Storia della cinematica attraverso le equazioni

[turtle87crociato]

Pongo una domanda già posta in una diversa forma tempo fa. Siate più esaurienti possibile, mi interesserebbe sapere della storia, di come le leggi hanno preso man mano "forma", etc.

Da dove nascono le leggi della cinematica come le conosciamo oggi?
Mi riferisco alle leggi:
$x=v*t+x_o$;
$x=1/2*a*t^2+v_0t+x_0$;
$v=a*t+v_0$;
$v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$

Come è possibile ottenere l'una dall'altra mediante il procedimento di derivazione o integrazione? Storicamente, come è avvenuto ciò?Qual è stato il procedimento che ha seguito Newton per giungere ad esse riformulando i risultati degli esperimenti di Galileo?

[antani2]

aspetta aspetta hai dimenticato $S-S_0=(v^2-v_0^2)/(2a)$ hi hi hi

[Cmax1]

È un argomento che ha incuriosito spesso anche me, ma sono sempre stato troppo pigro per approfondire: affrontare un testo comporta più o meno sempre la stessa fatica, preferivo allora dedicarmi a roba più moderna.
Ma in effetti la formulazione delle leggi della cinematica è alla base dell'utilizzo della matematica come linguaggio descrittivo del mondo fisico, ed una delle domande spesso poste, ed al momento senza una risposta soddisfacente, è perchè la matematica funzioni così bene.

[krek1]

Se ti capita sottomano consulta "Storia del pensiero matematico" volume 1° di Morris Kline

Cmq la storia è un po lunga parte dalla costruzione di un orologio a pendolo progettato da Galileo per avere una misurazione del tempo più precisa possibile.

Le relazioni da te scritte vennero formalizzate in una fase successiva, Galileo le descrive verbalmente ed erano il risultato delle sue ricerche (vedi metodo scientifico ).

Cito da Storie del pensiero matematico volume 1° pag. 395 :

"Se un mobile scende, a partire della quiete, con moto uniformemente accelerato, gli spazi percorsi da esso in tempi qualsiasi... stanno tra di loro come i quadrati dei tempi"

Cmq la domanda è breve ma la risposta è lunga.

O segui un corso di storia della matematica o ti leggi qualche libro in merito o trovi qualcuno che sia in grado di darti una risposta sintetica, cosa che io non sono in grado di fare per scarsa conoscenza dell'argomento e perchè ritengo che una risposta sintetica alla tua domanda non è una risposta esauriente.

[turtle87crociato]

Dunque, io posso immaginare che nei "Principia" Newton abbia riformulato, anche alla luce del calcolo differenziale da lui inventato, tutto ciò che Galileo aveva già scoperto.

L'unica cosa che avrebbe scoperto Newton autonomamente è l'idea di forza come direttamente collegata ad una sorgente, ovviamente in un sistema di riferimento inerziale (in sistemi non inerziali il corpo subisce accelerazioni non provocate dalle forze legate a sorgenti, e mi riferisco ovviamente alle forze fittizie). Inoltre Newton avrebbe anche formulato il suo secondo principio di inerzia ottenendo un'equazione differenziale, sulla cui natura e sulla cui utilità non posso dire niente non avendo mai visto cosa siano le equazioni differenziali.

[*Physics1]

"turtle87":Come è possibile ottenere l'una dall'altra mediante il procedimento di derivazione o integrazione?

Per il moto rettilineo uniforme si nota che $x$ e $t$ sono legati da una costante $v$, che non è altro che $\frac {dx}{dt} = v$. Perciò, proprio per essere pignoli, $x=\int v dt$, da cui, notando che $v$ è una costante, $x=v*t$.
Per il moto rettileo uniformemente accelerato sappiamo che l'inclinazione del grafico velocità-tempo è l'accelerazione, $a$, che è costante. Cioè $a = \frac{dv}{dt}$. Per calcolarci la velocità operiamo come segue: $\int dv = \int a dt$ ovvero $v = a*t+C$; $C$ è la costante di integrazione che corrisponde a $v_0$. Perciò: $v = a*t+v_0$.
Volendoci calcolare $x$, lo spostamento, otterremo: $x = \int v dt$, percui sostituendo $x = \int a*t+v_0 dt = \frac{1}{2}a*t^2 + v_0*t + C$, dove $C$ è stavolta $x_0$.
Da questa formula si ottengono poi tutte le altri, con semplici eliminazioni di variabili ($t$, $v$, $v_0$, $\Delta x$, $a$).

Probabilmente è più semplice arrivarci con dei grafici sottomano. In caso si ragiona così: ci si calcola la velocità come derivata di $x$ rispetto a $t$ e ci si calcola quindi $x$ come integrale nel grafico velocità-tempo.
In ogni caso questo è un modo per arrivarci anche se probabilmente intendevi sapere come "storicamente" ci si è arrivati.