Spin-Orbit coupling. Integrale della f. d'onda radiale atomo d'idrogeno.

[rettile56]

Perdonerete la domanda fisicamente poco pregnante (forse dovevo metterla in matematica), ma non riesco a venirne a capo.
L'argomento è l'interazione spin-orbita, più precisamente il calcolo della correzione sull'energia dell'atomo di Hidrogeno.

Ora, la f. d'onda radiale dell'atomo di idrogeno è una cosa inguardabile. Il termine di normalizzazione è complicatissimo e i polinomi associati di Laguerre sono da codice penale. Ritengo dunque impensabile risolvere esplicitamente il seguente integrale (R(r) è la f. d'onda radiale ed n e l hanno i significati soliti di q.n. principale e azimutale)
$ = =int_0^{+oo} [ tilde(R)_{n,l}(r) cdot r^{-3} cdot R_{n,l}(r)" " r^2 dr] int int [ParteAngolare " " d theta d phi sin(theta)] $

L'integrale è ottenuto con una doppia risoluzione d'identità in $|bar(r)>
Mi rendo conto che sia noioso e probabilmente non poi così fondamentale, ma qualcuno mi spiega come cavolo fa a risolverlo?
Per la cronaca la soluzione riportata sul mio testo l'ho trovata qui (http://en.wikipedia.org/wiki/Spin%E2%80 ... nteraction)

Grazie dell'aiuto!

[rettile56]

Si può trovare lo stesso identico calcolo risolto con la stessa identica nonchalance qui:
http://www.diss.fu-berlin.de/diss/servl ... pdf?hosts=
a pag 5 in alto

[Spremiagrumi1]

Si può dimostrare che vale la seguente relazione detta di Kramer

$(s+1)/n^2 -(2s+1)a+s/4[(2l+1)^2-s^2]a^2 =0$

$a$ è il raggio di Bohr
Sostituisci $s=-1$. Allora ottieni

$0+a -1/4[(2l+1)^2-1]a = 0$

quindi

$ =a l(l+1)$
sostituisci il valore che si può calcolare in altri modi (ad esempio con la relazione di Feynman-Hellmann)
$ =1/((l+1/2)n^3a^2)$
Infine
$ = 1/(l(l+1/2)(l+1)n^3a^3)$

Questo è valido nell'approssimazione di massa nucleare infinita. Altrimenti si ha (se non sbaglio, vado a memoria)
$ = 1/(l(l+1/2)(l+1)n^3a^3(mu/m_e))$

Quello che resta da fare è dimostrare la relazione di Kramers.
Spero risponda alle tue esigenza, personalmente non ci riesco a risolvere quell'integrale con la forza bruta e nemmeno mi interessa farlo.

[rettile56]

Sì direi che risponde in pieno, anche se non onestamente non amo le formulette piovute dal cielo.

Comunque, giusto per la cronaca, supponendo di conoscere tutti gli n-l-1 coefficienti di Laguerre, l'integrale si riduce a somme di $ int lag_j r^j e^{-r} $ che di per sè è fattibile. Il problema è che tali coefficienti sono terribilmente misteriosi.

In ogni caso grazie mille, posso andare avanti con cose più interessanti!!

p.s. mi rendo conto che non sia un argomento particolarmente importante, ma se qualcuno volesse approfondire ho trovato la dimostrazione:
http://physicspages.com/2013/09/01/kram ... -hydrogen/