Stabilità posizioni di equilibrio 2° metodo di Lyapunov
ciao a tutti,
nello studio della stabiltà di una posizione di equilibrio con il secondo metodo di Lyapunov,quand è che non posso usare gli integrali primi e devo ricorrere ad una funzione di Lyapunov?
ad esempio se ho il sistema
nella posizione $ P(x,y)=(0,0) $ per alpha=0 perchè non riesco ad individuare un integrale primo ma devo usare la funzione dell energia $ W(x,y)=1/2y^2+1/4y^4 $ ??e poi perchè proprio questa funzione? esiste qualche metodo per capire come scegliere la funzione?grazie in anticipo a quanti proveranno ad aiutarmi!
nello studio della stabiltà di una posizione di equilibrio con il secondo metodo di Lyapunov,quand è che non posso usare gli integrali primi e devo ricorrere ad una funzione di Lyapunov?
ad esempio se ho il sistema
nella posizione $ P(x,y)=(0,0) $ per alpha=0 perchè non riesco ad individuare un integrale primo ma devo usare la funzione dell energia $ W(x,y)=1/2y^2+1/4y^4 $ ??e poi perchè proprio questa funzione? esiste qualche metodo per capire come scegliere la funzione?grazie in anticipo a quanti proveranno ad aiutarmi!
Risposte
Ciao, non ho capito benissimo le tue domande, però forse posso aiutarti a capire il "senso fisico" che si utilizza nel ricercare le funzioni di Lyapunov di un sistema dinamico. Se sostituisci l'equazione [tex]\dot x=y[/tex] nella seconda, ottieni:
[tex]\ddot x=\alpha x -\dot x -x^3 -\dot x x^2[/tex]. Adesso, puoi vedere questa equazione come l'equazione del moto di un punto materiale soggetto alla forza conservativa (dipendente solo dalla posizione) data dal termine [tex]\alpha x -x^3[/tex] e dalla forza d'attrito data dal termine [tex]\dot x -\dot x x^2=-\dot x(1+x^2)[/tex]. Poichè questo termine da un contributo all'accelerazione sempre opposto alla velocità, a causa del segno meno (la quantità tra parentesi è sempre positiva), il moto è smorzato. Quindi una funzione di Lyapunov è l'energia:
[tex]E=\frac{1}{2}\dot x^2-(\alpha x^2/2-x^4/4)[/tex].
Prova a verificare che questa funzione sia effettivamente decrescente lungo la traiettoria del sistema dinamico, e che è positiva se [tex]x^2>2\alpha[/tex]. Nel caso [tex]\alpha<0[/tex] questa disuguaglianza è sempre rispettata, ed in effetti l'energia meccanica è una funzione di Lyapunov. Nel caso in cui sia [tex]\alpha>0[/tex], però, questa funzione non va bene e andrebbe cercata un'altra funzione di Lyapunov (che potrebbe essere quella che consigliava il testo dell'esercizio).
[tex]\ddot x=\alpha x -\dot x -x^3 -\dot x x^2[/tex]. Adesso, puoi vedere questa equazione come l'equazione del moto di un punto materiale soggetto alla forza conservativa (dipendente solo dalla posizione) data dal termine [tex]\alpha x -x^3[/tex] e dalla forza d'attrito data dal termine [tex]\dot x -\dot x x^2=-\dot x(1+x^2)[/tex]. Poichè questo termine da un contributo all'accelerazione sempre opposto alla velocità, a causa del segno meno (la quantità tra parentesi è sempre positiva), il moto è smorzato. Quindi una funzione di Lyapunov è l'energia:
[tex]E=\frac{1}{2}\dot x^2-(\alpha x^2/2-x^4/4)[/tex].
Prova a verificare che questa funzione sia effettivamente decrescente lungo la traiettoria del sistema dinamico, e che è positiva se [tex]x^2>2\alpha[/tex]. Nel caso [tex]\alpha<0[/tex] questa disuguaglianza è sempre rispettata, ed in effetti l'energia meccanica è una funzione di Lyapunov. Nel caso in cui sia [tex]\alpha>0[/tex], però, questa funzione non va bene e andrebbe cercata un'altra funzione di Lyapunov (che potrebbe essere quella che consigliava il testo dell'esercizio).
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