Statica del punto materiale - reazione

[feddy]

Un sistema come in figura di 3 corpi puntiformi di massa $m_1 = m_2 = m$ e $m_3 = m \sqrt(3)$, mostrato nella figura qui a fianco, si trova in configurazione di equilibrio nel piano verticale. Gli attriti, le masse del filo e delle carrucole sono trascurabili.

Si determini:
1. L’angolo $\alpha$ formato dal filo con l’asse
orizzontale
(b) il modulo della tensione T del filo
(c) il modulo della reazione sviluppata nel punto sospensione P al soffitto.

Svolgimento:

1. 2.L'angolo che si viene a formare è di $alpha= 60°$.

Infatti dalle condizioni di equilibrio per $m_1$ e $m_2$ si ricava che

$T=mg$

.

Imponendo che la risultante su $m_3$ sia nulla:

$2 T_y - m_3 g =0$

$2 T \sin(alpha) = m \sqrt(3)g$

da cui, usando l'espressione ricava per $T$ si ha che $alpha=\arcsin(\frac{\sqrt(3)}{2})$


3.
Il mio dubbio è essenzialmente su questo punto.

Sul punto $P$ agiscono la tensione proveniente dal fatto che $m_1$ è in equilibrio e quella proveniente dal fatto che $m_3$ è in equilibrio.

Per il III principio della dinamica, $P$ reagisce con una forza $\vec{R}$ uguale e contraria alla risultante vettoriale.

Deve valere dunque

$\vec{R} + \vec{T_1} + vec{T_2}= \vec(0)$

Lungo x si ha

$-R_x + T \cos(alpha)=0$

Lungo y si ha

$R_y - T- T\sin(alpha)=0$

Da cui

$R_x=T \cos(alpha), \quad R_y=T (\sin(alpha) +1)$

.

Il modulo risulta pertanto

$|\vec{R}|=T^2 \sqrt(2+2 \sin(alpha))$

Va tutto bene oppure ho scritto delle scempiaggini ?

Edit
Grazie a shakle per avermi fatto notare che il modulo di $R$ è $T \sqrt(2 + 2 \sin(alpha))$

[mgrau]

La farei più semplice. Le tensioni sono forze interne, e le lasciamo perdere. Le due reazioni in P e P' bilanciano i tre pesi. Il sistema è simmetrico, per cui le due reazioni sono uguali, e ciascuna quindi vale $mg(1 + sqrt3/2)$

[feddy]

ciao,

grazie per la risposta !
Il tuo argomento mi torna, tuttavia il valore che fornisci (dove presumo che intendi il modulo delle forza) mi pare sia uguale alla componente in y che ho individuato con il mio metodo.

Dove sto sbagliando?

[mgrau]

"feddy":
Dove sto sbagliando?

No, ho sbagliato io... in effetti ho dimenticato la componente orizzontale delle reazioni, e queste richiedono di considerare le tensioni del filo. A volte, andando a naso, si prendono delle cantonate...

[feddy]

No problem, l'importante è capirsi

Grazie per la conferma. Devo dire che il mio modulo della tensione sembrava poco intuitivo stante la simmetria del problema !

[Shackle]

Feddy,

nell'ultima formula c'è un esponente $2$ di troppo a $T$ .

Hai letto la risposta alla valigia che cade nel treno in frenata ?

[feddy]

Ops, sì, portando fuori dalla radice l'ho lasciato.
Certo Shakle, tuttavia a riguardo avrei un'ulteriore domanda, aspetto di ristudiarlo meglio (sono un po' preso in questi giorni per la tesi) e te la porgo!

Infinite grazie ancora a entrambi!

[mgrau]

Riguardando il testo del problema, mi è saltato all'occhio che mette nomi diversi per $m_1$ e $m_2$, ma mette un solo $alpha$. Poi però ci dice che $m_1 = m_2$.
Propongo una variante: che succede se $m_1 ne m_2$ ?

[feddy]

bella proposta.
Ci ho riflettuto... nel momento in cui $m_1 \ne m_2$, allora una delle due masse è maggiore e pertanto il sistema si mette in moto.

Oppure stai considerando ancora il caso "statico" ? (ammesso che abbia senso farlo)