Step potential

[5mrkv]

Il potenziale è $V(x)=V_{0}$ se $x>0$ e $V_{x}=0$ se $x<0$. E per $x=0$ perché non è definito?

Nel caso in cui $x>0$ ho (dove $t$ è la costante di Planck)

$\frac{\partial ^{2}u (x)}{\partial x^{2}}+\frac{2m}{t^2}(E-V_{0})u(x)=0$
$\frac{\partial ^{2}u (x)}{\partial x^{2}}+q^2u(x)=0$
$u(x)=a_{1}e^{iqx}+a_{2}e^{-iqx}$

Nel caso in cui $x<0$

$\frac{\partial ^{2}u (x)}{\partial x^{2}}+\frac{2m}{t^2}Eu(x)=0$
$\frac{\partial ^{2}u (x)}{\partial x^{2}}+k^2u(x)=0$
$u(x)=b_{1}e^{ikx}+b_{2}e^{-ikx}$

La funzione d'onda $\in C^{1}$ quindi imponendo la condizione in $x=0$

$a_{1}-a_{2}=b_{1}-b_{2}$
$a_{1}+a_{2}=b_{1}+b_{2}$

So che in questo caso il flusso si conserva. Ma perché?

$\frac{j_{1}}{\alpha}=\overline{u}_{1}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}-\frac{\partial \overline{u}_{1}}{x}u_{1}$
$\frac{j_{1}}{\alpha}=(a_{1}e^{-iqx}+a_{2}e^{iqx})(a_{1}iqe^{iqx}-a_{2}iqe^{-iqx})-(-a_{1}iqe^{-iqx}+a_{2}iqe^{iqx})(a_{1}e^{iqx}+a_{2}e^{-iqx})$
$\frac{j_{1}}{\alpha}=a_{1}e^{-iqx}a_{1}iqe^{iqx}-a_{1}e^{-iqx}a_{2}iqe^{-iqx}+a_{2}e^{iqx}a_{1}iqe^{iqx}-a_{2}e^{iqx}a_{2}iqe^{-iqx}$
$+a_{1}iqe^{-iqx}a_{1}e^{iqx}+a_{1}iqe^{-iqx}a_{2}e^{-iqx}-a_{2}iqe^{iqx}a_{1}e^{iqx}-a_{2}iqe^{iqx}a_{2}e^{-iqx}$
$\frac{j_{1}}{\alpha}=a_{1}e^{-iqx}a_{1}iqe^{iqx}-a_{2}e^{iqx}a_{2}iqe^{-iqx}+a_{1}iqe^{-iqx}a_{1}e^{iqx}-a_{2}iqe^{iqx}a_{2}e^{-iqx}$
$\frac{j_{1}}{\alpha}=iq|a_{1}|^{2}-iq|a_{2}|^{2}+iq|a_{1}|^{2}-iq|a_{2}|^{2}$
$\frac{j_{1}}{\alpha}=2iq|a_{1}|^{2}-2iq|a_{2}|^{2}$

Lo stesso vale per il flusso della seconda soluzione:

$\frac{j_{2}}{\alpha}=2ik|b_{1}|^{2}-2ik|b_{2}|^{2}$

Uguagliando

$\frac{tk}{m}[|a_{1}|^{2}-|a_{1}|^{2}]=\frac{tq}{m}[|b_{1}|^{2}-|b_{1}|^{2}]$
$k[|a_{1}|^{2}-|a_{1}|^{2}]=q[|b_{1}|^{2}-|b_{1}|^{2}]$

Ora, l'unica condizione di normalizzazione che si potrebbe imporre è una di tipo periodico. La soluzione in forma trigonometrica ha un periodo di $2\pi$ quindi posso scrivere qualcosa come $u(x)=u(x+2\pi)$

$a_{1}e^{iqx}+a_{2}e^{-iqx}=a_{1}e^{iqx+iq2\pi}+a_{2}e^{-iqx-iq2\pi}$
$a_{1}e^{iqx}+a_{2}e^{-iqx}-a_{1}e^{iqx}e^{iq2\pi}-a_{2}e^{-iqx}e^{-iq2\pi}=0$
$a_{1}e^{iqx}[1-e^{iq2\pi}]+a_{2}e^{-iqx}[1-e^{-iq2\pi}]=0$
$1=e^{iq2\pi}=e^{iz2\pi}\Rightarrow q=z \in \mathbb{Z}$ ??

che non so quali informazioni mi possa offrire nella normalizzazione della funzione d'onda

$1=\int_{0,2\pi}|u|^{2}\text{d}x=\int_{0,2\pi}[a_{1}e^{iqx}+a_{2}e^{-iqx}][a_{1}e^{-iqx}+a_{2}e^{iqx}]\text{d}x$
$1=\int_{0,2\pi}|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+2a_{1}a_{2}cos(2kx)\text{d}x$

Qualche suggerimento per
$1.$ Ricavare $a_{i}$ e $b_{i}$
$2.$ Ricavare le costanti di normalizzazione
$3.$ Capire la conservazione del flusso

Riguardo al punto primo, sia nel libro che sulla voce di wiki fa riferimento ad una interpretazione fisica che non capisco.

[5mrkv]

bump

[alle.fabbri]

Quando hai spettro continuo è facile che ti capiti di lavorare con autostati non normalizzabili. Quindi devi impostare fisicamente il problema. Di solito si assume come funzioni d'onda
\( \psi(x) = \begin{cases}
A e^{ikx} + B e^{-ikx} \quad , \quad x < 0\\
C e^{iqx} \qquad , \quad x > 0\\
\end{cases} \)
il cui senso fisico è il seguente. Il termine \(A e^{ikx}\) rappresenta un'onda piana (cioè una "particella libera") di momento \(k>0\) (posto \(\hbar = 1\)) che arriva da \( -\infty \) con energia \(E = k^2/2m\). Incidendo sulla barriera una parte di essa viene riflessa, rappresentata dal termine \(B e^{-ikx}\), e una parte viene trasmessa, rappresentata dal termine \(C e^{iqx}\). Con queste assunzioni puoi imporre continuità e derivabilità di \(\psi \) in \(x=0\) ottenendo così due equazioni per le tre incognite \(A,B\) e \(C\). Ci sono troppe incognite quindi l'unica cosa che puoi fare è risolvere per \(B/A\) e \(C/A\). Le quantità così ottenute sono legate alle ampiezze di probabilità che la particella sia riflessa o trasmessa. Non puoi normalizzare la funzione d'onda perchè le onde piane non stanno in \(L^2(\mathbb{R})\). Se imponi delle condizioni periodiche non sei più sull'intervallo \([-\infty,+\infty]\) e quindi non hai più lo spettro continuo. Se poi calcoli la corrente di probabilità associata alla \(\psi\) scopri che è continua in \(x=0\) (che non è una gran sorpresa visto che è una quantità costruita partendo da una funzione continua e derivabile...) e puoi introdurre i coefficienti di riflessione e trasmissione. Ti torna?

[5mrkv]

Grazie per la spiegazione, avevo visto un paio di fonti e questo è il riassunto di cui avevo bisogno.