Stabilità alla Lyapunov

[thedarkhero]

Si consideri il sistema di equazioni differenziali nel piano:
$dot x = x(y-k)$ $dot y=x(e^y-1)-y$
dipendente dal parametro reale $k$.
(a) Determinarne gli equilibri
(b) Linearizzarlo attorno all'equilibrio (0,0). Cosa si può concludere sulle proprietà di stabilità di (0,0)?
(c) Si può dire qualcosa sulla stabilità o instabilità di (0,0) se k=0?

Svolgimento:
(a) Gli equilibri si ottengono ponendo $dot x = dot y = 0 $ e sono $(0,0)$, $(k/(e^k-1),k)$ se $k!=0$, $(lambda,0)$ $lambda \in RR$ se $k=0$.
(b) La matrice Jacobiana associata al sistema è $((y-k,x),(e^y-1,xe^y-1))$, calcolata nell'equilibrio $(0,0)$ diventa quindi $((-k,0),(0,-1))$ e la sua linearizzazione è quindi $dot x=-kx$ $dot y=-y$.
Per il primo teorema di Lyapunov se k>0 l'origine è asintoticamente stabile, se k<0 l'origine è instabile.
(c) Non si può dire niente.

Qualcuno può gentilmente darmi conferma della correttezza di queste risposte?

[j18eos]

Concordo con te!

[thedarkhero]

Altra cosa...qual'è la dimensione dell'autospazio stabile della linearizzazione in (0,0) al variare di k?
Dove entrambi gli autovalori sono negativi, cioè per $k>0$ è 2, altrimenti è 1 perchè c'è un solo autovalore negativo. Corretto?

[j18eos]

Se intendi lo spazio generato dagli autovettori la risposta è si per [tex]$0

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