Spira circolare in un campo magnetico
Salve a tutti. Ho risolto questo esercizio di fisica 2 ma non sono sicuro sull'esattezza dei miei ragionamenti. Qualcuno potrebbe aiutarmi
Grazie mille
Una spira circolare di raggio R=9 cm, ha una resistenza di 2 Ω. Essa è immersa in un campo magnetico perpendicolare al piano del cerchio (vedi figura), che cresce con legge B(t)= At, con A=0.20 T/s. Calcolare:
1) Il Flusso del campo magnetico che attraversa la spira dopo 2s:
10Wb
0.022Wb
0.01Wb
102Wb
2) La forza elettromotrice indotta nella spira:
10V
22mV
5.1mV
102V
3) il modulo e il verso della corrente indotta nella spira :
2.5mA
10mA
22mA
100mA
4) L’energia dissipata per effetto Joule dopo 10s:
0.51J
0.13mJ
2.5J
50J
A seguire il mio ragionamento
1) Il flusso elementare del campo magnetico B attraverso la superficie infinitesima della spira è definita dalla relazione:
$ dphi = B*dS $
Integrando
$ phi(B) = int_SB*dS= Bpir^2=B(t)piR^2=A*t*pi*R^2= 0,20 T/s*2s*pi*(0,09m)^2= 0,01Wb $
2) Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz la forza elettromagnetica nella spira è:
$ epsilon = - (dphi(B))/dt=-(d/dt)*(A*t*pi*R^2)=Api*R^2= 0,20T/s*pi*(0,09m)^2 = 5,1 mV $
3) La corrente indotta nella spira è:
$ I = epsilon/R_(es)=(ApiR^2)/R_(es)=(0,20T/s*pi*(0,09m)^2)/(2 Omega ) = 2,6 mA $
4) Per calcolare l'energia dissipata
$ W = int_0^tPdt= int_0^tR_(es)*I^2*dt= 2Omega * (2,6mA)^2 * 10s = 0,13 mJ $
Grazie mille
Una spira circolare di raggio R=9 cm, ha una resistenza di 2 Ω. Essa è immersa in un campo magnetico perpendicolare al piano del cerchio (vedi figura), che cresce con legge B(t)= At, con A=0.20 T/s. Calcolare:
1) Il Flusso del campo magnetico che attraversa la spira dopo 2s:
10Wb
0.022Wb
0.01Wb
102Wb
2) La forza elettromotrice indotta nella spira:
10V
22mV
5.1mV
102V
3) il modulo e il verso della corrente indotta nella spira :
2.5mA
10mA
22mA
100mA
4) L’energia dissipata per effetto Joule dopo 10s:
0.51J
0.13mJ
2.5J
50J
A seguire il mio ragionamento
1) Il flusso elementare del campo magnetico B attraverso la superficie infinitesima della spira è definita dalla relazione:
$ dphi = B*dS $
Integrando
$ phi(B) = int_SB*dS= Bpir^2=B(t)piR^2=A*t*pi*R^2= 0,20 T/s*2s*pi*(0,09m)^2= 0,01Wb $
2) Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz la forza elettromagnetica nella spira è:
$ epsilon = - (dphi(B))/dt=-(d/dt)*(A*t*pi*R^2)=Api*R^2= 0,20T/s*pi*(0,09m)^2 = 5,1 mV $
3) La corrente indotta nella spira è:
$ I = epsilon/R_(es)=(ApiR^2)/R_(es)=(0,20T/s*pi*(0,09m)^2)/(2 Omega ) = 2,6 mA $
4) Per calcolare l'energia dissipata
$ W = int_0^tPdt= int_0^tR_(es)*I^2*dt= 2Omega * (2,6mA)^2 * 10s = 0,13 mJ $
Risposte
diciamo che il formalismo matematico lascia molto a desiderare.
Il campo induzione magnetica è vettoriale, dovresti scrivere $\Phi (\vec B)$. Poi sei partito scrivendo appunto una funzione cioè $\Phi (\vec B)(t)$ che a quanto pare ha come immagine unicamente il valore $0,01$.
Cioè se guardo l'inizio e la fine della formula leggo $\Phi (\vec B)(t)= 0,01$
Devo dedurre che la funzione è costante oppure hai intenzione di scrivere un pò meglio quello che hai fatto?
Il campo induzione magnetica è vettoriale, dovresti scrivere $\Phi (\vec B)$. Poi sei partito scrivendo appunto una funzione cioè $\Phi (\vec B)(t)$ che a quanto pare ha come immagine unicamente il valore $0,01$.
Cioè se guardo l'inizio e la fine della formula leggo $\Phi (\vec B)(t)= 0,01$
Devo dedurre che la funzione è costante oppure hai intenzione di scrivere un pò meglio quello che hai fatto?
$ dphi = vec(B)*dS $
Integrando
$ phi(vec(B)) = int_SB*dS= Bpir^2=A*t*pi*R^2= 0,20 T/s*2s*pi*(0,09m)^2= 0,01Wb $
Cosi?
Integrando
$ phi(vec(B)) = int_SB*dS= Bpir^2=A*t*pi*R^2= 0,20 T/s*2s*pi*(0,09m)^2= 0,01Wb $
Cosi?
secondo me no , perchè stai riccommettendo le stesse imprecisioni 
Non capisco :/
dunque vediamo la funzione $\vec B(x,y,z,t)$ è vettoriale e prende in pasto 4 variabili, 3 spaziali geometriche e una temporale. Quando tu integri tale funzione su un dominio dello spazio euclideo tridimensionale vai a saturare le variabili spaziali, mentre consideri la variabile temporale come un parametro nell'integrale
$\Phi_\Sigma (\vec B(x,y,z,t))= int_\Sigma (\vec B(x,y,z,t) \cdot \vec n ) d\sigma= g(t)$
dove l'integrale è un integrale di superficie ed il risultato di tale calcolo è una funzione $g(t)$ che dipenderà dal parametro $t$ che non è stato saturato nell'integrale.
infatti poi per la legge di faraday-lenz tu andrai a calcolarti la derivata rispetto al tempo di $\Phi_\Sigma (\vec B(x,y,z,t))$ cioè la derivata rispetto al tempo di $g(t)$
infatti $ \Delta V(t)= -\frac{d}{dt} \Phi_\Sigma (\vec B(x,y,z,t))= -\frac{d}{dt} g(t) $
tutte quelle che leggi sono funzioni , non valori numerici!! Un conto è scrivere una funzione, un altro conto è valutarla in un punto!!! cioè calcolare l'immagine di $y=f(x)$ in un punto $x=x_0$
Un conto è scrivere $ \sin$ , un conto è scrivere $\sin x$ ed un altro conto è scrivere $\sin \pi$
tralasciando queste fondamentali questioni matematiche, su cui ti invito a riflettere (cosa cambia tra quelle 3 scritture? in quale insieme vivono quegli oggetti?) facciamo il tuo calcolo come si deve.
nel tuo caso $\vec B(x,y,z,t)= -At \vec( e_3)$ perchè sto supponendo l'asse z uscente dal foglio.
Coniderando $\Sigma$ il cerchio di cui parla il testo avremo:
$\Phi_\Sigma (\vec B(x,y,z,t))= int_\Sigma ( -At \vec( e_3) \cdot \vec n ) d\sigma= g(t)$
adesso bisogna usare la definizione di integrale superficiale per calcolare $ int_\Sigma ( -At \vec( e_3) \cdot \vec n ) d\sigma$ che è solo una scrittura formale nella quale è impossibile fare i conti.
Quindi devi parametrizzare la tua bella superficie con una carta, e siccome nel nostro caso la superficie è molto semplice la carta è di Monge
$(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) =(u,v,0)$ con $(u,v) \in D={(x,y) \in R^2 : x^2+y^2<81\cdot 10^(-4)}$
siccome $\vec n= \vec(e_3)$ avremo
$ int_\Sigma (\vec B(x,y,z,t) \cdot \vec n ) d\sigma= int_\D (\vec B(x(u,v),y(u,v),z(u,v),t) \cdot \vec n ) || (\vec x)_u \times (\vec x)_v|| dudv=-int_D (At) dudv=- At \int_D dudv=- A|D|t=g(t)$
dove col simbolo $|D|$ indico la misura dell'insieme $D$ cioè la sua area.
da cui ricaviamo $g(2)= - A\cdot |D| \cdot 2= -0,2 \cdot \pi \cdot 81\cdot 10^(-4)\cdot 2= 0,01$
ora vado a calcolare la derivata di $g(t)$
$\frac{d}{dt} g(t)=g'(t)= -A|D|= -0,2 \cdot \pi \cdot 81\ cdot 10^(-4)=0,005$
Pertanto la funzione $g'(t)$ è costante, cioè la forza elettromotrice indotta è costante.
Ecco questo è quello che intendo per fare bene i calcoli. La fisica è una materia che viene scritta nel linguaggio della matematica, se tale linguaggio viene usato male allora la materia stessa non ha più senso di esistere.
$\Phi_\Sigma (\vec B(x,y,z,t))= int_\Sigma (\vec B(x,y,z,t) \cdot \vec n ) d\sigma= g(t)$
dove l'integrale è un integrale di superficie ed il risultato di tale calcolo è una funzione $g(t)$ che dipenderà dal parametro $t$ che non è stato saturato nell'integrale.
infatti poi per la legge di faraday-lenz tu andrai a calcolarti la derivata rispetto al tempo di $\Phi_\Sigma (\vec B(x,y,z,t))$ cioè la derivata rispetto al tempo di $g(t)$
infatti $ \Delta V(t)= -\frac{d}{dt} \Phi_\Sigma (\vec B(x,y,z,t))= -\frac{d}{dt} g(t) $
tutte quelle che leggi sono funzioni , non valori numerici!! Un conto è scrivere una funzione, un altro conto è valutarla in un punto!!! cioè calcolare l'immagine di $y=f(x)$ in un punto $x=x_0$
Un conto è scrivere $ \sin$ , un conto è scrivere $\sin x$ ed un altro conto è scrivere $\sin \pi$
tralasciando queste fondamentali questioni matematiche, su cui ti invito a riflettere (cosa cambia tra quelle 3 scritture? in quale insieme vivono quegli oggetti?) facciamo il tuo calcolo come si deve.
nel tuo caso $\vec B(x,y,z,t)= -At \vec( e_3)$ perchè sto supponendo l'asse z uscente dal foglio.
Coniderando $\Sigma$ il cerchio di cui parla il testo avremo:
$\Phi_\Sigma (\vec B(x,y,z,t))= int_\Sigma ( -At \vec( e_3) \cdot \vec n ) d\sigma= g(t)$
adesso bisogna usare la definizione di integrale superficiale per calcolare $ int_\Sigma ( -At \vec( e_3) \cdot \vec n ) d\sigma$ che è solo una scrittura formale nella quale è impossibile fare i conti.
Quindi devi parametrizzare la tua bella superficie con una carta, e siccome nel nostro caso la superficie è molto semplice la carta è di Monge
$(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) =(u,v,0)$ con $(u,v) \in D={(x,y) \in R^2 : x^2+y^2<81\cdot 10^(-4)}$
siccome $\vec n= \vec(e_3)$ avremo
$ int_\Sigma (\vec B(x,y,z,t) \cdot \vec n ) d\sigma= int_\D (\vec B(x(u,v),y(u,v),z(u,v),t) \cdot \vec n ) || (\vec x)_u \times (\vec x)_v|| dudv=-int_D (At) dudv=- At \int_D dudv=- A|D|t=g(t)$
dove col simbolo $|D|$ indico la misura dell'insieme $D$ cioè la sua area.
da cui ricaviamo $g(2)= - A\cdot |D| \cdot 2= -0,2 \cdot \pi \cdot 81\cdot 10^(-4)\cdot 2= 0,01$
ora vado a calcolare la derivata di $g(t)$
$\frac{d}{dt} g(t)=g'(t)= -A|D|= -0,2 \cdot \pi \cdot 81\ cdot 10^(-4)=0,005$
Pertanto la funzione $g'(t)$ è costante, cioè la forza elettromotrice indotta è costante.
Ecco questo è quello che intendo per fare bene i calcoli. La fisica è una materia che viene scritta nel linguaggio della matematica, se tale linguaggio viene usato male allora la materia stessa non ha più senso di esistere.
Grazie mille
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