SPINTA DI ARCHIMEDE

[Alex7337]

Salve a tutti ragazzi, vorrei proporvi il seguente quesito: abbiamo un canotto che galleggia dentro una piscina, nel canotto ci sono 2 mattoni aventi la stessa massa. Se i 2 mattoni cadono nella piscina, il livello dell'acqua:
-Si alza;
-Si abbassa;
-Rimane lo stesso.
Dimostrare la risposta analiticamente.
Grazie per la vostra attenzione

[professorkappa]

Si abbassa.
Prova a dimostrarlo analiticamente

[Re Magio]

Si abbassa perchè il peso dei mattoni e molto maggiore del peso del canotto e ne fanno aumentare il volume immerso mentre loro in acqua hanno un volume minore.
m<<2M
volume immerso del canotto m+2M >> del volume immerso di 2M + volume immerso di m

[Palliit]

"Re Magio":m<<2M
volume immerso del canotto m+2M >> del volume immerso di 2M + volume immerso di m

Scusa la franchezza ma non si capisce cosa intendessi.

"Re Magio": … il peso dei mattoni è molto maggiore del peso del canotto …

Che due mattoni abbiano un peso molto maggiore di un canotto la vedo un po' difficile.

[Alex7337]

Ipotizziamo che la massa M del canotto è pari a 10kg, e che i 2 mattoni abbiano massa m=4kg:
(M+m)g=ρa⋅Vi⋅g --> 14=1000⋅Vi --> 14/1000= Vi;
nel secondo caso in cui abbiamo gettato i mattoni in piscina si ha:
M=ρa⋅Vi --> 10/1000=Vi;
quindi dato che 14/1000 > 10/1000, nel secondo caso il livello dell'acqua si sarà abbassato anche se in modo impercettibile.
Questo è il modo in cui lo "dimostrerei", ma non ne sono sicuro.
Vi prego di correggere qualche mio eventuale errore.
Grazie.

[mgrau]

Propongo una "dimostrazione" non analitica ma magari più convincente.
Consideriamo la transizione a rovescio, con i mattoni già sul fondo. L'altra situazione, in cui i mattoni galleggiano (la presenza del canotto è irrilevante) si può ottenere "gonfiando" i mattoni, (magari un involucro di gomma che li avvolge) in modo che il volume di acqua spostata pesi quanto i mattoni. E' chiaro che durante l'operazione di gonfiaggio il livello dell'acqua sale.

[Re Magio]

pensavo a quei canotti giocattolo, ma mi rendo conto che ci sono gommoni fuoribordo di notevole peso...

[professorkappa]

Non importa il peso del canotto. Analiticamente basta dimostrare che il livello si alza se la densita' dei mattoni e maggiore di quella dell'acqua.

[Re Magio]

Ci riprovo. Il canotto che diciamo pesa 120 kg + i due mattoni (di cui non viene indicato il peso mettiamo pure che sia 4 kg) pesa 124 kg che si distribuiscono su un volume immerso poniamo di 6*3*0,30 metri ovvero 5,4 metri cubi d'acqua che pesano 5400 kg. Se togliamo i due mattoni del peso complessivo di 4 kg per avere la rispettiva area immersa si può fare una proporzione: 5,4 metri cubi (l'area immersa nel primo caso)/124*120=5,22 metri cubi. d'acqua pesano 5220 kg cioè 180 kg in meno. I mattoni sul fondo spostano un volume d'acqua maggiore dato che saranno 0,20*0,30*0,30 metri cubi (e saranno in due) per un totale di 218 kg . Quindi l'acqua si alza. E abbiamo preso un canotto bello pesante. Per canotti più leggeri la differenza è ancora maggiore. Quindi mi unisco all'opinione di chi mi precede nelle risposte.

[Re Magio]

Cambio ancora idea fatta salva la risposta di prima la differenza di peso dell' acqua spostata dal gommone con e senza i mattoni è di 180 kg ma se i mattoni pesano 4 kg e sono più densi dell'acqua sul fondo sposteranno meno di 4 kg d'acqua, quindi l'acqua si abbassa dell'equivalente di circa 180 kg meno una sua frazione di peso inferiore ai 4 kg. La mia risposta di prima era sbagliata perché i mattoni più densi dell'acqua per poter andare a fondo risultavano molto più leggeri , per assunto, dell'acqua stessa.

[professorkappa]

Non si capisce granche' e trovo la soluzione, con tutti i numeri, molto poco elegante.
Tra l'altro non e' una soluzione analitico/deduttiva.
La risposta che darei io metterebbe in relazione generale la densita' $rho_m$ (incognita) del mattone con quella $rho$ del fluido
Da quell'equazione risolutiva, a seconda che sia $rho_m/rho$ maggiore, minore o uguale a 1 verra' fuori se il livello aumenta, diminuisce o resta uguale.
In particolare, un rapporto $rho_m/rho>1$ fara diminuire il livello, come si evince dalle considerazioni qualitative sopra descritte

[Sk_Anonymous]

"Alex7337":Ipotizziamo che la massa M del canotto è pari a 10kg, e che i 2 mattoni abbiano massa m=4kg:
(M+m)g=ρa⋅Vi⋅g --> 14=1000⋅Vi --> 14/1000= Vi;
nel secondo caso in cui abbiamo gettato i mattoni in piscina si ha:
M=ρa⋅Vi --> 10/1000=Vi;
quindi dato che 14/1000 > 10/1000, nel secondo caso il livello dell'acqua si sarà abbassato anche se in modo impercettibile.
Questo è il modo in cui lo "dimostrerei", ma non ne sono sicuro.
Vi prego di correggere qualche mio eventuale errore.
Grazie.

Sei partito bene ma facciamo il conto senza numeri e soprattutto consideriamo anche qualcosa che hai tralasciato. In questo problema ciò che determina il livello dell'acqua è solo la differenza tra il volume immerso all'inizio e alla fine. Calcoliamolo chiamando $\rho_m$ e $\rho_a$ la densità di mattone ed acqua, $M,m$ le masse del canotte e mattone.

All'inizio ho mattone e canotto sull'acqua, che possiedono come sistema un volume immerso $V_i$ dato da

$V_i \rho_a g = (M+2m) g$ quindi $V_i = (M+2m)/\rho_a $

alla stato finale avremo il volume immerso del solo canotto $V_f'$ dato da

$V_f'\rho_a g = (M) g$ quindi $V_f' = (M)/\rho_a $

ed in più il volume occupato dai due mattoni $2 V_m= 2 m/\rho_m$ quindi il volume immerso effettivo finale è

$V_f=V_f'+2 V_m=(M)/\rho_a+2 m/\rho_m$

Vediamo la differenza tra lo stato finale e iniziale

$V_f-V_i=2m(1/\rho_m-1/\rho_a)= 2m((\rho_a-\rho_m)/(\rho_m\rho_a))$ . A questo punto se la densità dei mattoni è superiore a quella dell'acqua, come abbiamo supposto, quella defferenza è negativa e quindi $V_f

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[veciorik]

Un Gedankenexperiment senza formule.
Mattone appeso sotto al canotto.
Taglio il filo, mattone affonda, canotto sale, livello acqua scende.

[mgrau]

@veciorik Ma il mattone è dentro il canotto, non appeso sotto. Non è la stessa cosa.
Fra l'altro, questo richiama un altro problema: se il mattone è dentro il canotto, e lo leghiamo e lo buttiamo fuori bordo, cosa succede al canotto: si alza, si abbassa, resta com'è?

[Re Magio]

Si alza perché il mattone è un poco sostenuto dalla spinta idrostatica e pesa meno della sua massa effettiva in kg, mentre quando era a bordo il peso era di 4 kg *ro mattone+g legato in acqua pesa 4kg *(ro mattone meno ro acqua) *g cioè di meno.

[veciorik]

In idrostatica gli oggetti devono essere fermi, si confrontano gli stati:

[list=1][*:1o2jov7e]mattone di peso $m$ dentro al canotto di peso $M$ [/*:m:1o2jov7e][*:1o2jov7e]mattone sommerso ma attaccato al canotto [/*:m:1o2jov7e][*:1o2jov7e]mattone in fondo alla piscina[/*:m:1o2jov7e][/list:o:1o2jov7e]

Siano $ \ \rho_a=1 , \rho_m>1 \ $ i pesi specifici di acqua e mattone.

[hl]Calcolo i volumi $ \ V_i \ $ immersi nei vari casi.[/hl]

Poiché il peso del sistema canotto+mattone non dipende dalla posizione del mattone, sono uguali i volumi di acqua spostata:

$ \quad V_1 = V_2 = (M+m) / \rho_a = M / \rho_a + m / \rho_a = V_c + V_{am} \ $

dove $ \quad V_c = M / \rho_a \quad $ è il volume immerso del canotto da solo, senza mattone,

e $ \quad V_{am} = m / \rho_a \quad $ è il volume di una "dose di acqua" che pesa come un mattone.

Naturalmente $ \quad V_{am} > V_m \quad $ dove $ \quad V_m = m / \rho_m \quad $ è il vero volume del mattone.

[highlight]$ \quad V_3 = V_c + V_m \quad $[/highlight] $ \quad < V_c + V_{am} \quad $ ossia [highlight]$ \quad V_3 < V_1 = V_2 \quad $[/highlight] che spiega le successive relazioni.

[hl]Calcolo i livelli $ \quad L_i \quad $ dell'acqua nella piscina.[/hl]

$ \quad L_1=L_2=\text{volume acqua + volume immerso} / \text{sezione piscina} = (V_a + (V_1=V_2)) / \text{sezione piscina}$

$ \quad L_3=( V_a + V_3) / \text{sezione piscina} < (L_1 = L_2) $

[hl]Calcolo i "pescaggi" $ \quad P_i \quad $ del canotto aka le altezze della sua parte immersa.[/hl]

$ \quad P_1 = V_1 / \text{sezione canotto} $

$ \quad P_2 = (V_2 - V_m) / \text{sezione canotto} < P_1 $

$ \quad P_3 = V_c / \text{sezione canotto} = (V_3 - V_m) / \text{sezione canotto} < P_2 < P_1 $