Spira in un campo magnetico
Una spira quadrata di restenza $R$, massa $m$ e lato $L$ ha inizialmente una velocità $v_0$ ed è diretta lungo l'asse $x$.
Ad un istante $t = 0$ essa entra in una regione dove è presente una campo magnetico $B$ non uniforme uscente dal piano xy; la cui legge è $B(x)= \alphax$.
Si calcolino la forza $F(x)$, la velocità $v(x)$ (si espliciti il caso $v(x=L)$), la carica $Q$ che circola nella spira, e l'energia dissipata nel circuito durante la fase di ingresso nella zona in cui è presente il campo magnetico.
Secondo me sbaglio il ragionamento, poiché sono in difficoltà a trovare la velocità in funzione della x.
Calcolando il flusso di B ottengo: $\intint \vec{B}*\vec{n}*dS = \alphaLx^2/2$
Derivandolo nel tempo e dividendo per la resistenza ottengo la corrente. $I = \frac{\alphaLxv_0}{R}$ perché ho pensato la legge $x(t) = v_0*t$
Fino a qui è sbagliato?
Ad un istante $t = 0$ essa entra in una regione dove è presente una campo magnetico $B$ non uniforme uscente dal piano xy; la cui legge è $B(x)= \alphax$.
Si calcolino la forza $F(x)$, la velocità $v(x)$ (si espliciti il caso $v(x=L)$), la carica $Q$ che circola nella spira, e l'energia dissipata nel circuito durante la fase di ingresso nella zona in cui è presente il campo magnetico.
Secondo me sbaglio il ragionamento, poiché sono in difficoltà a trovare la velocità in funzione della x.
Calcolando il flusso di B ottengo: $\intint \vec{B}*\vec{n}*dS = \alphaLx^2/2$
Derivandolo nel tempo e dividendo per la resistenza ottengo la corrente. $I = \frac{\alphaLxv_0}{R}$ perché ho pensato la legge $x(t) = v_0*t$
Fino a qui è sbagliato?
Risposte
Non puoi imporre la legge sulla x(t).
Durante il movimento, passa corrente nella spira e si dissipa energia a spese dell'energia cinetica.
Quindi la velocità non è costante.
Imposta correttamente l'equazione della dinamica, verificando che soddisfi il bilancio energetico.
Durante il movimento, passa corrente nella spira e si dissipa energia a spese dell'energia cinetica.
Quindi la velocità non è costante.
Imposta correttamente l'equazione della dinamica, verificando che soddisfi il bilancio energetico.
"ingres":
verificando che soddisfi il bilancio energetico.
Non capisco ciò, dunque in generale $x(t) = v(t) * t$. Non riesco a capire il legame con la variabile $x$
Devi impostare il problema dinamico, dove ovviamente in generale $v=dx/dt$.
La forza sarà in generale funzione di x e dx/dt, l'equazione del moto risolta ti fornirà v(x) (prova a scrivere l'equazione del moto), e si potrà mettere tutto in funzione di x.
La forza sarà in generale funzione di x e dx/dt, l'equazione del moto risolta ti fornirà v(x) (prova a scrivere l'equazione del moto), e si potrà mettere tutto in funzione di x.
Dunque il bilancio che ho alla fine è
Sapendo che, in generale, $F(x, v) = \frac{\alphaLxv}{R}*L*\alphax$
$\frac{dv}{dt} = - \frac{\alpha^2L^2}{mR}*x^2*dx/dt$ da cui mi sono permesso di semplificare $dt$.
E risolvendo l'equazione differenziale ottenuta, imponendo che $v(x = 0) = v_0$ ottengo:
$v(x) = v_0 - frac{\alpha^2L^2}{mR} * x^3/3$
Posso aver sbagliato i conti?
Sapendo che, in generale, $F(x, v) = \frac{\alphaLxv}{R}*L*\alphax$
$\frac{dv}{dt} = - \frac{\alpha^2L^2}{mR}*x^2*dx/dt$ da cui mi sono permesso di semplificare $dt$.
E risolvendo l'equazione differenziale ottenuta, imponendo che $v(x = 0) = v_0$ ottengo:
$v(x) = v_0 - frac{\alpha^2L^2}{mR} * x^3/3$
Posso aver sbagliato i conti?
Mi sembra tutto corretto 
Ovviamente la legge trovata è valida fino al momento in cui v=0.
Ovviamente la legge trovata è valida fino al momento in cui v=0.
Certo.
Ora mi sorge un dubbio; mi ricordo che il professore aveva svolto un esercizio su una spira che entrava in un campo magnetico uniforme e come dato vi era la velocità $v$ costante con cui si muove dentro il campo.
Dunque, questa tipologia più "standard" si ipotizza sempre che ci sia una forza che bilancia la forza magnetica giusto? In quanto velocità non diminuisce nel tempo in questi casi.
Corretto?
Ora mi sorge un dubbio; mi ricordo che il professore aveva svolto un esercizio su una spira che entrava in un campo magnetico uniforme e come dato vi era la velocità $v$ costante con cui si muove dentro il campo.
Dunque, questa tipologia più "standard" si ipotizza sempre che ci sia una forza che bilancia la forza magnetica giusto? In quanto velocità non diminuisce nel tempo in questi casi.
Corretto?
Si, se la velocità è costante, vuol dire che esiste una forza esterna (pari alla F frenante dovuta all'induzione elettromagnetica) che fa muovere la spira all'interno del campo, creando una tensione e quindi erogando corrente.
Questo è in sintesi il concetto alla base del funzionamento dei generatori.
Questo è in sintesi il concetto alla base del funzionamento dei generatori.
"ingres":
Mi sembra tutto corretto
A me non sembra corretto.
"ingres":
Ovviamente la legge trovata è valida fino al momento in cui v=0.
Perché la velocità dovrebbe annullarsi in corrispondenza ad un particolare valore di x?
"RenzoDF":
Perché la velocità dovrebbe annullarsi in corrispondenza ad un particolare valore di x?
Perchè raggiunta la situazione v=0 (vedi formula trovata di v(x)) si annullano anche tensione, corrente e quindi la forza. D'altronde chi fornirebbe più energia per muoversi?
Mah! 
Ad ogni modo, giusto per precisare, è tutto il procedimento analitico che trovo errato: distinzione fra spira parzialmente e totalmente inserita ... soluzione equazione differenziale .. ecc.
Capisco quello che vuoi dire. Quanto scritto vale per xL l'integrale del flusso diventa tra x-L e x.
Quindi la soluzione è corretta solo se il valore di x per cui si arresta il moto è minore di L. Altrimenti la soluzione cambia.
O ci vedi dell'altro?
Quindi la soluzione è corretta solo se il valore di x per cui si arresta il moto è minore di L. Altrimenti la soluzione cambia.
O ci vedi dell'altro?
Quell'equazione differenziale è in v(x), non in v(t) e di conseguenza la vedo a variabili separabili, sbaglio?
"ingres":
... Quindi la soluzione è corretta solo se il valore di x per cui si arresta il moto è minore di L. Altrimenti la soluzione cambia.
Scusa, ma non vedo perché dobbiamo limitare lo studio a quel particolare campo 0
Sul campo di studio sono d'accordo. Va esteso a tutte le situazioni.
Invece sull'equazione differenziale questa inizialmente è in dv/dt. In pratica volendo essere più formali si ha
$(dv)/dt = f(x)*v$
$dx/dt =v$
da cui facendo il rapporto (come di fa quando si vuole trovare le traiettorie)
$dv=f(x)dx$
che è quella trovata da Albi.
Invece sull'equazione differenziale questa inizialmente è in dv/dt. In pratica volendo essere più formali si ha
$(dv)/dt = f(x)*v$
$dx/dt =v$
da cui facendo il rapporto (come di fa quando si vuole trovare le traiettorie)
$dv=f(x)dx$
che è quella trovata da Albi.
Io vedo una e.d.
$v'(x)=-k\ x^2v(x)$
risolvibile via separazione delle variabili
$(v'(x))/(v(x))=-k\ x^2$
... ecc.
Poi magari, vista l'età, ... "prendo lucciole per lanterne".
$v'(x)=-k\ x^2v(x)$
risolvibile via separazione delle variabili
$(v'(x))/(v(x))=-k\ x^2$
... ecc.
Poi magari, vista l'età, ... "prendo lucciole per lanterne".
Non è dv/dx, ma dv/dt (è l'equazione della dinamica). Perchè vedi dv/dx (ovviamente prima di semplificare il dt)?
Se proprio vuoi considerare v=v(x) risulta $(dv)/dt = (dv)/dx * (dx)/dt = (dv)/dx * v$ per cui riottieni sempre la stessa equazione:
$(dv)/(dx)=-kx^2$
Se proprio vuoi considerare v=v(x) risulta $(dv)/dt = (dv)/dx * (dx)/dt = (dv)/dx * v$ per cui riottieni sempre la stessa equazione:
$(dv)/(dx)=-kx^2$
Hai ragione ... scusate per la sciocchezza che ho sostenuto! E' proprio ora che vada a controllare i lavori nei cantieri.
Ah Ah tranquillo: é sempre stimolante discutere con te
Comunque vediamo di completare il problema, secondo quanto hai giustamente osservato sul discorso della spira completamente immersa nel campo. Se risulta
$(3mRv_0)/(alpha^2*L^5)<1$
il moto si esaurisce con la spira che sta ancora entrando nella zona di campo magnetico. In caso contrario la legge trovata varrà solo per x
$I=(alpha L^2v)/R$
e una forza netta
$F=-(alpha^2 L^4v)/R$
Sostituendo all'equazione del moto si avrà per x> L
$(dv)/dx = -(alpha^2 L^4)/(m*R)$
$v(x) = v(L) - (alpha^2 L^4)/(m*R)*(x-L)$
essendo $v(L)$ la velocità ad x=L calcolabile con la precedente legge.
Sperando di non aver fatto errori perchè ho fatto velocemente i conti, e' interessante notare che anche in questo caso esiste una x per la quale si annulla la velocità. Però questo nasconde il fatto che il tempo per raggiungerla è infinito (come si vede integrando nel tempo).
Comunque vediamo di completare il problema, secondo quanto hai giustamente osservato sul discorso della spira completamente immersa nel campo. Se risulta
$(3mRv_0)/(alpha^2*L^5)<1$
il moto si esaurisce con la spira che sta ancora entrando nella zona di campo magnetico. In caso contrario la legge trovata varrà solo per x
$I=(alpha L^2v)/R$
e una forza netta
$F=-(alpha^2 L^4v)/R$
Sostituendo all'equazione del moto si avrà per x> L
$(dv)/dx = -(alpha^2 L^4)/(m*R)$
$v(x) = v(L) - (alpha^2 L^4)/(m*R)*(x-L)$
essendo $v(L)$ la velocità ad x=L calcolabile con la precedente legge.
Sperando di non aver fatto errori perchè ho fatto velocemente i conti, e' interessante notare che anche in questo caso esiste una x per la quale si annulla la velocità. Però questo nasconde il fatto che il tempo per raggiungerla è infinito (come si vede integrando nel tempo).
Senza scomodare integrali e derivate, la corrente e la forza si potevano anche ricavare direttamente via somma fra le fem indotte e le forze sui due rami verticali
$I=(B(x)Lv-B(x-L)Lv)/R$
$F=-B(x)LI+B(x-L)LI$
mentre sull'equazione differenziale mi astengo dal commentare.
... anche se sarei tentato di far notare che ...
$I=(B(x)Lv-B(x-L)Lv)/R$
$F=-B(x)LI+B(x-L)LI$
mentre sull'equazione differenziale mi astengo dal commentare.
... anche se sarei tentato di far notare che ...
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
- Risolvere un problema di matematica
- Riassumere un testo
- Tradurre una frase
- E molto altro ancora...
Il Tutor AI di Skuola.net usa un modello AI di Chat GPT.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Per termini, condizioni e privacy, visita la relativa pagina.
Annuale
3,99€
-
Accedi a tutti gli appunti
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Trimestrale
7,99€
-
5 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it
Mensile
12,79€
-
3 appunti ogni mese
-
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
-
Nessuna pubblicità sul sito
-
100€ di bonus su Ripetizioni.it