Strani risultati in elettrostatica del vuoto...
Premetto che ho controllato le mie soluzioni con quelle del libro, e dunque l'esercizio l'ho fatto bene...
Esercizio 3.9 pag. 402 del Mazzoldi volume 2.
Dimostrare che la funzione $V(x,y)=ax^2+bxy-ay^2$, con $a,b$ costanti, può rappresentare una funzione potenziale. Determinare il campo elettrostatico e la densità di carica $\rho (x,y)$.
Ho calcolato il campo elettrostatico come
\[ -\nabla V = E(x,y) = (-2ax-by)\hat x + (2ay-bx)\hat y\]
Ho poi verificato che $\nabla \times E=0$ e, verificandosi, questo è un campo elettrostatico e di conseguenza la funzione proposta è un potenziale.
Per calcolare la densità ho sfruttato la relazione sulla divergenza del campo, ottenendo
\[\nabla \cdot E=0\]
da cui \(\nabla \cdot E=0=\rho / \epsilon_0 \Rightarrow \rho (x,y)=0\).
Ma che vuol dire che la densità di carica è nulla? Che non c'è niente?
Esercizio 3.9 pag. 402 del Mazzoldi volume 2.
Dimostrare che la funzione $V(x,y)=ax^2+bxy-ay^2$, con $a,b$ costanti, può rappresentare una funzione potenziale. Determinare il campo elettrostatico e la densità di carica $\rho (x,y)$.
Ho calcolato il campo elettrostatico come
\[ -\nabla V = E(x,y) = (-2ax-by)\hat x + (2ay-bx)\hat y\]
Ho poi verificato che $\nabla \times E=0$ e, verificandosi, questo è un campo elettrostatico e di conseguenza la funzione proposta è un potenziale.
Per calcolare la densità ho sfruttato la relazione sulla divergenza del campo, ottenendo
\[\nabla \cdot E=0\]
da cui \(\nabla \cdot E=0=\rho / \epsilon_0 \Rightarrow \rho (x,y)=0\).
Ma che vuol dire che la densità di carica è nulla? Che non c'è niente?

Risposte
In questi casi si presume che le cariche siano all'infinito. Tuttavia, per interpretare fisicamente la soluzione, puoi supporre la presenza di un conduttore la cui superficie sia equipotenziale rispetto alla soluzione assegnata. Nella fattispecie, essendo:
$[ax^2+bxy-ay^2=V_0] harr [((x,y,z))((a,b/2,0),(b/2,-a,0),(0,0,0))((x),(y),(z))=V_0]$
e calcolando gli autovalori della matrice:
$[det((a-lambda,b/2,0),(b/2,-a-lambda,0),(0,0,-lambda))=0] harr [lambda=0] vv [lambda=+-sqrt(a^2+b^2/4)]$
si comprende come la generica superficie equipotenziale sia un cilindro il cui profilo è un'iperbole ruotata con centro nell'origine:
$[lambda_(-)x_1^2+lambda_(+)y_1^2=V_0] harr [((x_1,y_1,z_1))((lambda_-,0,0),(0,lambda_+,0),(0,0,0))((x_1),(y_1),(z_1))=V_0]$
Per inciso, nel caso in cui $[V_0=0]$, la superficie degenera in un piano doppio. Ebbene, si può supporre la presenza di un conduttore la cui superficie sia, per semplicità, una delle due falde del cilindro in esame. Quindi, considerare la soluzione in una delle due regioni in cui la falda divide lo spazio, nella rimanente il potenziale è uguale alla costante $[V_0]$. Infine, per determinare la densità superficiale di carica, è sufficiente utilizzare la nota formula $[sigma=epsilon_0E_n]$, avendo prima calcolato il campo elettrico normale alla superficie in prossimità della falda medesima.
P.S.
Avresti potuto rispondere alla prima domanda calcolando direttamente il Laplaciano.
$[ax^2+bxy-ay^2=V_0] harr [((x,y,z))((a,b/2,0),(b/2,-a,0),(0,0,0))((x),(y),(z))=V_0]$
e calcolando gli autovalori della matrice:
$[det((a-lambda,b/2,0),(b/2,-a-lambda,0),(0,0,-lambda))=0] harr [lambda=0] vv [lambda=+-sqrt(a^2+b^2/4)]$
si comprende come la generica superficie equipotenziale sia un cilindro il cui profilo è un'iperbole ruotata con centro nell'origine:
$[lambda_(-)x_1^2+lambda_(+)y_1^2=V_0] harr [((x_1,y_1,z_1))((lambda_-,0,0),(0,lambda_+,0),(0,0,0))((x_1),(y_1),(z_1))=V_0]$
Per inciso, nel caso in cui $[V_0=0]$, la superficie degenera in un piano doppio. Ebbene, si può supporre la presenza di un conduttore la cui superficie sia, per semplicità, una delle due falde del cilindro in esame. Quindi, considerare la soluzione in una delle due regioni in cui la falda divide lo spazio, nella rimanente il potenziale è uguale alla costante $[V_0]$. Infine, per determinare la densità superficiale di carica, è sufficiente utilizzare la nota formula $[sigma=epsilon_0E_n]$, avendo prima calcolato il campo elettrico normale alla superficie in prossimità della falda medesima.
P.S.
Avresti potuto rispondere alla prima domanda calcolando direttamente il Laplaciano.
"speculor":
In questi casi si presume che le cariche siano all'infinito. Tuttavia, per interpretare fisicamente la soluzione, puoi supporre la presenza di un conduttore la cui superficie sia equipotenziale rispetto alla soluzione assegnata. Nella fattispecie, essendo:
$[ax^2+bxy-ay^2=V_0] harr [((x,y,z))((a,b/2,0),(b/2,-a,0),(0,0,0))((x),(y),(z))=V_0]$
e calcolando gli autovalori della matrice:
$[det((a-lambda,b/2,0),(b/2,-a-lambda,0),(0,0,-lambda))=0] harr [lambda=0] vv [lambda=+-sqrt(a^2+b^2/4)]$
si comprende come la generica superficie equipotenziale sia un cilindro il cui profilo è un'iperbole ruotata con centro nell'origine:
$[lambda_(-)x_1^2+lambda_(+)y_1^2=V_0] harr [((x_1,y_1,z_1))((lambda_-,0,0),(0,lambda_+,0),(0,0,0))((x_1),(y_1),(z_1))=V_0]$
Per inciso, nel caso in cui $[V_0=0]$, la superficie degenera in un piano doppio. Ebbene, si può supporre la presenza di un conduttore la cui superficie sia, per semplicità, una delle due falde del cilindro in esame. Quindi, considerare la soluzione in una delle due regioni in cui la falda divide lo spazio, nella rimanente il potenziale è uguale alla costante $[V_0]$. Infine, per determinare la densità superficiale di carica, è sufficiente utilizzare la nota formula $[sigma=epsilon_0E_n]$, avendo prima calcolato il campo elettrico normale alla superficie in prossimità della falda medesima.
Grazie mille!
"speculor":
P.S.
Avresti potuto rispondere alla prima domanda calcolando direttamente il Laplaciano.
Vabbè, tanto chiedeva comunque di calcolare esplicitamente il campo...