Stati quantistici
Sto risolvendo un problema relativo ad un oscillatore armonico in cui non si hanno stati eccitati oltre il secondo, quindi mi scrive lo stato generico come
$|\phi> = A |0> + B |1> + C |2>$
A,B,C reali. Mi si chiede di calcolare il valor medio dell'operatore $x$ utilizzando gli operatori di creazione/distruzione.
Il testo risolve , chiamando $K=(h/(2m\omega))^(1/2)$
$x |n> = K (a+a^(+)) |n> = K ( \sqrtn |n-1> + \sqrt(n+1)|n+1>) $
Poi scrive direttamente
$ = K (2AB+2 \sqrt2BC) $
Qualcuno sa spiegarmi bene quest'ultimo passaggio? Grazie
$|\phi> = A |0> + B |1> + C |2>$
A,B,C reali. Mi si chiede di calcolare il valor medio dell'operatore $x$ utilizzando gli operatori di creazione/distruzione.
Il testo risolve , chiamando $K=(h/(2m\omega))^(1/2)$
$x |n> = K (a+a^(+)) |n> = K ( \sqrtn |n-1> + \sqrt(n+1)|n+1>) $
Poi scrive direttamente
$
Qualcuno sa spiegarmi bene quest'ultimo passaggio? Grazie
Risposte
Guarda, devi solo calcolare $x |\phi>$ cioè $K (a+a^(+)) (A |0> + B |1> + C |2>)$ usando su ciascun ket l'espressione
$ x |n> = K (a+a^(+)) |n> = K ( \sqrtn |n-1> + \sqrt(n+1)|n+1>) $ che ti ha dato il libro.
E poi il risultato lo usi per fare il prodotto bra-ket con $<\phi| = A <0| + B <1| + C <2| $
(qui in realtà avresti i coniugati di $A, B, C$, ma in questo caso sono reali, quindi li lasci uguali a sè stessi)
$ x |n> = K (a+a^(+)) |n> = K ( \sqrtn |n-1> + \sqrt(n+1)|n+1>) $ che ti ha dato il libro.
E poi il risultato lo usi per fare il prodotto bra-ket con $<\phi| = A <0| + B <1| + C <2| $
(qui in realtà avresti i coniugati di $A, B, C$, ma in questo caso sono reali, quindi li lasci uguali a sè stessi)
Ok perfetto sei stato grande davvero Quindi poi uso l'ortonormalità della base per dire che i prodotti tra stati diversi si annullano e quelli con lo stesso stato fanno 1 giusto?.
Un'altra cosa, quindi se ho una rappresentazione tramite ket per uno stato e decido di "girarlo" facendolo diventare bra è come se mettessi il coniugato a tutto?
Quindi poi uso l'ortonormalità della base per dire che i prodotti tra stati diversi si annullano e quelli con lo stesso stato fanno 1 giusto?.Un'altra cosa, quindi se ho una rappresentazione tramite ket per uno stato e decido di "girarlo" facendolo diventare bra è come se mettessi il coniugato a tutto?
"Tomt":
Quindi poi uso l'ortonormalità della base per dire che i prodotti tra stati diversi si annullano e quelli con lo stesso stato fanno 1 giusto?
Yeah
"Tomt":
Un'altra cosa, quindi se ho una rappresentazione tramite ket per uno stato e decido di "girarlo" facendolo diventare bra è come se mettessi il coniugato a tutto?
Esatto, i ket diventano bra e i coefficienti li sostituisci con i coniugati.
Grazie ancora, spero puoi indirizzarmi anche su questo.
Ho un atomo di idrogeno nello stato $P$ ed $n=2$, tale stato contiene autostati di $L_z$ relativi ad autovalori $+-1$
Quindi se chiamo l'autostato generico $|nlm>$ comune ad $H,L^2,L_z$ posso scrivere
$|\phi> = A |211> + B |21-1>$
ora mi chiede il valore medio sullo stato.
Quindi come nell'esempio che mi hai aiutato a risolvere ho prima calcolato
$L_z|\phi> = (xp_y-yp_x)|\phi>$ e poi ho fatto il prodotto con $ <\phi|$
Però ottengo
$ <\phi|L_z|\phi> = |A|^2 <211|xp_y|211> - |A|^2 <211|yp_x|211> + |B|^2 <21-1|xp_y|21-1> - |B|^2 <21-1|yp_y|21-1>$
e la soluzione del testo è
$|A|^2 h - |B|^2 h$ (sarebbe h tagliato).
Come lo ottengo quel risultato dalla mia scrittura? Posto che abbia scritto bene i prodotti ... Spero potrai aiutarmi
Ho un atomo di idrogeno nello stato $P$ ed $n=2$, tale stato contiene autostati di $L_z$ relativi ad autovalori $+-1$
Quindi se chiamo l'autostato generico $|nlm>$ comune ad $H,L^2,L_z$ posso scrivere
$|\phi> = A |211> + B |21-1>$
ora mi chiede il valore medio sullo stato.
Quindi come nell'esempio che mi hai aiutato a risolvere ho prima calcolato
$L_z|\phi> = (xp_y-yp_x)|\phi>$ e poi ho fatto il prodotto con $ <\phi|$
Però ottengo
$ <\phi|L_z|\phi> = |A|^2 <211|xp_y|211> - |A|^2 <211|yp_x|211> + |B|^2 <21-1|xp_y|21-1> - |B|^2 <21-1|yp_y|21-1>$
e la soluzione del testo è
$|A|^2 h - |B|^2 h$ (sarebbe h tagliato).
Come lo ottengo quel risultato dalla mia scrittura? Posto che abbia scritto bene i prodotti ... Spero potrai aiutarmi
Ti stai complicando la vita, non hai bisogno di esprimere $L_z$ in termini di $x$, $y$ e $p$. Come hai già notato, l’operatore momento angolare $L_z$ commuta con l’hamiltoniano dell’atomo di idrogeno (che è invariante per rotazioni) quindi gli autostati di $H$ sono anche autostati di $L_z$.
E l’autovalore di $L_z$ sull’autostato $|n,l,m>$ è $ħm$, cioè $L_z |n,l,m> = ħm |n,l,m>$. Quindi basta che fai agire $L_z$ sui ket usando questa espressione, come nel caso precedente.
E l’autovalore di $L_z$ sull’autostato $|n,l,m>$ è $ħm$, cioè $L_z |n,l,m> = ħm |n,l,m>$. Quindi basta che fai agire $L_z$ sui ket usando questa espressione, come nel caso precedente.
Speriamo che prendendo facciate contro il muro fino alla fine imparo. Grazie ancora , gentilissimo
tranquillo, anche io imparo sempre e solo in quel modo 
Temo sia l'unico allora XD
Visto che ormai sei il mio mentore quantistico mi sapresti dire come interpretare un prodotto tra stati, se di prodotto si tratta, scritto in questo modo ?
$|\phi><\psi|$
Cioè il bra sarebbe come abbiamo detto il ket girato con i coniugati però poi in che modo faccio questo prodotto? Sia formalmente sia ad esempio se ho gli stati in forma vettoriale.
Visto che ormai sei il mio mentore quantistico mi sapresti dire come interpretare un prodotto tra stati, se di prodotto si tratta, scritto in questo modo ?
$|\phi><\psi|$
Cioè il bra sarebbe come abbiamo detto il ket girato con i coniugati però poi in che modo faccio questo prodotto? Sia formalmente sia ad esempio se ho gli stati in forma vettoriale.
È un prodotto esterno, ed è alla base degli operatori di proiezione. Sulla pagina wikipedia della notazione bra-ket trovi qualche info "al volo" su cos'è e come si calcola:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bra–ket_notation
verso la fine, nel paragrafo "Outer products".
Ma poi ti consiglio di guardartelo bene su un libro, perchè è un concetto fondamentale del formalismo della MQ, e introdurlo su wikipedia o su un forum non è l'ideale.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bra–ket_notation
verso la fine, nel paragrafo "Outer products".
Ma poi ti consiglio di guardartelo bene su un libro, perchè è un concetto fondamentale del formalismo della MQ, e introdurlo su wikipedia o su un forum non è l'ideale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo