Stati legati, energia e potenziale

[Deimos90rm]

Ciao, ho qualche dubbio sulla definizione di stati legati. Se ho una buca di potenziale, una particella si trova in uno stato legato se la sua energia è minore dell'altezza della buca. Se invece il potenziale ha questo andamento:
in x=0 è infinito e negativo;
per x per x>a è finito e negativo, diciamo che vale -V.
Il professore dice che in questo caso gli stati legati corrispondono a valori dell'energia minori di -V. Ma questo non va in contrasto con il fatto che gli autovalori dell'energia devono essere maggiori del minimo del potenziale? Oppure grazie al fatto che la barriera in x=0 vale meno infinito la particella può assumere qualsiasi valore dell'energia?

[Spremiagrumi1]

L'energia deve essere sempre maggiore del minimo valore dell'energia potenziale. Il minimo dell'energia potenziale è meno infinito in questo caso.

Oppure grazie al fatto che la barriera in x=0 vale meno infinito la particella può assumere qualsiasi valore dell'energia?

Questo non è per forza vero. Negli stati legati l'energia è quantizzata, risolvendo l'equazione di Sch. ottieni i valori dell'energia permessi.

[Deimos90rm]

Si scusa, intendevo che dovendo essere maggiore di meno infinito non ci sono restrizioni riguardo al suo valore.

Comunque grazie è come pensavo. Quindi se in 0 il potenziale fosse 0, non esisterebbero stati legati?

[Deimos90rm]

Forse non nella regione xa si, quando l'energia è compresa tra -V e 0.

[Spremiagrumi1]

"Deimos90rm":Forse non nella regione xa si, quando l'energia è compresa tra -V e 0.

No. Non avresti stati legati in assoluto.

Uno stato legato è definito come

$E < V(-\infty), V(\infty)$

Se avessimo un energia compresa tra $-V$ e $0$ questa energia sarebbe minore di $ V(-\infty)=0$ ma sarebbe maggiore di $V(\infty)=-V$

Si tratta di uno stato di diffusione che è definito come

$E > V(-\infty)$ o (attento "o") $E > V(\infty)$

Infatti nel problema originale mi dici

Il professore dice che in questo caso gli stati legati corrispondono a valori dell'energia minori di -V.

Infatti solo gli stati con energia minore di $-V$ rispettano la condizione

$E < V(-\infty), V(\infty)$

"Deimos90rm":Si scusa, intendevo che dovendo essere maggiore di meno infinito non ci sono restrizioni riguardo al suo valore.

L'avevo capito che avevi capito, però sono dettagli importanti

Quindi se in 0 il potenziale fosse 0, non esisterebbero stati legati?

No, non esisterebbero per il motivo che ti ho spiegato prima

[Deimos90rm]

Grazie mille, è tutto chiaro!

[vivi996]

Buongiorno , scusate se riapro il discorso, ma a me non é chiaro come possano esistere stati legati (lo diceva il professore) se il potenziale minimo è meno inf. Lo stato legato corrisponderebbe ad un valore dell'energia ancora minore di Vmin=-infinito? (Che l'energia debba essere minore di -V per lo stato legato é chiaro) Se fosse vero però non rispetterebbe la condizione che l'energia debba essere maggiore di Vmin. Non ci sono mai stati legati

[tottomagoog]

Ciao. Non ho capito se il tuo quesito è rivolto a questa discussione o in generale. Quando dici che se il potenziale va a meno infinito, avremmo un' energia ancora minore, non capisco il ragionamento. Chiaramente non può essere minore ma deve essere sempre maggiore del minimo altrimenti l'unico altro contributo, che sarebbe l'energia cinetica, dovrebbe essere negativa e ciò è impossibile. Oppure dovrebbe essere che un valore medio è inferiore al minimo valore assunto ed anche ciò è impossibile. Non capisco da dove hai tirato fuori questo assurdo. Se ti spieghi meglio posso provare ad aiutarti.

[vivi996]

Si, riguardava questa discussione. Non mi tornava il fatto che il suo professore avesse detto che esistono stati legati associati a quell'hamiltoniana. Perché io ho uno stato legato quando l'energia é minore del potenziale a più e meno infinito. In questo caso, per rispettare questa condizione, dovremmo avere E<-V a più infinito e invece per quanto riguarda a meno infinito questa condizione non può essere soddisfatta in alcun modo, o mi sfugge qualcosa? Anche perché appunto l'energia dovrebbe essere sempre maggiore del potenziale minimo che in questo caso é meno infinito ...quindi non possono esistere stati legati per questo esercizio. Mi sono spiegata?

[tottomagoog]

"vivi96": Perché io ho uno stato legato quando l'energia é minore del potenziale a più e meno infinito. [...] Anche perché appunto l'energia dovrebbe essere sempre maggiore del potenziale minimo

Come possono queste due affermazioni essere, in generale, vere entrambe?

[vivi996]

In questo caso mai. In generale, tipo oscillatore armonico

[tottomagoog]

Una funzione di dirac del tipo $-gdelta(x)$ ha stati legati. Quindi anche se puntiamo a $-infty$ possiamo trovarli (ne ha uno solo in realtà). Il punto è che MAI troverai una energia che sia minore del valore minimo del potenziale. La tua affermazione "Perché io ho uno stato legato quando l'energia é minore del potenziale a più e meno infinito" è falsa. Può essere vera in casi particolari ma non ha senso portarla ad esempio se non può essere usata per dedurre qualcosa di utile. Nell'oscillatore armonico non è vero che l'energia è minore del valore del potenziale all'infinito, non in generale. Nel caso semplice in cui il potenziale è del tipo $x^2$ è vero ma questo solo perchè all'infinito il potenziale è infinito. Ed una energia infinita è qualcosa da cui è meglio stare alla larga. L'oscillatore armonico può tranquillamente esistere in buche di potenziali in cui la tua condizione all'infinito non è verificata.

[vivi996]

Ah ok grazie mille, allora quale sarebbe più in generale la condizione per ottenere uno stato legato? Perché ho sempre usato quella ed in casi particolari E<0 per stati legati (che da quello che ho capito discende da quella citata prima che a quanto pare non é corretta) mentre ad E>0 associo stati di diffusione. E invece per quanto riguarda l'oscillatore armonico effettivamente pensavo al caso più semplice ( $x^2$ )

[tottomagoog]

Capisco perchè tu lo abbia pensato, ma cancella subito queste cose dalal tua mente oppure più in là avrai problemi. Mentre anche l'energia negativa associata ad uno stato legato è falsa. Una buca può tranquillamente valere 0 in un intervallo ed un valore finito e positivo al di fuori. Quindi nessuna energia negativa è permessa, poichè il minimo è 0. Tuttavia dentro la buca la particella è confinata e ci saranno stati legati eccome, ad energia positiva. Se l'energia aumenta fino a superare il valore finito del potenziale (in questo nostro esempio) si passa ad uno stato non legato, ovvero un moto infinito. Le diffusioni sono tutta altra storia e per trattarle bisogna aver fatto tutta una serie di argomenti di un certo spessore. Non per niente generalmente si tratta verso la fine dei corsi di quantistica, non all'inizio se non come esempi qualitativi.

La condizione "generale" è che l'energia della particella deve essere confinata in una regione di spazio ove sussiste il potenziale. Se questo è possibile solo in un intervallo allora in tale intervallo ci possono essere stati legati, al di fuori no. Gli stati legati sono caratterizzati da uno spettro discreto, quindi l'energia è quantizzata. Il moto infinito è invece caratterizzato da uno spettro continuo, quindi senza quantizzazione dell'energia.

[vivi996]

Ok ho capito, ti ringrazio , continuerò a prestarci attenzione

[vivi996]

Ok ho capito, ti ringrazio , continuerò a prestarci attenzione