Spira in movimento con capacità e resistenza
Salve, ho una spira quadrata di lata $a$, con resistenza $R$, e capacità $C$. Essa viene spinta in modo che esca a velocità costante $v$ da un campo magnetico $B$ uniforme, uscente dal piano e perpendicolare al piano della spira.
Devo determinare:
1) Il verso della corrente indotta mentre la spira esce dal campo
2) L'intensità della forza esterna da applicare alla spira affinchè si muova con suddetto moto
3) L'energia dissipata nella spira tra t=0 (istante di tempo in cui la spira inizia ad uscire dal B e $t_f$
I problemi simili che fino ad ora ho svolto erano con una spira con una resistenza, ma senza capacità...
ciò mi complica un pò le cose.
Partendo dall'inizio:
Il flusso attraverso la spira è: $\Phi_B= Bax$ chiamando x la lunghezza del lato che s trova dentro la spira
La fem indotta è:$\epsilon= - (d(Bax))/(dt)= Ba (dx)/(dt)= Bav$
1)Il verso della corrente sarà antiorario, per Lenz, visto che il flusso diminuisce appena la spira comincia ad uscire da B
2)
Una volta che inizia la fem ogni lato della spira (tranne quello che è appena uscito) è soggetto ad una forza.
Le forze sui lati della spira che vanno poco a poco uscendo sono in ogni istante uguali e contrarie.
La forza sul lato che è: $F_1=IaB$
La forza richiesta è uguale in modula, opposta in verso, per far si che la spira si muova di velocità costante, non accelerata.
La fem indotta crea una corrente nella spira che mira a caricare il condensatore e la corrente va:
$I_(t)=I_0 e^(-t/\tau) $
Il mio problema è che la corrente nel circuito varia sia perchè va caricando il condensatore (come scritto sopra)
sia perchè il flusso va variando (al variare di x), e non so combinare le due cose...
Se non ci fosse condensatore sarebbe $I=(Bav)/R$
Forse devo trovare la corrente del circuito scrivendo l'equazione del circuito, applicando le leggi delle maglie di Kirchhoff?
mi sfugge qualcosa?
Devo determinare:
1) Il verso della corrente indotta mentre la spira esce dal campo
2) L'intensità della forza esterna da applicare alla spira affinchè si muova con suddetto moto
3) L'energia dissipata nella spira tra t=0 (istante di tempo in cui la spira inizia ad uscire dal B e $t_f$
I problemi simili che fino ad ora ho svolto erano con una spira con una resistenza, ma senza capacità...
ciò mi complica un pò le cose.
Partendo dall'inizio:
Il flusso attraverso la spira è: $\Phi_B= Bax$ chiamando x la lunghezza del lato che s trova dentro la spira
La fem indotta è:$\epsilon= - (d(Bax))/(dt)= Ba (dx)/(dt)= Bav$
1)Il verso della corrente sarà antiorario, per Lenz, visto che il flusso diminuisce appena la spira comincia ad uscire da B
2)
Una volta che inizia la fem ogni lato della spira (tranne quello che è appena uscito) è soggetto ad una forza.
Le forze sui lati della spira che vanno poco a poco uscendo sono in ogni istante uguali e contrarie.
La forza sul lato che è: $F_1=IaB$
La forza richiesta è uguale in modula, opposta in verso, per far si che la spira si muova di velocità costante, non accelerata.
La fem indotta crea una corrente nella spira che mira a caricare il condensatore e la corrente va:
$I_(t)=I_0 e^(-t/\tau) $
Il mio problema è che la corrente nel circuito varia sia perchè va caricando il condensatore (come scritto sopra)
sia perchè il flusso va variando (al variare di x), e non so combinare le due cose...
Se non ci fosse condensatore sarebbe $I=(Bav)/R$
Forse devo trovare la corrente del circuito scrivendo l'equazione del circuito, applicando le leggi delle maglie di Kirchhoff?
mi sfugge qualcosa?
Risposte
drcave il tuo è come un circuito RC con un generatore di tensione costante:
per l'equazione di Kirchhoff delle tensioni si ha:
$V_0=R*i(t)+V_C(t)$ dove $V_0$ è la tensione del generatore, cioè la fem indotta, e $V_C(t)$ è la tensione ai capi del condensatore; sostituendo la relazione caratteristica del condensatore a $V_C(t)$ si ha un'equazione differenziale non omogenea del primo ordine la cui soluzione è $i(t)=-(V_C(0)-V_0)/R*e^-\frac{t}{RC}$.
La corrente indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale $\frac{V_C(0)}{R}$ fino a tendere al valore $i=0$.
Quando al tendere di $t->oo$ la tensione $V_C(t)->V_0=cost$, il condensatore si comporta come un circuito aperto. A regime di tensione costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di tensione costante e da un condensatore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza del condensatore sia aperto.
In particolare la risposta del circuito RC ad una tensione costante è composta di due parti:
$(V_C(0)-V_0)*e^-\frac{t}{RC}$ si chiama risposta transitoria o transiente del circuito;
$V_0$ si chiama risposta permanente o a regime del circuito.
Trovata la corrente non avrai problemi a trovare l'energia dissipata nella spira.
per l'equazione di Kirchhoff delle tensioni si ha:
$V_0=R*i(t)+V_C(t)$ dove $V_0$ è la tensione del generatore, cioè la fem indotta, e $V_C(t)$ è la tensione ai capi del condensatore; sostituendo la relazione caratteristica del condensatore a $V_C(t)$ si ha un'equazione differenziale non omogenea del primo ordine la cui soluzione è $i(t)=-(V_C(0)-V_0)/R*e^-\frac{t}{RC}$.
La corrente indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale $\frac{V_C(0)}{R}$ fino a tendere al valore $i=0$.
Quando al tendere di $t->oo$ la tensione $V_C(t)->V_0=cost$, il condensatore si comporta come un circuito aperto. A regime di tensione costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di tensione costante e da un condensatore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza del condensatore sia aperto.
In particolare la risposta del circuito RC ad una tensione costante è composta di due parti:
$(V_C(0)-V_0)*e^-\frac{t}{RC}$ si chiama risposta transitoria o transiente del circuito;
$V_0$ si chiama risposta permanente o a regime del circuito.
Trovata la corrente non avrai problemi a trovare l'energia dissipata nella spira.
grazie tante! ho capito tutto!
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