Spettro e autofunzioni di una Hamiltoniana [Meccanica Quantistica]
Ciao a tutti!
Mi sono imbattuto in un esercizio assai complesso... o almeno per me!
PS : (Se volete potete andare direttamente alla fine del post, la domanda non necessita sapere tutto quello che scriverò..)
Riporto il testo e la mia soluzione :
Testo:
Determinare lo spettro e le autofunzioni della hamiltoniana unidimensionale $H$ di una particella di massa $m$, soggetta all'azione del potenziale:
$$V(x) = \frac{h^2\alpha^2}{2m} [\frac{\mu(\mu -1)}{sin^2 \alpha x} + \frac{\nu(\nu -1)}{cos^2 \alpha x} ]$$
dove $\alpha$ è reale e $mu$ e $nu$ sono reali e positivi. (Si tenga presente che per semplificare il problema è opportuno effettuare la semplificazione $z = sin^2 \alpha x$
Mia soluzione
Allora, vogliamo trovare gli autolavaggi $E_n$ e le autofunzioni $\psi_n$, quindi partiamo scrivendo l'equazione di schroedinger non dipendete dal tempo :
$$-\frac{h^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x) \psi = E \psi$$
Sostituendo il nostro V(x) e dopo qualche passaggio algebrico ottengo :
$$\frac{d^2 \psi}{dx^2} + { \frac{2m}{h^2} E -\alpha^2 [\frac{\mu(\mu -1)}{sin^2 \alpha x} +\frac{\nu(\nu -1)}{cos^2 \alpha x}]} \psi = 0$$
ora devo sostituire $z = sin^2 \alpha x$ così da ottenere ovviamente $cos^2 \alpha x = 1-z$.
Questa sostituzione implica però :
$$\frac{d}{dx} = \frac{dz}{dx} \frac{d}{dz} = \alpha sin(2\alpha x) \frac{d}{dz}$$
e quindi :
$$\frac{d^2}{dx^2} = 2\alpha^2 (1-2z) \frac{d}{dz} + 4\alpha^2 z(1-z) \frac{d^2}{dz^2}$$
L'equazione diventa quindi :
$$z(1-z) \frac{d^2\psi}{dz^2} + \frac{1}{2}(1-2z) \frac{d\psi}{dz} + \frac{1}{4} [\epsilon - \frac{\mu(\mu -1)}{z} +\frac{\nu(\nu -1)}{(1-z)}] \psi = 0$$
dove $\epsilon = \frac{2m}{h^2*\alpha^2} E$.
Ora, dividendo per $z(1-z)$ questa equazione diventa :
$$\frac{d^2\psi}{dz^2} + \frac{1-2z}{2z(1-z)} \frac{d\psi}{dz} + \frac{1}{4z(1-z)} [\epsilon - \frac{\mu(\mu -1)}{z} +\frac{\nu(\nu -1)}{(1-z)}] \psi = 0$$
Ora la mia domanda è : Come cavolo si risolve questa "bellissima" equazione????
Mi sono imbattuto in un esercizio assai complesso... o almeno per me!
PS : (Se volete potete andare direttamente alla fine del post, la domanda non necessita sapere tutto quello che scriverò..)
Riporto il testo e la mia soluzione :
Testo:
Determinare lo spettro e le autofunzioni della hamiltoniana unidimensionale $H$ di una particella di massa $m$, soggetta all'azione del potenziale:
$$V(x) = \frac{h^2\alpha^2}{2m} [\frac{\mu(\mu -1)}{sin^2 \alpha x} + \frac{\nu(\nu -1)}{cos^2 \alpha x} ]$$
dove $\alpha$ è reale e $mu$ e $nu$ sono reali e positivi. (Si tenga presente che per semplificare il problema è opportuno effettuare la semplificazione $z = sin^2 \alpha x$
Mia soluzione
Allora, vogliamo trovare gli autolavaggi $E_n$ e le autofunzioni $\psi_n$, quindi partiamo scrivendo l'equazione di schroedinger non dipendete dal tempo :
$$-\frac{h^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x) \psi = E \psi$$
Sostituendo il nostro V(x) e dopo qualche passaggio algebrico ottengo :
$$\frac{d^2 \psi}{dx^2} + { \frac{2m}{h^2} E -\alpha^2 [\frac{\mu(\mu -1)}{sin^2 \alpha x} +\frac{\nu(\nu -1)}{cos^2 \alpha x}]} \psi = 0$$
ora devo sostituire $z = sin^2 \alpha x$ così da ottenere ovviamente $cos^2 \alpha x = 1-z$.
Questa sostituzione implica però :
$$\frac{d}{dx} = \frac{dz}{dx} \frac{d}{dz} = \alpha sin(2\alpha x) \frac{d}{dz}$$
e quindi :
$$\frac{d^2}{dx^2} = 2\alpha^2 (1-2z) \frac{d}{dz} + 4\alpha^2 z(1-z) \frac{d^2}{dz^2}$$
L'equazione diventa quindi :
$$z(1-z) \frac{d^2\psi}{dz^2} + \frac{1}{2}(1-2z) \frac{d\psi}{dz} + \frac{1}{4} [\epsilon - \frac{\mu(\mu -1)}{z} +\frac{\nu(\nu -1)}{(1-z)}] \psi = 0$$
dove $\epsilon = \frac{2m}{h^2*\alpha^2} E$.
Ora, dividendo per $z(1-z)$ questa equazione diventa :
$$\frac{d^2\psi}{dz^2} + \frac{1-2z}{2z(1-z)} \frac{d\psi}{dz} + \frac{1}{4z(1-z)} [\epsilon - \frac{\mu(\mu -1)}{z} +\frac{\nu(\nu -1)}{(1-z)}] \psi = 0$$
Ora la mia domanda è : Come cavolo si risolve questa "bellissima" equazione????
Risposte
Si tratta di una equazione differenziale della classe di Fuchs. Difficilmente vengono affrontate in un corso di laurea in Fisica. Ne trovi ampia trattazione sullo Smirnov, il volume dedicato all'analisi complessa. Detto tra noi, uno degli argomenti matematici più interessanti che mi sia mai capitato di affrontare. Soprattutto perchè è possibile comprendere meglio l'origine di molte funzioni speciali utilizzate anche in meccanica quantistica.
Perfetto! Grazie mille per la risposta !
Posso chiederti come sono i libri di Smirnov, gordnbrn? Li ho tutti (in PDF), ma non ho avuto modo di studiarci su. Chiari, difficili, completi... etc?
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