Spin dell'elettrone

[5mrkv]

La misura dello spin di un elettrone lo ha dato allineato lungo l'asse z di un sistema di coordinate ortogonali. Qual è la probabilità che una seconda misura trovi lo spin dello stesso elettrone giacente nel piano x-y con un angolo \(\theta\) rispetto all'asse z?

Lo stato iniziale è quindi \(|\psi\rangle=(1,0)\) con \(s=+\hbar/2\). Quello che devo trovare ora è lo stato per il quale voglio calcolare la probabilità. Prendo un vettore unitario \(u\) nel piano x-y con un angolo \(\theta\) rispetto ad z. Quindi \(u=\sin \theta\ \mbox{i}+\cos \theta\ \mbox{k}\). L'osservabile associata alla misura diventa

\(\mbox{S}_{u}=(\mbox{S},u)=\hbar / 2 \sigma _{x} \sin \theta+\hbar /2 \sigma_{z}\cos \theta\)

\(
\mbox{S}_{u}=
\hbar / 2
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix} \sin \theta +
\hbar / 2
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix} \cos \theta =
\hbar / 2
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & - \cos \theta \\
\end{bmatrix}
\)

Gli autovalori sono \(\lambda=\pm \hbar / 2\) e per l'autovettore associato all'autovalore positivo

\(
\hbar / 2
\begin{bmatrix}
\cos \theta-1 & \sin \theta \\
\sin \theta & - \cos \theta-1 \\
\end{bmatrix}
\)

\(
\hbar / 2
\begin{bmatrix}
\cos \theta-1 & \sin \theta \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\)

Le componenti del vettore sono

\(x_{1}=-(\sin \theta)/(\cos \theta -1)h\)
\(x_{2}=h\)

Se pongo \(h=\cos(x/2)\) viene

\(x_{1}=\sin(x/2)\)
\(x_{2}=\cos(x/2)\)

Che è quello che dice la soluzione. Però ho usato l'autovalore positivo. Ed infatti l'elettrone nello stato iniziale aveva lo stesso spin. Perché?

[alephy]

Non capisco. Che vuol dire una direzione sul piano xy che forma una angolo $theta$ con l'asse z? Se è sul piano xy l'angolo rispetto all'asse z è $ \pi/2 $.

[5mrkv]

Scusami mi sono sbagliato a scrivere, x-z.