Stelle binarie
Ciao, amici!
Ho trovato nel testo di fisica che sto seguendo un affascinante problemino sul sistema binario composto da Alpha Centauri A e Alpha Centauri B (si trascura ai fini dell'esercizio Proxima), poste a una distanza considerata costante ai fini dell'esercizio $R=3.45*10^12$ m l'una dall'altra, di periodo orbitale $T=2.52*10^9$ s e di massa uguale m (com'è, approssimativamente, nella realtà).
Tenendo conto che il centro di massa, data l'uguaglianza delle due masse stellari m, è a metà R, calcolerei, per la terza legge di Keplero $T=(2\pi)/sqrt(GM) r^(2/3)$ e dato che la massa totale M = 2m e la distanza dal centro di massa $r=R/2$, così:
$T=(2\pi)/sqrt(G·2m) (R/2)^(2/3) => m=(\pi^2R^3)/(4GT^2)~~(\pi^2*(3.45*10^12m)^3)/(4*6.67*10^-11N*m^2*kg^-2*(2.52*10^9s)^2)~~2.39*10^29 kg$
mentre il mio testo mette come risultato $1.91*10^30$ kg...
Qualcuno potrebbe essere così gentile da dirmi dove sbaglio (presumo di sbagliare...)?
La seconda parte dell'esercizio chiede di calcolare il modulo della velocità tangenziale delle due stelle (considerata costante data l'orbita considerata circolare), che calcolerei come
$v=(2\pir)/T=(2\piR/2)/T$ considerando sempre $r=R/2$, che sembra qui essere una scelta appropriata, perché $(\piR)/T~~(\pi*3.45*10^12m)/(2.52*10^9s)~~4.30*10^3 m/s$ che coincide con la soluzione del libro, quindi forse non sono del tutto fuori strada...
Che cosa ne pensate?
Grazie di ordine di grandezza astronomico
a tutti!
Davide
Ho trovato nel testo di fisica che sto seguendo un affascinante problemino sul sistema binario composto da Alpha Centauri A e Alpha Centauri B (si trascura ai fini dell'esercizio Proxima), poste a una distanza considerata costante ai fini dell'esercizio $R=3.45*10^12$ m l'una dall'altra, di periodo orbitale $T=2.52*10^9$ s e di massa uguale m (com'è, approssimativamente, nella realtà).
Tenendo conto che il centro di massa, data l'uguaglianza delle due masse stellari m, è a metà R, calcolerei, per la terza legge di Keplero $T=(2\pi)/sqrt(GM) r^(2/3)$ e dato che la massa totale M = 2m e la distanza dal centro di massa $r=R/2$, così:
$T=(2\pi)/sqrt(G·2m) (R/2)^(2/3) => m=(\pi^2R^3)/(4GT^2)~~(\pi^2*(3.45*10^12m)^3)/(4*6.67*10^-11N*m^2*kg^-2*(2.52*10^9s)^2)~~2.39*10^29 kg$
mentre il mio testo mette come risultato $1.91*10^30$ kg...
Qualcuno potrebbe essere così gentile da dirmi dove sbaglio (presumo di sbagliare...)?
La seconda parte dell'esercizio chiede di calcolare il modulo della velocità tangenziale delle due stelle (considerata costante data l'orbita considerata circolare), che calcolerei come
$v=(2\pir)/T=(2\piR/2)/T$ considerando sempre $r=R/2$, che sembra qui essere una scelta appropriata, perché $(\piR)/T~~(\pi*3.45*10^12m)/(2.52*10^9s)~~4.30*10^3 m/s$ che coincide con la soluzione del libro, quindi forse non sono del tutto fuori strada...
Che cosa ne pensate?
Grazie di ordine di grandezza astronomico
a tutti!Davide
Risposte
La terza legge di keplero non si può applicare ad un sistema binario...
Sì che si può, ma devi considerare la massa ridotta. Nel caso Terra-Sole la massa ridotta è la massa della Terra per via dell'enorme differenza, in questo caso invece non è per niente così...
Grazie tantissime per le risposte!!!
Supponevo che si potesse applicare la terza legge di Keplero considerando l'r dell'espressione $T=(2\pi)/sqrt(GM) r^(2/3)$ come la distanza del corpo orbitante dal centro di massa del sistema e M come la somma delle masse...
Ripensando a come si origina la formula che ho usato, direi che la forza centripeta necessaria a tenere in orbita circolare una stella attorno all'altra potrebbe essere semplicemente
$F_(cp)=v_t^2/r m=G(mM)/r^2$ e, dato che la velocità tangenziale del moto di una stella rispetto all'altra stella, considerata come punto per cui passa l'asse di rotazione, mi pare che debba essere $v_t=(2\pir)/T$, chiamando m le due masse identiche e R il raggio di rotazione di una attorno all'altra, mi sembrerebbe che
$(4\pi^2R)/T^2=Gm^2/R^2 => m=(4\pi^2R^3)/(GT^2)~~(4\pi^2(3.45*10^12m)^3)/(6.67*10^-11N*m^2/(kg^2)(2.52*10^9s)^2)~~3.83*10^30kg$ che è curiosamente il doppio del risultato del libro, ma non capisco dove sbaglio...
Adesso mi vado a cercare che cos'è la massa ridotta
: grazie di cuore per lo spunto, antani!
Grazie infinite ancora!!!
Supponevo che si potesse applicare la terza legge di Keplero considerando l'r dell'espressione $T=(2\pi)/sqrt(GM) r^(2/3)$ come la distanza del corpo orbitante dal centro di massa del sistema e M come la somma delle masse...
Ripensando a come si origina la formula che ho usato, direi che la forza centripeta necessaria a tenere in orbita circolare una stella attorno all'altra potrebbe essere semplicemente
$F_(cp)=v_t^2/r m=G(mM)/r^2$ e, dato che la velocità tangenziale del moto di una stella rispetto all'altra stella, considerata come punto per cui passa l'asse di rotazione, mi pare che debba essere $v_t=(2\pir)/T$, chiamando m le due masse identiche e R il raggio di rotazione di una attorno all'altra, mi sembrerebbe che
$(4\pi^2R)/T^2=Gm^2/R^2 => m=(4\pi^2R^3)/(GT^2)~~(4\pi^2(3.45*10^12m)^3)/(6.67*10^-11N*m^2/(kg^2)(2.52*10^9s)^2)~~3.83*10^30kg$ che è curiosamente il doppio del risultato del libro, ma non capisco dove sbaglio...
Adesso mi vado a cercare che cos'è la massa ridotta
: grazie di cuore per lo spunto, antani!Grazie infinite ancora!!!
Attento alla forza centripeta (r = R/2).
Grazie per l'osservazione, MaMo! Intendo $v_t$ come la velocità tangenziale di una delle due stelle rispetto all'altra che prendo come punto per cui passa l'asse di rotazione, essendo la distanza tra le due stelle R (che così calcolanda assume il ruolo di r), quindi così l'accelerazione centripeta non è da considerarsi $a_cp=v_t^2/R$?
Mi sono studiato il concetto di massa ridotta, interessantissimo, che noto che trova applicazione in casi come questo in cui risulta comodo considerare come se si avesse a che fare con un riferimento inerziale una delle due stelle (cosa che ho fatto nell'ultimo tentativo di soluzione) ed attribuire all'altra la massa ridotta nelle equazioni del moto (cosa che sbagliando non ho fatto: il mio corso di fisica, al punto in cui sono, non ha ancora introdotto il concetto di massa ridotta, che credo affronterà a breve come fa a volte anticipando problematiche, che spiega in seguito, negli esercizi), per cui mi sembrerebbe che, chiamando la massa ridotta $\mu=(m*m)/(m+m)=m/2$, si dovrebbe avere
$F_(cp)=v_t^2/r \mu=G(m*m)/r^2 = (4\pi^2R)/T^2 \mu=G(m^2)/R^2 => m=2\mu=(2\pi^2R^3)/(GT^2)~~(2\pi^2(3.45*10^12m)^3)/(6.67*10^-11N*m^2/(kg^2)(2.52*10^9s)^2)~~1.91*10^30kg$ come volevasi dimostrare.
Quanto alla velocità tangenziale calcolata come $v=(2\piR/2)/T$ direi che rimane valida come velocità relativa al centro di massa (non all'altra stella, nel qual caso si ha $|\vecv_(12)|=|\vecv_1-\vecv_2|=2v_(12)$).
Sembra tutto corretto?
Grazie $+oo$ ancora a tutti per i preziosi consigli, gli spunti di riflessione e il suggerimento che mi ha portato a studiare che cos'è la massa ridotta!
Mi sono studiato il concetto di massa ridotta, interessantissimo, che noto che trova applicazione in casi come questo in cui risulta comodo considerare come se si avesse a che fare con un riferimento inerziale una delle due stelle (cosa che ho fatto nell'ultimo tentativo di soluzione) ed attribuire all'altra la massa ridotta nelle equazioni del moto (cosa che sbagliando non ho fatto: il mio corso di fisica, al punto in cui sono, non ha ancora introdotto il concetto di massa ridotta, che credo affronterà a breve come fa a volte anticipando problematiche, che spiega in seguito, negli esercizi), per cui mi sembrerebbe che, chiamando la massa ridotta $\mu=(m*m)/(m+m)=m/2$, si dovrebbe avere
$F_(cp)=v_t^2/r \mu=G(m*m)/r^2 = (4\pi^2R)/T^2 \mu=G(m^2)/R^2 => m=2\mu=(2\pi^2R^3)/(GT^2)~~(2\pi^2(3.45*10^12m)^3)/(6.67*10^-11N*m^2/(kg^2)(2.52*10^9s)^2)~~1.91*10^30kg$ come volevasi dimostrare.
Quanto alla velocità tangenziale calcolata come $v=(2\piR/2)/T$ direi che rimane valida come velocità relativa al centro di massa (non all'altra stella, nel qual caso si ha $|\vecv_(12)|=|\vecv_1-\vecv_2|=2v_(12)$).
Sembra tutto corretto?
Grazie $+oo$ ancora a tutti per i preziosi consigli, gli spunti di riflessione e il suggerimento che mi ha portato a studiare che cos'è la massa ridotta!
Qualche anno dopo...il mio prof di fisica ha recentemente spiegato l'argomento, e in cerca di alcuni chiarimenti sono finito qui. Credo che, nell'equazione iniziale, la formula F=(GMm)/r^2 sia da raddoppiare, essendo due i corpi che subiscono la forza. L'equazione diviene dunque 2(GMm)/r^2=mv^2/r.
Mi è ancora oscuro peró il motivo per il quale nella forza centripeta/centrifuga espressa come mv^2/r la formula non debba avere invece di r r/2, essendo il centro di rotazione a metà...boh
Mi è ancora oscuro peró il motivo per il quale nella forza centripeta/centrifuga espressa come mv^2/r la formula non debba avere invece di r r/2, essendo il centro di rotazione a metà...boh
Ciascuna stella percorre una circonferenza di raggio $R/2$ in un tempo $T$, ciò richiede una forza centripeta data da $(mv^2)/(r/2)$, dove $v = (2pi(R/2))/T$, da uguagliare all'attrazione $Gm^2/R^2$
A me risulta effettivamente $m = 1.9 * 10^30$
A me risulta effettivamente $m = 1.9 * 10^30$
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