sono veramente tanti a disposizione, non tutte della stessa qualita', purtroppo.
Tu che libro/i stai usando, per esempio?

Jerico999
"yoshiharu":

...nel caso del fotone, imponendo la condizione di realta' ...

E' quello che intendevo dire con "ad hoc".
Per come la vedo io:
1) vogliamo che A sia reale
2) la somma tra un numero complesso p+iq e il suo coniugato p-iq è guarda caso un numero reale
3) esprimo questo numero complesso p+iq con una serie di Fourier
4) esprimo il coniugato p-iq semplicemente coniugando la stessa serie di Fourier
5) ficco questa espressione per A nell'equazione di Maxwell per trovare altre informazioni/restrizioni sui coefficienti(per esempio possono essere separati in parte spaziale e temporale).
Se questo discorso fila allora tecnicamente non si è espanso A in serie di Fourier, casomai si è espresso A come un qualcosa che contiene delle serie di Fourier... forse l'equivoco era quello.

Tu che libro/i stai usando, per esempio?

Tutto quello che trovo in rete.

yoshiharu
"Jerico999":

1) vogliamo che A sia reale
2) la somma tra un numero complesso p+iq e il suo coniugato p-iq è guarda caso un numero reale
3) esprimo questo numero complesso p+iq con una serie di Fourier
4) esprimo il coniugato p-iq semplicemente coniugando la stessa serie di Fourier
5) ficco questa espressione per A nell'equazione di Maxwell per trovare altre informazioni/restrizioni sui coefficienti(per esempio possono essere separati in parte spaziale e temporale).
Se questo discorso fila allora tecnicamente non si è espanso A in serie di Fourier, casomai si è espresso A come un qualcosa che contiene delle serie di Fourier... forse l'equivoco era quello.


Ma non e' quello che si fa.
Prima trovi la soluzione dell'equazione come serie di Fourier: l'equazione e' la prima condizione.
Poi imponi la seconda condizione sulla serie di Fourier: che la funzione sia reale; cioe' vincola i modi normali ad avere una certa relazione (cioe' [tex]a_{-k}=a_k^\dagger[/tex]).
Se non imponi la seconda condizione ottieni in un certo senso "il doppio dei gradi di liberta'" (si fa per dire: restano sempre infiniti...), e ottieni operatori di salita-discesa per particelle e antiparticelle che sono indipendenti.
Per quanto riguarda la separazione delle variabili, questa viene dal fatto che stai scrivendo la soluzione piu' generale come combinazione lineare di stati a impulso definito (che poi sono rappresentazioni del gruppo delle permutazioni - da qui il legame con la trasformata/serie di Fourier). Questo lo puoi fare per via della fisica dell'equazione d'onda, cioe' per via della fisica del problema.

Jerico999
Sì ma se non mi scrivi qualche equazione non mi ci fai capire un ca@@o, che ti devo dire...

QUESTA è l'equazione:
[tex]\Box A=0[/tex]
e QUESTA è una serie di Fourier
[tex]\sum_{k=-\infty }^\infty {a(k,t) e^{ikx}}[/tex]
[non funziona \vec{a}, tanto per cambiare]

Ora che diavolo faccio?

yoshiharu
"Jerico999":
Sì ma se non mi scrivi qualche equazione non mi ci fai capire un ca@@o, che ti devo dire...

QUESTA è l'equazione:
[tex]\Box A=0[/tex]
e QUESTA è una serie di Fourier
[tex]\sum_{k=-\infty }^\infty {a(k,t) e^{ikx}}[/tex]
[non funziona \vec{a}, tanto per cambiare]

Ora che diavolo faccio?


Premessa:
poiche' e' tardi, faccio la scelta di ignorare i tuoi toni e far finta che tu abbia posto la tua domanda in maniera civile...

Suppongo che la serie sia in realta' sui tre indici $k_1, k_2, k_3$, e non per $k\in \mathbb Z$. Non cambia una granche', ma meglio precisare.
Se applichi l'operatore [tex]\Box[/tex] alla serie, ottieni un'altra serie, ogni termine della quale e' (in unita' naturali $c=1$)
[tex]( \ddot a(k,t) + k^2 a(k,t) ) e^{ik\cdot x} = 0[/tex]
Elidendo l'inessenziale fattore esponenziale comune, hai una equazione di secondo grado per $a(k,t)$ come funzione del tempo. Essendo di secondo grado hai due soluzioni, una e' detta a energia positiva (relativa all'autovalore $|k|$) e l'altra a energia negativa (relativa all'autovalore $-|k|$).
(Talvolta si usa "frequenza" invece di "energia", per ovvi motivi).
A questo punto hai che per ogni impulso $k_i$ ci sono due soluzioni per $a(k,t)$, il che implica che nella serie ci sono due termini per ogni impulso. I coefficienti di questi termini (cioe' le soluzioni della eq. differenziale ordinaria qui sopra) hanno evoluzione temporale "opposta", cioe' per ogni $k$ uno va come $e^{i|k|t}$ e l'altro come $e^{-i|k|t}$. Usualmente i termini che seguono il primo andamento vengono messi insieme nella componente a energia positiva del campo $A^{(+)}$ e gli altri vengono messi nella componente a energia negativa $A^{(-)}$, quindi hai due serie di Fourier, per tenere conto di tutte le soluzioni.
E in tutto cio' non c'e' niente di ad hoc, visto che stai solo trovando le soluzioni di una famiglia di equazioni differenziali, il tutto secondo manuale.
Poi imponi che il campo sia una funzione reale: questo lo fai perche' stai cercando solo soluzioni reali, perche' il potenziale e.m. e' una funzione reale. Questo ti da' una ulteriore condizione sui coefficienti: quelli della componente positiva sono in corrispondenza di quelli della componente a en. negativa,e la corrispondenza e' quella relazione che gia' conosci. Anche qui non c'e' niente di ad hoc: e' un argomento standard nella teoria delle serie di Fourier, semplice matematica.
Queste cose si trovano scritte per esteso in molti libri e molte dispense, in giro per il mondo: quindi se non credi a me, potrai controllare tutti i dettagli su quei testi.

Jerico999
"yoshiharu":

Premessa:
poiche' e' tardi, faccio la scelta di ignorare i tuoi toni e far finta che tu abbia posto la tua domanda in maniera civile...

I miei toni non sono affatto incivili.
Sono i toni di una persona che è abituata a parlare di matematica tramite la scrittura matematica.

Queste cose si trovano scritte per esteso in molti libri e molte dispense, in giro per il mondo: quindi se non credi a me, potrai controllare tutti i dettagli su quei testi.

Che ci creda o no, in nessuno dei testi che ho trovato in rete vengono illustrati questi passaggi. Un paio te li ho anche linkati: viene fornita quella scrittura con nonchalance o con la motivazione che è "un modo" per assicurarsi della realtà del campo A.
Per non parlare poi dei vari errori esclusivamente ortografici, o di veri e propri azzardi difficilmente giustificabili di cui testi e dispense sono pieni.
Ultima chicca:
http://www.roma1.infn.it/people/dionisi ... icelle.pdf pagina 5.
http://www.roma1.infn.it/people/capone/ ... 10_7_8.pdf pagina 5. Qua c'è pure un errore sul [tex]\Gamma[/tex]...
http://hep.physics.utoronto.ca/~orr/www ... otes17.pdf pagina 2.
La trasformata di Fourier si è magicamente "trasformata" dalla sua classica definizione
[tex]F(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-ixt}\, dt[/tex]
a questo
[tex]F(x)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{ixt}\, dt[/tex]
E va bene che [tex]f(t)[/tex] è nulla per [tex]t<0[/tex], quindi l'integrale lo si può spezzare, ma dato il segno all'esponenziale chiamare quella roba lì "trasformata di Fourier" mi lascia basito.

yoshiharu
"Jerico999":

I miei toni non sono affatto incivili.


Ah, vabbe', se lo dici tu...


Sono i toni di una persona che è abituata a parlare di matematica tramite la scrittura matematica.


Allora come mai non li uso pure io?


Che ci creda o no, in nessuno dei testi che ho trovato in rete vengono illustrati questi passaggi.


Hai provato a farti un giro in qualche biblioteca/libreria e dare un occhiata a qualche libro di carta?
In rete di materiale se ne trova parecchio, ma spesso sono dispense pensate per avere una distribuzione locale.
"Locale" implica che essendo la intended audience composta dagli studenti di quel corso la maggior parte dei dettagli da "Metodi matematici della fisica" fosse gia' nota, e sistemata con tutti i pigreco in quegli altri esami.
Per cui l'estensore delle note poteva per esempio ritenere che il suo collega di "Metodi" avesse fatto un buon lavoro, e che lui non dovesse richiamare le nozioni elementari sulle trasformate di Fourier. A parte gli errori di stampa (che in dispense e appunti che non subiscono un processo di revisione come fanno libri e articoli, per esempio, sono altamente probabili).


http://www.roma1.infn.it/people/dionisi ... icelle.pdf pagina 5.
http://www.roma1.infn.it/people/capone/ ... 10_7_8.pdf pagina 5. Qua c'è pure un errore sul [tex]\Gamma[/tex]...
http://hep.physics.utoronto.ca/~orr/www ... otes17.pdf pagina 2.
La trasformata di Fourier si è magicamente "trasformata" dalla sua classica definizione
[tex]F(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-ixt}\, dt[/tex]
a questo
[tex]F(x)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{ixt}\, dt[/tex]
E va bene che [tex]f(t)[/tex] è nulla per [tex]t<0[/tex], quindi l'integrale lo si può spezzare, ma dato il segno all'esponenziale chiamare quella roba lì "trasformata di Fourier" mi lascia basito.


Questi sono tutti testi che parlano di decadimenti. A parte che su un testo di fisica nucleare in nessun caso uno deve aspettarsi il rigore matematico piu' estremo, dovresti renderti conto che si tratta di un ambito piuttosto particolare.
In quell'ambito, poiche' introducono una ampiezza di decadimento, non e' possibile fare la trasformata di Fourier senza troncare la funzione per tempi negativi, il che ha anche una motivazione fisica. E visto che sono rivolte agli studenti di quei corsi, danno evidentemente per scontato le nozioni elementari.
La prova e' che in tanti altri testi, piu' generali, trovi maggiori dettagli di questo genere (magari a scapito di altri).
Infine non ho capito perche' ti indigni tanto per il segno dell'argomento dell'esponenziale: a parte che la trasformata e l'antitrasformata godono delle medesime proprieta', quando si fa la trasformata di una funzione del tempo e' d'uso utilizzare quel segno, come per esempio espandendo in autostati dell'energia la funzione d'onda (cioe' praticamente l'antitrasformata)

[tex]\psi(t) = \int \, \frac{dE}{2\pi} \ \hat\psi(E) e^{-iEt}[/tex]

visto il segno della derivata temporale dell'equazione di Schroedinger, a differenza del caso della trasformata di funzioni spaziali. E in una formulazione covariante, i due segni (nel caso temporale e in quello spaziale) e' bene che siano opposti.

Sk_Anonymous
[xdom="speculor"]yoshiharu ha fatto bene ad invitarti a toni più pacati. Credo sia soprattutto nel tuo interesse.[/xdom]

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