Strana questione sul centro di massa
Spiego brevemente il necesserio per capire la domanda
Se abbiamo un sistema di punti materiali (per semplicità due (problema dei due corpi)) allora le equazioni che ne escon fuori sono
$m_1 * a_1=F_12 + F_1^E$
$m_2 * a_2=F_21 + F_2^E$
Dove
$F_12$ è la forza che 2 esercita su 1
$F_21$ è la forza che 1 esercita su 2
$F_1^E$ è la forza esterna che sente 1
$F_2^E$ è la forza esterna che sente 2
A questo punto osservo che se considero il centro di massa, per il terzo principio della dinamica, l'unica forza che agisce sul centro di massa è
$F_(cm)^E=F_1^E+F_2^E$
E dunque se ne desume che la traiettoria del centro di massa è determinata solamente dalle forze esterne.
Ciò ci dice tutto sul moto del sistema, ma ben poco sul moto dei due corpi, per il quale è necessario passare allo studio della massa ridotta.
La mia domanda è questa:
Se passiamo da un qualsiasi sistema di riferimento, ad un sistema di riferimento solidale rispetto al centro di massa, possiamo affermare le che forze esterne sono nulle?
Per i due corpi sembrerebbe (ammesso che lo sia) vero, ma per un qualsiasi sistema di $n$ punti, resta vero?
Se abbiamo un sistema di punti materiali (per semplicità due (problema dei due corpi)) allora le equazioni che ne escon fuori sono
$m_1 * a_1=F_12 + F_1^E$
$m_2 * a_2=F_21 + F_2^E$
Dove
$F_12$ è la forza che 2 esercita su 1
$F_21$ è la forza che 1 esercita su 2
$F_1^E$ è la forza esterna che sente 1
$F_2^E$ è la forza esterna che sente 2
A questo punto osservo che se considero il centro di massa, per il terzo principio della dinamica, l'unica forza che agisce sul centro di massa è
$F_(cm)^E=F_1^E+F_2^E$
E dunque se ne desume che la traiettoria del centro di massa è determinata solamente dalle forze esterne.
Ciò ci dice tutto sul moto del sistema, ma ben poco sul moto dei due corpi, per il quale è necessario passare allo studio della massa ridotta.
La mia domanda è questa:
Se passiamo da un qualsiasi sistema di riferimento, ad un sistema di riferimento solidale rispetto al centro di massa, possiamo affermare le che forze esterne sono nulle?
Per i due corpi sembrerebbe (ammesso che lo sia) vero, ma per un qualsiasi sistema di $n$ punti, resta vero?
Risposte
forze interne vorrai dire che sono nulle 
quelle esterne non si sognano di essere nulle sul sistema se questo non è isolato (basta che esso sia immerso in un campo gravitazionale che la bella forza esterna esiste sempre sul sistema).
quelle interne si, infatti per il III principio di Newton si ha che, se ho un sistema di $n$ punti materiali, $F_{ij}=F_{ji}$ e $F_{ii}=0$ con $i,j=1,...,n$ quindi nel sistema del centro di massa esse si elidono a vicenda, infatti detta $x$ la coordinata del centro di massa rispetto a al sistema di riferimento inerziale si ha che
$Mddotx=F^{I}+R^{E}$, ma $F^I=sum_{i,j}^{2n}F_{ij}$ in quanto ogni particella se sente una forza da un'altra anche l'altra sente la stessa, possiamo scrivere che $F^I=sum_{i,j}^{n}F_{ij}+sum_{i,j}^{n}F_{ji}=0$ per quanto detto sopra, quindi si ha che l'equazione del sistema è $Mddotx=R^E=sumF^E$.
Questo è da aspettarselo in quanto si modellizza tutto il sistema come un unico punto materiale, ovviamente si hanno solo notizie su tutto il sistema e non sulle particelle.
Inoltre se il sistema è isolato, allora tutte le particelle devono conservare il loro stato di inerzia in un sdr inerziale, in particolare se si modellizza tutto col centro di massa questo deve valere ancora e quindi c'è da aspettarselo che $ddotx=0$. Se le forze interne non si annullassero si violerebbe il I principio.
quelle esterne non si sognano di essere nulle sul sistema se questo non è isolato (basta che esso sia immerso in un campo gravitazionale che la bella forza esterna esiste sempre sul sistema).
quelle interne si, infatti per il III principio di Newton si ha che, se ho un sistema di $n$ punti materiali, $F_{ij}=F_{ji}$ e $F_{ii}=0$ con $i,j=1,...,n$ quindi nel sistema del centro di massa esse si elidono a vicenda, infatti detta $x$ la coordinata del centro di massa rispetto a al sistema di riferimento inerziale si ha che
$Mddotx=F^{I}+R^{E}$, ma $F^I=sum_{i,j}^{2n}F_{ij}$ in quanto ogni particella se sente una forza da un'altra anche l'altra sente la stessa, possiamo scrivere che $F^I=sum_{i,j}^{n}F_{ij}+sum_{i,j}^{n}F_{ji}=0$ per quanto detto sopra, quindi si ha che l'equazione del sistema è $Mddotx=R^E=sumF^E$.
Questo è da aspettarselo in quanto si modellizza tutto il sistema come un unico punto materiale, ovviamente si hanno solo notizie su tutto il sistema e non sulle particelle.
Inoltre se il sistema è isolato, allora tutte le particelle devono conservare il loro stato di inerzia in un sdr inerziale, in particolare se si modellizza tutto col centro di massa questo deve valere ancora e quindi c'è da aspettarselo che $ddotx=0$. Se le forze interne non si annullassero si violerebbe il I principio.
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