Statica: dimostrazione teorema dei lavori virtuali
Salve a tutti,
sto preparando l'orale di statica (e non scienza delle costruzioni) e sono incappato nel teorema dei lavori virtuali.
Il principio dei lavori virtuali e la sua applicazione è abbastanza semplice e l'ho capita. Ciò che non capisco è la spiegazione pura del teorema che la mia prof ha fatto in classe e chiederà all'orale. Ho notato poi che su internet ci sono le più svariate dimostrazioni ed è difficile venirne a capo quindi provo a scrivere anche qua nella speranza che qualcuno conosca lo stesso procedimento e mi possa dare una mano.
Il procedimento, per arrivare all'equazione dei lavori virtuali, fatto dalla prof è il seguente:
Scrittura delle equazioni statiche e cinematiche:
Eq. Statiche
$AX+F=0$
dove
A = matrice dei coeff. di dimensione 3nxm
X = sono le reazioni vincolari (ovvero m)
F = le forze generalizzate (3nx1)
Equazioni cinematiche
$A^Tx-\grad = 0$ *in realtà al posto di $\grad$ ci sarebbe il triangolo all'insu, ovvero delta, ma non c'è nelle formule
dove
$A^T$ = matrice cinematica mx3n
X = parametri di spostamento (3n)
$\grad$ = cedimenti (m).
Dall'equazione cinematica si ricava che: $\grad = A^Tx$.
Considerando la prima equazione, quella statica, si procede come segue:
$x^TAX + x^TF = 0$
$(x^tAX)^T + x^TF = 0$
$(X^TA^Tx) + x^TF = 0$
considerando che
$\grad = A^Tx =>$
$x^T\grad + x^TF = 0$ che è l'equazione dei lavori virtuali.
Ciò che vi chiedo, o meglio spero, è che ci sia qualcuno che può aiutarmi a capire tale procedimento.
grazie
sto preparando l'orale di statica (e non scienza delle costruzioni) e sono incappato nel teorema dei lavori virtuali.
Il principio dei lavori virtuali e la sua applicazione è abbastanza semplice e l'ho capita. Ciò che non capisco è la spiegazione pura del teorema che la mia prof ha fatto in classe e chiederà all'orale. Ho notato poi che su internet ci sono le più svariate dimostrazioni ed è difficile venirne a capo quindi provo a scrivere anche qua nella speranza che qualcuno conosca lo stesso procedimento e mi possa dare una mano.
Il procedimento, per arrivare all'equazione dei lavori virtuali, fatto dalla prof è il seguente:
Scrittura delle equazioni statiche e cinematiche:
Eq. Statiche
$AX+F=0$
dove
A = matrice dei coeff. di dimensione 3nxm
X = sono le reazioni vincolari (ovvero m)
F = le forze generalizzate (3nx1)
Equazioni cinematiche
$A^Tx-\grad = 0$ *in realtà al posto di $\grad$ ci sarebbe il triangolo all'insu, ovvero delta, ma non c'è nelle formule
dove
$A^T$ = matrice cinematica mx3n
X = parametri di spostamento (3n)
$\grad$ = cedimenti (m).
Dall'equazione cinematica si ricava che: $\grad = A^Tx$.
Considerando la prima equazione, quella statica, si procede come segue:
$x^TAX + x^TF = 0$
$(x^tAX)^T + x^TF = 0$
$(X^TA^Tx) + x^TF = 0$
considerando che
$\grad = A^Tx =>$
$x^T\grad + x^TF = 0$ che è l'equazione dei lavori virtuali.
Ciò che vi chiedo, o meglio spero, è che ci sia qualcuno che può aiutarmi a capire tale procedimento.
grazie
Risposte
Qui ha moltiplicato a sinistra per $[x^t]$:
$[AX+F=0] rarr [x^t(AX+F)=0] rarr [x^tAX+x^tF=0]$
Qui ha utilizzato la proprieta $[x^tAX=(x^tAX)^t]$, dato che $[x^tAX]$ è una matrice formata da un solo elemento:
$(x^tAX)^t+x^tF=0$
Qui ha utilizzato la proprietà $[(ABC)^t=C^tB^tA^t]$:
$X^tA^tx+x^tF=0$
Qui ha sostituito $[A^tx=\Delta]$:
$[X^t\Delta+x^tF=0]$
In ogni modo, dovresti avere un po' di confidenza con il formalismo matriciale.
$[AX+F=0] rarr [x^t(AX+F)=0] rarr [x^tAX+x^tF=0]$
Qui ha utilizzato la proprieta $[x^tAX=(x^tAX)^t]$, dato che $[x^tAX]$ è una matrice formata da un solo elemento:
$(x^tAX)^t+x^tF=0$
Qui ha utilizzato la proprietà $[(ABC)^t=C^tB^tA^t]$:
$X^tA^tx+x^tF=0$
Qui ha sostituito $[A^tx=\Delta]$:
$[X^t\Delta+x^tF=0]$
In ogni modo, dovresti avere un po' di confidenza con il formalismo matriciale.
"speculor":
Qui ha moltiplicato a sinistra per $[x^t]$:
$[AX+F=0] rarr [x^t(AX+F)=0] rarr [x^tAX+x^tF=0]$
Qui ha utilizzato la proprieta $[x^tAX=(x^tAX)^t]$, dato che $[x^tAX]$ è una matrice formata da un solo elemento:
$(x^tAX)^t+x^tF=0$
Qui ha utilizzato la proprietà $[(ABC)^t=C^tB^tA^t]$:
$X^tA^tx+x^tF=0$
Qui ha sostituito $[A^tx=\Delta]$:
$[X^t\Delta+x^tF=0]$
In ogni modo, dovresti avere un po' di confidenza con il formalismo matriciale.
Sì ok mi torna tutto; dopo due ore che ci son sopra c'ero arrivato anche io. La mia domanda è: perché ha moltiplicato per $x^t$ all'inizio della dimostrazione? è quello che non capisco.
Cioè si usa moltiplicare per $x^t$ solo per far tornare la dimostrazione o c'è un motivo preciso?
"l0r3nzo":
La mia domanda è...
Sì, essenzialmente per quello.
"speculor":
[quote="l0r3nzo"]
La mia domanda è...
Sì, essenzialmente per quello.[/quote]
che dire... GRAZIE!
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