Spire in un campo magnetico variabile
Salve, ho un problema con il seguente esercizio:
Spiego cosa ho fatto: intanto ho calcolato il flusso del campo magnetico nelle spire tramite la formula $ phi =NBpi a^2 $ . A questo punto faccio una cosa che non so se sia lecita, anzi nutro molti dubbi: ovvero, sapendo che B varia uniformemente nel tempo, ho calcolato il coefficiente angolare della retta del grafico tramite $ k=B/(t 0) $ . Avendo fatto questo posso calcolarmi la fem indotta, che, essendo la variazione di B costante ne tempo, dovrebbe risultare costante. Questa fem indotta, coincide con la differenza di potenziale ai capi del condensatore? Perché se così fosse avrei finito l'esercizio essendo V costante nel tempo. Spero di non aver detto troppe cose sbagliate in un solo post
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Spiego cosa ho fatto: intanto ho calcolato il flusso del campo magnetico nelle spire tramite la formula $ phi =NBpi a^2 $ . A questo punto faccio una cosa che non so se sia lecita, anzi nutro molti dubbi: ovvero, sapendo che B varia uniformemente nel tempo, ho calcolato il coefficiente angolare della retta del grafico tramite $ k=B/(t 0) $ . Avendo fatto questo posso calcolarmi la fem indotta, che, essendo la variazione di B costante ne tempo, dovrebbe risultare costante. Questa fem indotta, coincide con la differenza di potenziale ai capi del condensatore? Perché se così fosse avrei finito l'esercizio essendo V costante nel tempo. Spero di non aver detto troppe cose sbagliate in un solo post
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
"Rob1997":
... faccio una cosa che non so se sia lecita, anzi nutro molti dubbi: ovvero, sapendo che B varia uniformemente nel tempo, ho calcolato il coefficiente angolare della retta del grafico tramite $ k=B/(t 0) $ ...
Ok, in questo caso particolare puoi fare anche in quel modo, ma perché non imparare un metodo generale, andando a scrivere il campo e di conseguenza il flusso concatenato con la spira in funzione del tempo?
"Rob1997":
... Avendo fatto questo posso calcolarmi la fem indotta, che, essendo la variazione di B costante ne tempo, dovrebbe risultare costante. Questa fem indotta, coincide con la differenza di potenziale ai capi del condensatore?...
No, coincide con la tensione che alimenta la serie fra la resistenza R del circuito e il condensatore C, ipotizzando di poter trascurare il coefficiente di autoinduzione L della spira (ipotesi che comunque andrebbe verificata).
"Rob1997":
... Perché se così fosse avrei finito l'esercizio essendo V costante nel tempo. .
Scusa ma, a parte quanto detto in precedenza, la V non è costante se non nell'intervallo di salita lineare del campo magnetico, ovvero per $0
BTW Quel commento in rosso fra parentesi fa parte del testo originale?
Allora, per quanto riguarda il commento in rosso non ti saprei dire, ho trovato l'esercizio così, non so se l'ha aggiunto qualcuno o era così dal principio. Per quanto riguarda tensione e potenziale, intendevo appunto tra l'intervallo di tempo $ 0< tt0 $, avrei trattato il problema come un processo di scarica del condensatore, e quindi $ i(t)=E/Re^(-t/(RC) $ . Per la prima domanda, ovvero se esiste un metodo per calcolare il flusso, non saprei come fare se l'eventuale variazione del campo non fosse lineare, come in questo caso... Hai qualche consiglio? 
Ah, inoltre il coefficiente di autoinduzione non viene fornito, quindi ho ipotizzato che non vi fosse induttore nel circuito. Mentre per quanto riguarda la domanda riguardante la tensione, il fatto che sia la tensione che alimenta la serie tra resistore e condensatore, influenza la d.d.p.?
Ah, inoltre il coefficiente di autoinduzione non viene fornito, quindi ho ipotizzato che non vi fosse induttore nel circuito. Mentre per quanto riguarda la domanda riguardante la tensione, il fatto che sia la tensione che alimenta la serie tra resistore e condensatore, influenza la d.d.p.?
"Rob1997":
... Per la prima domanda, ovvero se esiste un metodo per calcolare il flusso, non saprei come fare se l'eventuale variazione del campo non fosse lineare, come in questo caso... Hai qualche consiglio? ...
Beh, in ogni caso ti sarà data la possibilità di determinare la funzione $B(t)$ e da questa il flusso in funzione del tempo.
"Rob1997":
... Ah, inoltre il coefficiente di autoinduzione non viene fornito, quindi ho ipotizzato che non vi fosse induttore nel circuito. ...
Ovviamente, leggendo quel quel testo, è sottinteso di poterlo trascurare, anche perché il suo calcolo sarebbe complesso, ma giusto per curiosità avresti un'idea su come stimare un suo limite superiore?
"Rob1997":
... Mentre per quanto riguarda la domanda riguardante la tensione, il fatto che sia la tensione che alimenta la serie tra resistore e condensatore, influenza la d.d.p.?
Scusa ma non capisco la tua domanda; nella spira viene indotta una fem che puoi immaginare come un generatore che va ad alimentare un circuito composto dalla serie di C ed R, ne segue che detta fem non sarà nel tempo uguale alla tensione (o d.d.p.) ai capi del condensatore, sei d'accordo?
"RenzoDF":
Beh, in ogni caso ti sarà data la possibilità di determinare la funzione $B(t)$ e da questa il flusso in funzione del tempo.
E come calcolo la funzione B(t)?
"RenzoDF":
Ovviamente, leggendo quel quel testo, è sottinteso di poterlo trascurare, anche perché il suo calcolo sarebbe complesso, ma giusto per curiosità avresti un'idea su come stimare un suo limite superiore?
Mm, non penso onestamente... Più che altro non ne ho mai sentito parlare di come calcolarla.
"RenzoDF":Si, ma come varia? Cioè questa fem indotta, essendo l'unica ad agire, non sarà uguale alla ddp ai capi del condensatore?
Scusa ma non capisco la tua domanda; nella spira viene indotta una fem che puoi immaginare come un generatore che va ad alimentare un circuito composto dalla serie di C ed R, ne segue che detta fem non sarà nel tempo uguale alla tensione (o d.d.p.) ai capi del condensatore, sei d'accordo?
"Rob1997":
... E come calcolo la funzione B(t)?
Nel tuo caso, dal grafico fornito, normalmente o viene fornita direttamente la funzione B(t), oppure la corrente i(t) che genera il campo, dalla quale ottenere B(t).
"Rob1997":
... Mm, non penso onestamente... Più che altro non ne ho mai sentito parlare di come calcolarla.
Scusa, ma una definizione del coefficiente di autoinduzione l'avrete vista, no?
"Rob1997":
... Si, ma come varia? Cioè questa fem indotta, essendo l'unica ad agire, non sarà uguale alla ddp ai capi del condensatore?
Come può essere uguale a quella su C se è presente ai capi della serie dei due bipoli R e C
"RenzoDF":
Scusa, ma una definizione del coefficiente di autoinduzione l'avrete vista, no?
Si, ma a partire dalla fem indotta, non saprei come calcolarla in assenza di questa.
"RenzoDF":
Come può essere uguale a quella su C se è presente ai capi della serie dei due bipoli R e C
Mm, quindi per calcolare il suo andamento dovrei calcolarmi la corrente variabile nel tempo attraverso il resistore il condensatore?
"Rob1997":
... Si, ma a partire dalla fem indotta, non saprei come calcolarla in assenza di questa. ...
Scusa, ma cosa c'entra la fem indotta? Potresti dirmi come ti è stato definito il coefficiente di autoinduzione L?
"Rob1997":
... quindi per calcolare il suo andamento dovrei calcolarmi la corrente variabile nel tempo attraverso il resistore il condensatore?
Sì, se non conosci la relazione notevole per la tensione di carica di un condensatore in un circuito RC, ovvero dovresti risolvere un'equazione differenziale nella corrente (oppure nella tensione su C) ottenuta applicando Kirchhoff al circuito.
"RenzoDF":
Scusa, ma cosa c'entra la fem indotta? Potresti dirmi come ti è stato definito il coefficiente di autoinduzione L?
In sostanza, il campo magnetico prodotto da una corrente, genera un flusso sul circuito stesso tale che $ phi =Li $ con L che è un coefficiente detto di autoinduzione
Esatto, ma ricorda che il flusso è quello concatenato, di conseguenza
$L:=\Phi_c/i$
ovvero il coefficiente di autoinduzione rappresenta il flusso concatenato con il circuito per unità di corrente.
Ora, per determinare un valore limite superiore Ls per l'induttanza L del circuito (L < Ls) , puoi ipotizzare che il campo magnetico al centro della spira sia costante su tutta la sua superficie, mentre sappiamo che di certo il campo diminuirà dal centro verso la periferia e in base a questo valore potrai confermare o meno l'ipotesi semplificativa.
$L:=\Phi_c/i$
ovvero il coefficiente di autoinduzione rappresenta il flusso concatenato con il circuito per unità di corrente.
Ora, per determinare un valore limite superiore Ls per l'induttanza L del circuito (L < Ls) , puoi ipotizzare che il campo magnetico al centro della spira sia costante su tutta la sua superficie, mentre sappiamo che di certo il campo diminuirà dal centro verso la periferia e in base a questo valore potrai confermare o meno l'ipotesi semplificativa.
Ah okay, non avevo ben capito la domanda inizialmente! Comunque grazie mille 
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