Spostamento finito, infinitesimo
Salve ragazzi, vi contatto perché ho una domanda alla quale non riesco a trovare una risposta convincente: non ho capito perchè, nell'ambito della meccanica razionale, risulta conveniente utilizzare il concetto di spostamento infinitesimo piuttosto che quello di spostamento finito...
Risposte
Ad esempio?
"antumb":
Salve ragazzi, vi contatto perché ho una domanda alla quale non riesco a trovare una risposta convincente: non ho capito perchè, nell'ambito della meccanica razionale, risulta conveniente utilizzare il concetto di spostamento infinitesimo piuttosto che quello di spostamento finito...
ti rispondo con due domande,ad esempio,
1) come calcoli la velocità istantanea di un oggetto ?
2) supponi che un corpo che si muova lungo l'asse x da un punto $x_1$ ad uno $x_2$ sia sottoposto ad una forza avente direzione e verso lungo l'asse x e modulo che dipende dalla posizione del punto
come calcoleresti il lavoro fatto dalla forza?
"antumb":
Salve ragazzi, vi contatto perché ho una domanda alla quale non riesco a trovare una risposta convincente: non ho capito perchè, nell'ambito della meccanica razionale, risulta conveniente utilizzare il concetto di spostamento infinitesimo piuttosto che quello di spostamento finito...
Non soltanto in Meccanica Razionale si ricorre al concetto di quantità infinitesima anziché finita.
Mi sembra innanzitutto (Gugo corregga) che "infinitesimo di $f(x)$ in $x_0$ " significhi che $f(x)$ tende a zero per $x$ che tende a $x_0$ , naturalmente con tutte le precisazioni e premesse necessarie e perciò tanto care ai matematici, questo va scritto come :
$\lim_(x\to "x_0") f(x) = 0 $.
(scusate la scrittura, non mi viene bene $x_0$ sotto il simbolo di limite)
Perciò, anziché "quantità infinitesima" , io parlerei di "differenziale" di una quantità : $dx$ , il famigerato $dx$ , che in milioni di occasioni si può sostituire all'incremento.
Data una funzione $y = f(x)$, sempre con tutte le precisazioni necessarie, si può sostituire all' incremento $\Deltay$ il suo differenziale $dy$ , perché la differenza tra incremento e differenziale è una quantità infinitesima di "ordine superiore" rispetto alla variabile indipendente $x$ nel punto in esame.
E risulta che per la variabile indipendente l'incremento e il differenziale siano uguali : $\Deltax = dx$.
Il mio ormai defunto professore di Analisi matematica, Federico Cafiero (che forse Gugo ricorda ma non può aver conosciuto) dise una volta , a chi gli poneva la domanda : "Ragazzi, chiudiamo per un momento il libro di Analisi. Pensate al $dx$ come a una quantità piccola, piccolissima, che potete trattare come se fosse finita ".
Quale è il vantaggio ? Per esempio, in meccanica razionale, la quantità finita $\Delta\vecr = \vecr_2 - \vecr_1$ in una circonferenza di raggio $r$ è secante alla circonferenza. Ma $\vecdr$ è tangente. E a noi serve $\vecdr$ per definire la velocità istantanea $(\vecdr)/(\dt) $ , non vogliamo la velocità media $(\Delta\vecr)/(\Deltat)$ .
Ripeto, i matematici avranno un sacco da correggere in quello che ho detto, ma spero che almeno un 18 , dopo 50 anni che ho studiato queste cose, il buon Gugo me lo dia !
@ navigatore: Ma anche 30, quanto meno per la citazione di Cafiero:
che conosco come autore di testi di Analisi e Teoria della Misura, ma non ho mai incontrato di persona per motivi anagrafici.
P.S.: Studiato a Catania, Napoli, Pisa o Roma?
"navigatore":
Il mio ormai defunto professore di Analisi matematica, Federico Cafiero (che forse Gugo ricorda ma non può aver conosciuto) disse una volta , a chi gli poneva la domanda : "Ragazzi, chiudiamo per un momento il libro di Analisi. Pensate al $dx$ come a una quantità piccola, piccolissima, che potete trattare come se fosse finita ".
che conosco come autore di testi di Analisi e Teoria della Misura, ma non ho mai incontrato di persona per motivi anagrafici.
P.S.: Studiato a Catania, Napoli, Pisa o Roma?
Grazie mille per la risposta ragazzi, sul libro inoltre vi è scritto che:<< il differenziale di P o r è molto importante perché in questioni teoriche ed applicative, può approssimare lo spostamento effettivo (finito), a meno di un errore h, con un elevatissimo vantaggio in quanto, calcolato a partire da un assegnato valore delle variabili x, risulta una funzione lineare dei dx. >>
Quindi il vantaggio sta anche nel fatto che utilizzando il concetto di s. infinitesimo, la funzione si linearizza e quindi mi troverò ad operare con funzioni "più immediate" ?
Quindi il vantaggio sta anche nel fatto che utilizzando il concetto di s. infinitesimo, la funzione si linearizza e quindi mi troverò ad operare con funzioni "più immediate" ?
@ Gugo82
[ot]
Grazie per il 30 Gugo!
Federico Cafiero, Renato Fiorenza, Paolo de Lucia, erano la Trimurti di Analisi matematica, al quarto piano di via Mezzocannone, che dal Rettifilo sale a piazza San Domenico Maggiore…Feci l'esame di Analisi 1 con don Renato, alle otto di sera di una caldo giorno di Luglio, era il mio primo esame universitario….lui mi voleva dare 30…poi venne don Federico, mi fece una domanda per me terribile, su una successione che non convergeva, non mi ricordo bene…e mi abbassò il voto a 27!
Ma poi mi rifeci ad Analisi 2 , con 30 e lode…
Franchetta, Dalla Volta, MAstrogiacomo i miei docenti di Geometria, Franco Stoppelli di Meccanica razionale….quanti ricordi Gugo! Mi sto facendo vecchio, casseruola! Saranno tutti morti, o forse no... non so![/ot]
Sotto correzione di Gugo e di altri esperti:
L'uso del "differenziale" in realtà non è che ti consenta di operare con funzioni più immediate perché lineari. Esso ti consente invece di fare delle assunzioni più semplici, sui calcoli che devi svolgere, per arrivare ad un certo risultato.
Un esempio forse è migliore di tanti discorsi.
Supponiamo tu debba calcolare l'area di un cerchio di raggio $R$. Sai che una circonferenza di raggio $r$ è lunga $2\pir$. Allora consideri una corona circolare, di raggio interno $r$ e raggio esterno $r + dr$ .
Cioè stai considerando un differenziale $dr$ .
E dici che l'area "elementare" della corona circolare è uguale a quella di un rettangolo, che ha per lati $2\pir$ e $dr$.
Perciò l'area elementare vale $2\pir*dr$ . Che te ne fai? Immagina di estendere questo procedimento a tutto il cerchio, da $r=0$ a $r = R$ . Questa estensione è un processo che si chiama "integrazione" , come ci insegna il calcolo differenziale e integrale. E questo procedimento ti porta a calcolare l'esatto valore dell'area : $ A = \piR^2$, applicando il "teorema fondamentale del calcolo integrale" .
Ma l'utilità dell'uso del differenziale non si esaurisce qui.
[ot]
"gugo82":
@ navigatore: Ma anche 30, quanto meno per la citazione di Cafiero:
………..
P.S.: Studiato a Catania, Napoli, Pisa o Roma?
Grazie per il 30 Gugo!
Federico Cafiero, Renato Fiorenza, Paolo de Lucia, erano la Trimurti di Analisi matematica, al quarto piano di via Mezzocannone, che dal Rettifilo sale a piazza San Domenico Maggiore…Feci l'esame di Analisi 1 con don Renato, alle otto di sera di una caldo giorno di Luglio, era il mio primo esame universitario….lui mi voleva dare 30…poi venne don Federico, mi fece una domanda per me terribile, su una successione che non convergeva, non mi ricordo bene…e mi abbassò il voto a 27!
Ma poi mi rifeci ad Analisi 2 , con 30 e lode…
Franchetta, Dalla Volta, MAstrogiacomo i miei docenti di Geometria, Franco Stoppelli di Meccanica razionale….quanti ricordi Gugo! Mi sto facendo vecchio, casseruola! Saranno tutti morti, o forse no... non so![/ot]
"antumb":
………...
Quindi il vantaggio sta anche nel fatto che utilizzando il concetto di s. infinitesimo, la funzione si linearizza e quindi mi troverò ad operare con funzioni "più immediate" ?
Sotto correzione di Gugo e di altri esperti:
L'uso del "differenziale" in realtà non è che ti consenta di operare con funzioni più immediate perché lineari. Esso ti consente invece di fare delle assunzioni più semplici, sui calcoli che devi svolgere, per arrivare ad un certo risultato.
Un esempio forse è migliore di tanti discorsi.
Supponiamo tu debba calcolare l'area di un cerchio di raggio $R$. Sai che una circonferenza di raggio $r$ è lunga $2\pir$. Allora consideri una corona circolare, di raggio interno $r$ e raggio esterno $r + dr$ .
Cioè stai considerando un differenziale $dr$ .
E dici che l'area "elementare" della corona circolare è uguale a quella di un rettangolo, che ha per lati $2\pir$ e $dr$.
Perciò l'area elementare vale $2\pir*dr$ . Che te ne fai? Immagina di estendere questo procedimento a tutto il cerchio, da $r=0$ a $r = R$ . Questa estensione è un processo che si chiama "integrazione" , come ci insegna il calcolo differenziale e integrale. E questo procedimento ti porta a calcolare l'esatto valore dell'area : $ A = \piR^2$, applicando il "teorema fondamentale del calcolo integrale" .
Ma l'utilità dell'uso del differenziale non si esaurisce qui.
okok grazie mille....=)
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