Stabilità alla Lyapunov

thedarkhero
Si consideri il sistema di equazioni differenziali nel piano:
$dot x = x(y-k)$ $dot y=x(e^y-1)-y$
dipendente dal parametro reale $k$.
(a) Determinarne gli equilibri
(b) Linearizzarlo attorno all'equilibrio (0,0). Cosa si può concludere sulle proprietà di stabilità di (0,0)?
(c) Si può dire qualcosa sulla stabilità o instabilità di (0,0) se k=0?

Svolgimento:
(a) Gli equilibri si ottengono ponendo $dot x = dot y = 0 $ e sono $(0,0)$, $(k/(e^k-1),k)$ se $k!=0$, $(lambda,0)$ $lambda \in RR$ se $k=0$.
(b) La matrice Jacobiana associata al sistema è $((y-k,x),(e^y-1,xe^y-1))$, calcolata nell'equilibrio $(0,0)$ diventa quindi $((-k,0),(0,-1))$ e la sua linearizzazione è quindi $dot x=-kx$ $dot y=-y$.
Per il primo teorema di Lyapunov se k>0 l'origine è asintoticamente stabile, se k<0 l'origine è instabile.
(c) Non si può dire niente.

Qualcuno può gentilmente darmi conferma della correttezza di queste risposte?

Risposte
j18eos
Concordo con te!

thedarkhero
Altra cosa...qual'è la dimensione dell'autospazio stabile della linearizzazione in (0,0) al variare di k?
Dove entrambi gli autovalori sono negativi, cioè per $k>0$ è 2, altrimenti è 1 perchè c'è un solo autovalore negativo. Corretto?

j18eos
Se intendi lo spazio generato dagli autovettori la risposta è si per [tex]$0

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