Stabilità di un punto di equilibrio

[giantmath]

devo trovare i punti di equilibrio del sistema ridotto ossia con Lagrangiana ridotta $ bar(L)=1/2mdot(r)^2-l^2/(2mr^2)-alpha/(mr)+(4beta)/(3mr^(3/2)) $ con $ V_{eff}=alpha/(mr)-(4beta)/(3mr^(3/2))+l^2/(2mr^2) $ .
ho trovato i seguenti punti di equilibrio $ r^(1/2)=beta/alpha+-1/alpha√(beta^2-alphal^2) $ . tuttavia non riesco a studiarne la stabilità, cioè dovrei valutare $ V_{eff}^('')=(2alpha)/(mr^3)-(5beta)/(mr^(3/2))+(3l^2)/(mr^4) $ nelle due $ r^(1/2) $ e vedere se $ V_{eff}^('')>0 $ o $ V_{eff}^('')<0 $ però i calcoli mi risultano troppo complicati da portare a termine

[anonymous_0b37e9]

Punto 1

$V=1/m*(\alpha*r^(-1)-4/3\beta*r^(-3/2)+l^2/2*r^(-2)) rarr$

$rarr (dV)/(dr)=1/m*(-\alpha*r^(-2)+2\beta*r^(-5/2)-l^2*r^(-3)) rarr$

$rarr (dV)/(dr)=1/m*r^(-3)*(-\alpha*r+2\beta*r^(1/2)-l^2)$

Punto 2

$(dV)/(dr) gt=0 rarr$

$rarr 1/m*r^(-3)*(-\alpha*r+2\beta*r^(1/2)-l^2) gt= 0 rarr$

$rarr -\alpha*r+2\beta*r^(1/2)-l^2 gt= 0 rarr$

$rarr \alpha*r-2\beta*r^(1/2)+l^2 lt= 0 rarr$

$rarr (\beta-sqrt(\beta^2-\alphal^2))/\alpha lt= r^(1/2) lt= (\beta+sqrt(\beta^2-\alphal^2))/\alpha$

ammesso che:

$[\alpha gt 0] ^^ [\beta gt 0] ^^ [\beta^2-\alphal^2 gt 0]$

Ad ogni modo, se il calcolo della derivata seconda è sconveniente, si può sempre studiare il segno della derivata prima nell'intorno di:

$r^(1/2)=(\beta-sqrt(\beta^2-\alphal^2))/\alpha$

(l'energia potenziale prima decresce e poi cresce: minimo)

$r^(1/2)=(\beta+sqrt(\beta^2-\alphal^2))/\alpha$

(l'energia potenziale prima cresce e poi decresce: massimo)

[giantmath]

avrei due domande in merito:
è giusto affermare che quindi, essendo rispettivamente un punto di minimo e di massimo, le orbite nel piano sono delle circonferenze? mi si chiede a questo proposito di scrivere la traiettoria nel piano ma non ho chiara la richiesta