Spaziotempo e minkowski, alcuni dubbi
Stavo leggendo riguardo il diagramma di minkowski per cambio osservatore con Lorentz, ma non capisco come determini gli assi dell'osservatore O'.
Partendo da $x'=γ(x-vt)$ si impone: $x'=0$ e trovo $t=x/v$ .. mi chiedo però perché questo sarebbe proprio l'asse $T'$?
Inoltre se la sostituissi nella $t'=γ(t-vx/c^2)$ arriverei ad avere $T'=γ(x/v-vx/c^2)$ e ora T' sarebbe una terza variabile rispetto ad x e t iniziali quindi non potrei fare il grafico sensato nel piano (x,ct) [assumento ct come ordinate e x come ascisse].
Non credo di aver ben capito come funzioni
Partendo da $x'=γ(x-vt)$ si impone: $x'=0$ e trovo $t=x/v$ .. mi chiedo però perché questo sarebbe proprio l'asse $T'$?
Inoltre se la sostituissi nella $t'=γ(t-vx/c^2)$ arriverei ad avere $T'=γ(x/v-vx/c^2)$ e ora T' sarebbe una terza variabile rispetto ad x e t iniziali quindi non potrei fare il grafico sensato nel piano (x,ct) [assumento ct come ordinate e x come ascisse].
Non credo di aver ben capito come funzioni
Risposte
"dargo":
Stavo leggendo riguardo il diagramma di minkowski per cambio osservatore con Lorentz, ma non capisco come determini gli assi dell'osservatore O'.
Partendo da $x'=γ(x-vt)$ si impone: $x'=0$ e trovo $t=x/v$ .. mi chiedo però perché questo sarebbe proprio l'asse $T'$?
Un qualunque punto $P$ che si trova sull'asse $t'$ ha ascissa $x' =0 $ nel riferimento con apice, che è quello mobile con velocità $v$ rispetto a $(x,t)$ . LA velocità $v$ si suppone costante. Considera il diagramma di Minkowski come un diagramma cartesiano , con asse delle ascisse $x$ e asse delle ordinate $ t$. Metti il punto $P$ di coordinate $(x,t) $ , e congiungi $P$ con l'origine . Per tutti i punti di questa retta che passa per $P$ e per l'origine, hai sempre lo stesso rapporto tra ascissa e ordinata : $x/t = v$ , da cui : $x/v =t $ . Quindi la retta è il luogo dei punti che, nelle coordinate mobili $(x',t')$ , hanno $x'=0$ . Questo luogo è perciò l'asse $t'$ del riferimento mobile.
Inoltre se la sostituissi nella $t'=γ(t-vx/c^2)$ arriverei ad avere $T'=γ(x/v-vx/c^2)$ e ora T' sarebbe una terza variabile rispetto ad x e t iniziali quindi non potrei fare il grafico sensato nel piano (x,ct) [assumento ct come ordinate e x come ascisse].
Non credo di aver ben capito come funzioni
Metti pure $t=x/v$ nella seconda equazione , e sviluppa l'algebra . Hai :
$t' = gamma(x/v-(vx)/c^2) = gamma (c^2x -v^2x)/(vc^2) = gamma x/v (c^2-v^2)/c^2 = gammax/(vgamma^2) = t/\gamma$
e questa relazione è verissima : tra il tempo proprio (quello con apice, segnato dall'orologio in moto) e il tempo coordinato (quello senz'apice, segnano dall'orologio in quiete) sussiste la relazione (meglio usare i differenziali) :
$dt = gamma*dt' $
che è quella solitamente detta : il tempo proprio scorre più lentamente rispetto al tempo coordinato.
L'equazione dell'asse $x'$ si ricava in maniera analoga : è il luogo dei punti che hanno $t' =0$ nelle TL . Ma ce l'hai già , basta uguagliare a zero l'espressione di $t'$ che si ottiene dalle TL :
$t = (vx)/c^2 \rarr t = vx $
bisogna intendere : $t=ct$ e $v= v/c = beta$ , per l'omogeneità dimensionale.
Ciao Shackle grazie per la risposta,
diciamo che riesco a vedere che ponendo $x'=0$, allora $γ(x−vt)=0$ descrive il luogo geometrico dei punti, tuttavia non capisco perché intuitivamente mi porti nel sistema $(x',t')$, cioè che poi in qualche modo possa scomporre su quell'asse tenendolo come base di ogni vettore.
diciamo che riesco a vedere che ponendo $x'=0$, allora $γ(x−vt)=0$ descrive il luogo geometrico dei punti, tuttavia non capisco perché intuitivamente mi porti nel sistema $(x',t')$, cioè che poi in qualche modo possa scomporre su quell'asse tenendolo come base di ogni vettore.
"dargo":
....non capisco perché intuitivamente mi porti nel sistema $(x',t')$, cioè che poi in qualche modo possa scomporre su quell'asse tenendolo come base di ogni vettore.
Non ho capito che cosa non hai capito. Le trasformazioni tra riferimenti inerziali in RR sono le TL. Vuoi forse parlare di 4-vettori ?
Ciao, ci ho messo un po' a rispondere perché volevo ri-ragionarci sopra da solo e devo dire che ora mi ci ritrovo alla perfezione e ti ringrazio molto.
Mi piacerebbe poterti chiedere un secondo aiuto riguardo questi grafici in relatività speciale e la contrazione delle lunghezze: mi pare di aver capito i concetti di lunghezza propria e contrazione. Tuttavia ho un dubbio puramente intuidito, mi spiego..
mettiamo di avere un sistema inerziale solidale nel suo moto con una sbarra di lunghezza L (propria), e un secondo osservatore fermo sulla terra. L'osservatore sulla terra vede una contrazione di tale lunghezza. Quel che non capisco però è se effettivamente l'oggetto sia più corto (cioè una proprietà intrinseca) o meno.
Ad esempio potrei pensare a un esperimento del genere: due paletti piantati a terra a una distanza L pari alla lunghezza propria della sbarra. La sbarra viaggia parallelamente al suolo alla velocità prossima a quella della luce e in un istante si troverà tra i due paletti (in figura ho chiamato P il primo e P2 il secondo più alto)
La sbarra in moto sarà più corta (vista da terra) rispetto a L, in sostanza la sbarra potrà essere contenuta nei due paletti senza che vada a sbattere sul secondo. Oppure il paletto cadrebbe pur non vedendola sbattere.
Insomma il punto che non riesco a carpire con l'intuito è se la sbarra sia a conti fatti più corta anche nei fenomeni di interazione o se è solo una questione di vederla più corta.
Ammetto che trovo difficoltà a esprimere il dubbio, se non fosse chiaro ci riprovo.
------------
Sempre inerente ai grafici invece vorrei farti vedere questo, i primi due sono sul testo, il terzo è quello che ho creato io, perché non mi ritrovo molto con la proiezione su t, essa non dovrebbe essere parallela all'asse dove è proiettato L? Non riesco bene a capire perché abbia quella inclinazione, la didascalia riporta solo "Figura 5: Contrazione delle lunghezze. La stessa scena descritta nei riferimenti X e Y"
E grazie mille!
Mi piacerebbe poterti chiedere un secondo aiuto riguardo questi grafici in relatività speciale e la contrazione delle lunghezze: mi pare di aver capito i concetti di lunghezza propria e contrazione. Tuttavia ho un dubbio puramente intuidito, mi spiego..
mettiamo di avere un sistema inerziale solidale nel suo moto con una sbarra di lunghezza L (propria), e un secondo osservatore fermo sulla terra. L'osservatore sulla terra vede una contrazione di tale lunghezza. Quel che non capisco però è se effettivamente l'oggetto sia più corto (cioè una proprietà intrinseca) o meno.
Ad esempio potrei pensare a un esperimento del genere: due paletti piantati a terra a una distanza L pari alla lunghezza propria della sbarra. La sbarra viaggia parallelamente al suolo alla velocità prossima a quella della luce e in un istante si troverà tra i due paletti (in figura ho chiamato P il primo e P2 il secondo più alto)
La sbarra in moto sarà più corta (vista da terra) rispetto a L, in sostanza la sbarra potrà essere contenuta nei due paletti senza che vada a sbattere sul secondo. Oppure il paletto cadrebbe pur non vedendola sbattere.
Insomma il punto che non riesco a carpire con l'intuito è se la sbarra sia a conti fatti più corta anche nei fenomeni di interazione o se è solo una questione di vederla più corta.
Ammetto che trovo difficoltà a esprimere il dubbio, se non fosse chiaro ci riprovo.
------------
Sempre inerente ai grafici invece vorrei farti vedere questo, i primi due sono sul testo, il terzo è quello che ho creato io, perché non mi ritrovo molto con la proiezione su t, essa non dovrebbe essere parallela all'asse dove è proiettato L? Non riesco bene a capire perché abbia quella inclinazione, la didascalia riporta solo "Figura 5: Contrazione delle lunghezze. La stessa scena descritta nei riferimenti X e Y"
E grazie mille!
Sulla realtà della contrazione di Lorentz , ci sono molti dubbi e discussioni. Alcuni relativisti dico che si tratta solo di una questione di misure. Altri affermano che la contrazione è del tutto reale ; uno di questi è ad esempio Wolfgang Rindler (da poco passato a miglior vita...) . Anche io ho dei dubbi, a volte ... 
Ti metto dei link ad alcune interessanti discussioni sull'argomento :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 35#p813457
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 89#p923489
Inoltre copio e incollo quanto segue, che ho trovato in un'altra discussione su questo forum :
Perciò, come vedi , si possono fare centinaia di discussioni , ma il dubbio resta . Che cosa dobbiamo pensare, allora?
Io so che lo stesso Einstein , nel 1911 , si espresse chiaramente (
) rispondendo ad una affermazione fatta da un fisico, come si trova nell'articolo di Wikipedia relativo alla length contraction . Ecco :
In 1911 Vladimir Varićak asserted that one sees the length contraction in an objective way, according to Lorentz, while it is "only an apparent, subjective phenomenon, caused by the manner of our clock-regulation and length-measurement", according to Einstein. Einstein published a rebuttal:
The author unjustifiably stated a difference of Lorentz's view and that of mine concerning the physical facts. The question as to whether length contraction really exists or not is misleading. It doesn't "really" exist, in so far as it doesn't exist for a comoving observer; though it "really" exists, i.e. in such a way that it could be demonstrated in principle by physical means by a non-comoving observer. — Albert Einstein, 1911
Circa i disegni da te postati , quello centrale è sbagliato, il tuo è corretto. Quando sezioni un tubo di universo (la striscia grigia) , devi farlo secondo la retta di contemporaneità $x'$ di un osservatore la cui linea di universo sia l'asse $t'$. Prendi il primo disegno , e allarga "a forbice" gli assi $(t',x')$ , fino a metterli uno orizzontale e l'altro verticale ; nel fare ciò , gli assi $t$ ed $x$ ruotano anch'essi, ciascuno verso l'esterno, e si conserva l'angolo tra $t$ e $t'$ , uguale a quello tra $x$ e $x'$ . I diagrammi di Minkowski sono fatti cosi , la geometria di questo piano è iperbolica e non euclidea, la rotazione detta si chiama iperbolica.
Quindi , la sezione del tubo di universo che nel primo diagramma è fatta con la parallela all'asse $x$ ( linea tratteggiata più in alto ) deve rimanere parallela all'asse $x$ nella rotazione iperbolica.
Ti metto dei link ad alcune interessanti discussioni sull'argomento :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 35#p813457
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 89#p923489
Inoltre copio e incollo quanto segue, che ho trovato in un'altra discussione su questo forum :
Si trova spesso scritto, nei testi di Relatività, a proposito di vari "paradossi" , e in specie a proposito della "contrazione delle lunghezze" di Lorentz , come risposta a chi chiede : " Ma la contrazione di Lorentz è reale, o è solo una questione di misure che diminuiscono? "
La risposta suona così : " In fisica è reale ciò che si misura" . E questo vale sia per le lunghezze che per i tempi.
-Se un righello ha una lunghezza $L$ nel proprio riferimento di quiete, ed è "misurata" da tre OI in moto con 3 velocità diverse rispetto al righello, questi ottengono tre misure diverse. Quindi, secondo quella affermazione, tre "realtà" diverse da quella di quiete.
Quale di queste quattro realtà è quella "fisica" ?
LA risposta corretta dovrebbe essere questa. Gli oggetti hanno esistenza non nello spazio e nel tempo considerati separatamente, ma nello spaziotempo ( limitandosi alla RR e quindi allo ST piatto di Minkowski), che ha quattro dimensioni. Il righello ha una sua striscia di universo, e questa striscia di universo è tagliata secondo "piani di contemporaneità" diversi da OI diversi. Perciò ogni OI ha diritto di considerare reale, per lui, ciò che egli misura.
Questo è il sunto delle idee di un famoso relativista :
In Relatività gli oggetti hanno una loro esistenza quadridimensionale. Secondo Minkowski, la relatività della simultaneità implica "molti spazi" , giacchè uno spazio è definito come una classe di eventi simultanei . La simultaneità relativa e i "molti spazi" non possono esistere in un mondo tridimensionale.
Un corpo esteso spazialmente, come la matita o un corpo celeste, è definito in termini di simultaneità : tutte le parti del corpo prese a un "dato momento" di tempo. Ma "tempo di chi?". Di chi lo guarda, o misura, evidentemente. E sono in tanti, che possono misurare lo stesso corpo.
Se due osservatori diversi in moto relativo misurano lo stesso corpo, stanno in effetti misurando "due diversi corpi tridimensionali" , poiché ognuno di loro ha la propria classe di eventi simultanei. E questo è possibile soltanto se il "tubo di universo" è un reale oggetto 4-dimensionale. I due osservatori fanno sezioni diverse di questo tubo di universo.
Ma le due sezioni diverse non hanno un significato oggettivo. Esse sono solo un "descrizione" del tubo di universo in termini del nostro inappropriato linguaggio tridimensionale!
Basta questo a spiegare, per esempio, perché non ci sono tensioni o compressioni in un corpo relativisticamente contratto. Il corpo "contratto" non è un un reale oggetto 3-dimensionale che, nella nostra visione a 3d (siamo fatti così, separiamo lo spazio dal tempo, e sbagliamo secondo la Relatività !), si è accorciato e quindi deformato, poiché nello spaziotempo (a 4 dimensioni) non ci sono oggetti a tre dimensioni ! LA misura, ripeto, è fatta con una sezione del tubo di universo 4-dimensionale, e tutte le misure fatte da osservatori in moto rispetto all'oggetto danno un risultato minore della misura eseguita nel riferimento di quiete dell'oggetto. LE varie sezioni del tubo di universo fatte da vari osservatori hanno tutte la stessa valenza e diritto di essere. MA l'unica che ha "senso fisico" , è quella nel riferimento di quiete.
Visto che hanno la stessa valenza, non ci possono essere tensioni o compressioni "diverse" per osservatori "diversi".
Ecco, io sono d'accordo con questa visione. L'unica misura che ha senso fisico è quella nel riferimento di quiete. E bisogna capire che la relatività e una teoria della "misura" , di spazi e tempi, anzi di spaziotempo.
Perciò, come vedi , si possono fare centinaia di discussioni , ma il dubbio resta . Che cosa dobbiamo pensare, allora?
Io so che lo stesso Einstein , nel 1911 , si espresse chiaramente (
) rispondendo ad una affermazione fatta da un fisico, come si trova nell'articolo di Wikipedia relativo alla length contraction . Ecco : In 1911 Vladimir Varićak asserted that one sees the length contraction in an objective way, according to Lorentz, while it is "only an apparent, subjective phenomenon, caused by the manner of our clock-regulation and length-measurement", according to Einstein. Einstein published a rebuttal:
The author unjustifiably stated a difference of Lorentz's view and that of mine concerning the physical facts. The question as to whether length contraction really exists or not is misleading. It doesn't "really" exist, in so far as it doesn't exist for a comoving observer; though it "really" exists, i.e. in such a way that it could be demonstrated in principle by physical means by a non-comoving observer. — Albert Einstein, 1911
Circa i disegni da te postati , quello centrale è sbagliato, il tuo è corretto. Quando sezioni un tubo di universo (la striscia grigia) , devi farlo secondo la retta di contemporaneità $x'$ di un osservatore la cui linea di universo sia l'asse $t'$. Prendi il primo disegno , e allarga "a forbice" gli assi $(t',x')$ , fino a metterli uno orizzontale e l'altro verticale ; nel fare ciò , gli assi $t$ ed $x$ ruotano anch'essi, ciascuno verso l'esterno, e si conserva l'angolo tra $t$ e $t'$ , uguale a quello tra $x$ e $x'$ . I diagrammi di Minkowski sono fatti cosi , la geometria di questo piano è iperbolica e non euclidea, la rotazione detta si chiama iperbolica.
Quindi , la sezione del tubo di universo che nel primo diagramma è fatta con la parallela all'asse $x$ ( linea tratteggiata più in alto ) deve rimanere parallela all'asse $x$ nella rotazione iperbolica.
Direi che mi hai chiarito molti dubbi 
Grazie!
Grazie!
Mi piacerebbe, se tu avessi voglia, continuare la discussione con altri due dubbi su questo spazio dopo l'introduzione del concetto cono luce.
Riprendendo il disegno, in particolare trovo due punti "critici" nell'interpretare cosa capiti.
1) Ho capito che per quanto riguarda il cono luce e' invariante sotto trasformazioni di Poincare (si vede dalla formula che lo genera), cito: il conoluce basato in un dato punto dello spaziotempo e' “lo stesso” per tutti gli osservatori.
Non capisco però graficamente cosa voglia dire che è lo stesso per tutti gli osservatori; s'intende che data la figura seguente (le due rette verdi sono il "cono") anche l'ossevatore in azzurro lo disegna in quella posizione, oppure vuol dire che, disegnando le rette azzurre ortogonali il cono avrà la medesima apertura di quello che ho disegnato in questa figura? Sinceramente non riesco a figurarmelo
(fingiamo siano a 45 gradi)
2) Poiché gli eventi estremo (chiamiamolo) A della sbarra L posta sulle ascisse e B sono due eventi con separazione di tipo spazio, allora non dovrebbe essere associata alcuna linea universo L (infatti come si vede è fuori il cono luce).
Ma a questo punto come diamine si rappresenta un evento sbarra lunga L da un osservatore (origine) al tempo zero? Mi viende sempre una separazione di tipo spazio
Spero di non tediarti troppo con le domande
Riprendendo il disegno, in particolare trovo due punti "critici" nell'interpretare cosa capiti.
1) Ho capito che per quanto riguarda il cono luce e' invariante sotto trasformazioni di Poincare (si vede dalla formula che lo genera), cito: il conoluce basato in un dato punto dello spaziotempo e' “lo stesso” per tutti gli osservatori.
Non capisco però graficamente cosa voglia dire che è lo stesso per tutti gli osservatori; s'intende che data la figura seguente (le due rette verdi sono il "cono") anche l'ossevatore in azzurro lo disegna in quella posizione, oppure vuol dire che, disegnando le rette azzurre ortogonali il cono avrà la medesima apertura di quello che ho disegnato in questa figura? Sinceramente non riesco a figurarmelo
(fingiamo siano a 45 gradi
)2) Poiché gli eventi estremo (chiamiamolo) A della sbarra L posta sulle ascisse e B sono due eventi con separazione di tipo spazio, allora non dovrebbe essere associata alcuna linea universo L (infatti come si vede è fuori il cono luce).
Ma a questo punto come diamine si rappresenta un evento sbarra lunga L da un osservatore (origine) al tempo zero? Mi viende sempre una separazione di tipo spazio
Spero di non tediarti troppo con le domande
il conoluce basato in un dato punto dello spaziotempo e' “lo stesso” per tutti gli osservatori.
La chiave di volta per capire questo è costituita dalle parole che ho evidenziato in rosso. Prendi un punto dello ST , che è un "evento" . Traccia un cono di luce con origine in questo evento, che assumi come origine delle coordinate per un osservatore $O(t,x)$, come nel tuo disegno. Le linee verdi sono il cono di luce in due dimensioni, relativo ad $O$ , ma anche a qualunque altro osservatore $O'(t',x')$ che passa per $O$ all'istante $t=t'=0 $ ( ovvero , i due osservatori sincronizzano loro orologi al rispettivo tempo zero quando si incrociano. Poi, proseguendo nel moto relativo, gli orologi dell'uno e dell'altro non saranno più sincronizzati, ma è un altro problema).
Perchè anche $O'$ ha le linee verdi come cono di luce , quando si trova nello stesso evento-origine ? Perchè la velocità della luce è la stessa per entrambi. Le linee luce verdi sono bisettrici sia dei quadranti di $O$ che dei quadranti di $O'$; il fatto che visivamente sul disegno tu veda un angolo acuto tra gli assi con apice non deve trarti in inganno , poiché , come sai , anche gli assi $t'$ e $x'$ sono ortogonali nel senso della geometria iperbolica; ponendo $c=1$ , si ha , per le geodetiche tipo luce :
$t^2-x^2 = (t' )^2 - (x')^2 = (t'')^2 -(x'')^2 =...= 0$
queste quantità sono invece diverse da zero , per eventi che non sono su una geodetica tipo luce: sono l'espressione del 4-intevallo calcolato rispetto all'origine.
Questo però non significa che non si possano tracciare altri coni luce con origine in altri punti della linea di universo di un certo osservatore nello ST ! Guarda l'articolo di Wikipedia , e in particolare la seconda figura : è disegnata una linea di universo , e tre coni di luce in eventi diversi di essa.
È chiaro che , preso un evento e tracciato il cono di luce ad esso relativo, esso è unico; affinché un diverso osservatore "veda" quell'evento , deve aspettare che la "sua" linea di universo intersechi La superficie del cono di luce dello stesso.
Supponi che , nel tuo grafico, tu sia l'osservatore in $O$ al tempo t=0 e naturalmente x=0. Supponi di posizionare sull'asse x la galassia di Andromeda , e immagina che la distanza tra te e Andromeda sia costante ( non è vero...) . LA distanza è circa 2.5 milioni di anni-luce. Ora , in Andromeda esplode una supernova : questo è un evento , che si trova nella posizione di A. Affinché tu, che sei in O e quindi descrivi , nell ST , la linea di universo rappresentata dall'asse $t$ , possa "vedere" l'esplosione della supernova, devi attendere che il cono di luce con origine nell'evento intersechi la tua linea di universo : avverrà tra 2.5 milioni di anni
Poiché gli eventi estremo (chiamiamolo) A della sbarra L posta sulle ascisse e B sono due eventi con separazione di tipo spazio, allora non dovrebbe essere associata alcuna linea universo L (infatti come si vede è fuori il cono luce).
Ma a questo punto come diamine si rappresenta un evento sbarra lunga L da un osservatore (origine) al tempo zero? Mi viende sempre una separazione di tipo spazio
Si, certo, gli eventi corrispondenti agli estremi della sbarra AB messa sull'asse x sono separati da un intervallo di tipo spazio , e non c'è una linea di universo temporale , nel tuo diagramma di Minkowski , che passi per A e B . Ma non ho capito il senso della domanda. Formula meglio .
Ciao Shackle, è un piacere leggerti ancora e innanzitutto grazie.
Direi che sul primo punto ora ci sono, devo dire che capisco più i calcoli in sé, perché sono lì,ma poi passare alla intuizione di ciò che succede davvero mi blocca.
Per quanto riguarda la sbarretta intendevo dire che non riesco a capire cosa voglia dire proiettarlo sulla linea di contemporaneità (tornando al disegno) t e t' a questo punto, perché gli eventi visibili in quel dato istante per O osservatore nella sua origine sono solo quelli che provengono dal passato e stanno nel disegno delle bisettrici (cono luce 2D) dello spazio di minkowski. Cosa vuol dire, a conti fatti, porre quella barretta L sulle ascisse, se non la vede, cosa vuol dire fare quel tubo di universo? (anzi tecnicamente vedrebbe la sbarretta, facendo un cono luce, in due istanti leggermente diversi in cui il cono luce che parte dall'estremo a interseca t e così ahce per il cono su b -ovviamente impercettibili, ma per ora consideriamoli per capire-). Perché inceve il tubo universo finisce sulla stessa t? Insomma l'introduzione del cono luce mi ha sconquassato il modo in cui vedevo quel grafico e mi pare di non riuscire a far coincidere le due visioni.
Buona domenica
Direi che sul primo punto ora ci sono, devo dire che capisco più i calcoli in sé, perché sono lì,ma poi passare alla intuizione di ciò che succede davvero mi blocca.
Per quanto riguarda la sbarretta intendevo dire che non riesco a capire cosa voglia dire proiettarlo sulla linea di contemporaneità (tornando al disegno) t e t' a questo punto, perché gli eventi visibili in quel dato istante per O osservatore nella sua origine sono solo quelli che provengono dal passato e stanno nel disegno delle bisettrici (cono luce 2D) dello spazio di minkowski. Cosa vuol dire, a conti fatti, porre quella barretta L sulle ascisse, se non la vede, cosa vuol dire fare quel tubo di universo? (anzi tecnicamente vedrebbe la sbarretta, facendo un cono luce, in due istanti leggermente diversi in cui il cono luce che parte dall'estremo a interseca t e così ahce per il cono su b -ovviamente impercettibili, ma per ora consideriamoli per capire-). Perché inceve il tubo universo finisce sulla stessa t? Insomma l'introduzione del cono luce mi ha sconquassato il modo in cui vedevo quel grafico e mi pare di non riuscire a far coincidere le due visioni.
Buona domenica
Forse mi sono spiegato male, o forse è la difficoltà propria della materia, ma dal tuo scritto vedo che ci sono incomprensioni.
LA striscia , o tubo, di universo, è un concetto semplice. Supponi di avere un'asta $A_0B_0$ ferma rispetto a te. Tu sei l'osservatore $O(t,x)$ . La distanza tra te e ciascuno dei suoi punti non cambia nel tempo . Mettila sull'asse $x$ del diagramma di Minkowski, come ho fatto io nella figura allegata . I suoi estremi descrivono, al passare del tempo, linee di universo che sono parallele all'asse $t$ , e tutta l'asta descrive la "striscia" del piano compresa in mezzo.
Supponiamo che agli estremi dell'asta ci siano due lampadine , e che esse si accendano "contemporaneamente" per te all'istante $T$ del tuo tempo. Qui bisogna fare attenzione : la contemporaneità dei due eventi (accensione lampadine in A e B) non significa che le vedi accendersi insieme! . Ho disegnato tratteggiati in rosso i coni di luce con origine in A e B, e solo quando la tua linea di universo, asse $t$, interseca il cono di luce di $A$ tu "vedrai" l'evento $A$, all'istante $t_A$ ; analogamente vedrai $B$ all'istante $t_B$ . Come vedi, la contemporaneità degli eventi non significa vederli accadere nello stesso istante del proprio tempo.
Ho tracciato anche gli assi $(t',x')$ di un OI che è in moto rispetto a te. Anche per $O'$ si ripete la storia . Ora però i due eventi non sono contemporanei per O' , perché le rette di contemporaneità per A e B intersecano l’asse t’ in $E_1$ ed $E_2$.
Si verifica qui un fatto del tutto inatteso, estraneo all'intuizione: O' ritiene che B preceda A , poiché $E_1$ precede $E_2$ sulla sua linea di universo! Questa inversione temporale nell'ordine degli eventi, si dimostra, è possibile solo per eventi che sono collegati da un intervallo di tipo "spazio" . Se l'intervallo tra due eventi è di tipo tempo rispetto ad un OI, rimane di tipo tempo rispetto a tutti gli altri OI in moto relativo. MA qui ci vuole un po' di matematica , le trasformazioni di Lorentz per intenderci.
Anche qui si ha che gli istanti in cui gli eventi A e B sono "visti" da O' sono gli istanti $t'_A$ e $t'_B$ , diversi da quelli corrispondenti ad $E_1$ ed $E_2$; si tratta ovviamente degli istanti in cui l'asse t' incontra i coni di luce di A e B .
Talvolta, specie quando gli eventi sono vicini ( in senso spaziale ) all'osservatore, si trascura la differenza temporale, tra "accadere" e "vedere" , dovuta alla velocità finita della luce , e si assume che il tempo in cui un evento accade sia anche quello in cui è visto. Ma bisognerebbe specificarlo chiaramente. Allora si lascia perdere il cono di luce, ma in generale, se siamo interessati non solo ai tempi in cui gli eventi accadono ma anche a quelli in cui li vediamo, dobbiamo tenerne conto. Per chiarire, quando facciamo i conti con le trasformazioni di Lorentz stiamo trattando con i tempi degli accadimenti, non con quelli in cui vediamo gli eventi.
Ad esempio, supponiamo che tu sia la Terra, mentre A eB siano la Luna e Marte, perfettamente allineati con la Terra e fermi rispetto ad essa. I due eventi contemporanei siano gli impatti di due asteroidi su ciascuno di essi. La Luna dista dalla Terra poco più di 1 secondo luce, basta dividere 384000 km per $c$ ; Marte dista un po’ di più , non ricordo i km, ma insomma è facile trovare la distanza in secondi luce. Se si vuole, si ammette di trascurare i tempi impiegati dalla luce per arrivare fino a Terra , e si assume che il tempo di arrivo del segnali sia uguale al tempo T di accadimento dei due eventi. I diagrammi di Minkowski spesso alterano la realtà fisica, non essendo quasi mai in scala. Altra cosa è se prendiamo l’esplosione della supernova in Andromeda: ci vogliono 2.5 milioni di anni affinché la tua linea di universo intersechi il cono di luce che ha quella origine. Nel frattempo, non hai alcuna informazione dell’evento, che è fuori del cono di luce “tuo”, originato qui ed ora in te.
Perciò, il cono di luce non ha niente di sconvolgente, è dovuto alla finitezza di $c$.
Aggiungo delle pagine di informazioni suppletive sulla contrazione delle lunghezze, e le strisce duniverso, prese da un ottimo libro, che non si trova più in commercio (credo) : "La sintesi einsteiniana" di Max Born , ed. Boringhieri.
Sempre dallo stesso libro riporto alte pagine esplicative :
Spero che ora la situazione sia più chiara.
Se hai domande da fare , falle presto, perché forse nella prossima settimana sarò assente per ragioni personali.
LA striscia , o tubo, di universo, è un concetto semplice. Supponi di avere un'asta $A_0B_0$ ferma rispetto a te. Tu sei l'osservatore $O(t,x)$ . La distanza tra te e ciascuno dei suoi punti non cambia nel tempo . Mettila sull'asse $x$ del diagramma di Minkowski, come ho fatto io nella figura allegata . I suoi estremi descrivono, al passare del tempo, linee di universo che sono parallele all'asse $t$ , e tutta l'asta descrive la "striscia" del piano compresa in mezzo.
Supponiamo che agli estremi dell'asta ci siano due lampadine , e che esse si accendano "contemporaneamente" per te all'istante $T$ del tuo tempo. Qui bisogna fare attenzione : la contemporaneità dei due eventi (accensione lampadine in A e B) non significa che le vedi accendersi insieme! . Ho disegnato tratteggiati in rosso i coni di luce con origine in A e B, e solo quando la tua linea di universo, asse $t$, interseca il cono di luce di $A$ tu "vedrai" l'evento $A$, all'istante $t_A$ ; analogamente vedrai $B$ all'istante $t_B$ . Come vedi, la contemporaneità degli eventi non significa vederli accadere nello stesso istante del proprio tempo.
Ho tracciato anche gli assi $(t',x')$ di un OI che è in moto rispetto a te. Anche per $O'$ si ripete la storia . Ora però i due eventi non sono contemporanei per O' , perché le rette di contemporaneità per A e B intersecano l’asse t’ in $E_1$ ed $E_2$.
Si verifica qui un fatto del tutto inatteso, estraneo all'intuizione: O' ritiene che B preceda A , poiché $E_1$ precede $E_2$ sulla sua linea di universo! Questa inversione temporale nell'ordine degli eventi, si dimostra, è possibile solo per eventi che sono collegati da un intervallo di tipo "spazio" . Se l'intervallo tra due eventi è di tipo tempo rispetto ad un OI, rimane di tipo tempo rispetto a tutti gli altri OI in moto relativo. MA qui ci vuole un po' di matematica , le trasformazioni di Lorentz per intenderci.
Anche qui si ha che gli istanti in cui gli eventi A e B sono "visti" da O' sono gli istanti $t'_A$ e $t'_B$ , diversi da quelli corrispondenti ad $E_1$ ed $E_2$; si tratta ovviamente degli istanti in cui l'asse t' incontra i coni di luce di A e B .
Talvolta, specie quando gli eventi sono vicini ( in senso spaziale ) all'osservatore, si trascura la differenza temporale, tra "accadere" e "vedere" , dovuta alla velocità finita della luce , e si assume che il tempo in cui un evento accade sia anche quello in cui è visto. Ma bisognerebbe specificarlo chiaramente. Allora si lascia perdere il cono di luce, ma in generale, se siamo interessati non solo ai tempi in cui gli eventi accadono ma anche a quelli in cui li vediamo, dobbiamo tenerne conto. Per chiarire, quando facciamo i conti con le trasformazioni di Lorentz stiamo trattando con i tempi degli accadimenti, non con quelli in cui vediamo gli eventi.
Ad esempio, supponiamo che tu sia la Terra, mentre A eB siano la Luna e Marte, perfettamente allineati con la Terra e fermi rispetto ad essa. I due eventi contemporanei siano gli impatti di due asteroidi su ciascuno di essi. La Luna dista dalla Terra poco più di 1 secondo luce, basta dividere 384000 km per $c$ ; Marte dista un po’ di più , non ricordo i km, ma insomma è facile trovare la distanza in secondi luce. Se si vuole, si ammette di trascurare i tempi impiegati dalla luce per arrivare fino a Terra , e si assume che il tempo di arrivo del segnali sia uguale al tempo T di accadimento dei due eventi. I diagrammi di Minkowski spesso alterano la realtà fisica, non essendo quasi mai in scala. Altra cosa è se prendiamo l’esplosione della supernova in Andromeda: ci vogliono 2.5 milioni di anni affinché la tua linea di universo intersechi il cono di luce che ha quella origine. Nel frattempo, non hai alcuna informazione dell’evento, che è fuori del cono di luce “tuo”, originato qui ed ora in te.
Perciò, il cono di luce non ha niente di sconvolgente, è dovuto alla finitezza di $c$.
Aggiungo delle pagine di informazioni suppletive sulla contrazione delle lunghezze, e le strisce duniverso, prese da un ottimo libro, che non si trova più in commercio (credo) : "La sintesi einsteiniana" di Max Born , ed. Boringhieri.
Sempre dallo stesso libro riporto alte pagine esplicative :
Spero che ora la situazione sia più chiara.
Se hai domande da fare , falle presto, perché forse nella prossima settimana sarò assente per ragioni personali.
Purtroppo avendo avuto laboratori nei giorni scorsi fino a tarda sera, e il rientro a casa non mi hanno permesso di stare al passo. Oggi finalmente trovo il tempo di leggere e dedicarmi ancora un poco a relatività ristretta.
Ti ringrazio prima di iniziare, come sempre, per il tuo enorme aiuto e disponibilità.
1) Ho intravisto un primo errore interpretativo prima di questo tuo ultimo messaggio, il dubbio era in effetti che vedevo il cono luce degli eventi intersecarsi con l'asse dei tempi in modo diverso al proiettare la lunghezza L sulla retta di contemporaneità.
Quello che mi turbava è che la rappresentazione cartesiana di una lunghezza è presa istantaneamente (nel momento dell'accadimento) e la coordinata è quella lunghezza. Identicamente se invece avessi scelto di rappresentare ciò che vede l'osservatore al tempo degli eventi, allora le coordinate da porre sul grafico sarebbero state diverse.
In realtà nella rappresentazione alla minkowski mi pare di capire ora che io ponga come coordinate di un certo evento (ascisse: lunghezza accadimento e ordinate tempo dell'accadimento). Poi col cono luce posso vedere quando realmente (realmente per quel sistema e osservatore) arriverà l'informazione lunghezza.
IInsomma è un grafico che contiente entrambe le informazioni (istantanea -sempre intendendo l'istantanetà relativa) e l'informazione "vedo l'evento.
2) Pensavo la lunghezza della sbarra dovesse essere comunque considerata una linea di universo, avevo capito che per definizione tale linea fosse un evento qualsiasi nello spazio tempo e vedevo la lunghezza come tale. E mi faceva storcere il naso che la lunghezza così vista fosse una separazione di tipo spazio tra i due estremi (separazione che non contempla una linea universo che li colleghi).
Ti ringrazio prima di iniziare, come sempre, per il tuo enorme aiuto e disponibilità.
1) Ho intravisto un primo errore interpretativo prima di questo tuo ultimo messaggio, il dubbio era in effetti che vedevo il cono luce degli eventi intersecarsi con l'asse dei tempi in modo diverso al proiettare la lunghezza L sulla retta di contemporaneità.
Quello che mi turbava è che la rappresentazione cartesiana di una lunghezza è presa istantaneamente (nel momento dell'accadimento) e la coordinata è quella lunghezza. Identicamente se invece avessi scelto di rappresentare ciò che vede l'osservatore al tempo degli eventi, allora le coordinate da porre sul grafico sarebbero state diverse.
In realtà nella rappresentazione alla minkowski mi pare di capire ora che io ponga come coordinate di un certo evento (ascisse: lunghezza accadimento e ordinate tempo dell'accadimento). Poi col cono luce posso vedere quando realmente (realmente per quel sistema e osservatore) arriverà l'informazione lunghezza.
IInsomma è un grafico che contiente entrambe le informazioni (istantanea -sempre intendendo l'istantanetà relativa) e l'informazione "vedo l'evento.
2) Pensavo la lunghezza della sbarra dovesse essere comunque considerata una linea di universo, avevo capito che per definizione tale linea fosse un evento qualsiasi nello spazio tempo e vedevo la lunghezza come tale. E mi faceva storcere il naso che la lunghezza così vista fosse una separazione di tipo spazio tra i due estremi (separazione che non contempla una linea universo che li colleghi).
In conclusione
, le mie spiegazioni sono servite a fugare qualche dubbio?
Consigli per gli acquisti: “ Spacetime Physics” , di Taylor e Wheeler. Chi cerca trova...
Cerca anche “ Minkowski diagram “ su Wikipedia inglese.
Questo è un bell’ Articolo:
https://arxiv.org/pdf/physics/0703002.
Ma
ne trovi a bizzeffe.
, le mie spiegazioni sono servite a fugare qualche dubbio?
Consigli per gli acquisti: “ Spacetime Physics” , di Taylor e Wheeler. Chi cerca trova...
Cerca anche “ Minkowski diagram “ su Wikipedia inglese.
Questo è un bell’ Articolo:
https://arxiv.org/pdf/physics/0703002.
Ma
ne trovi a bizzeffe.
Più che servite sono state fondamentali! Ti ringrazio per avermi seguito passo-passo.
Spero un giorno di raggiungere tale destrezza nei concetti che ora mi paiono uno po' difficili.
Seguirò i consigli sulle letture
Grazie ancora!
Spero un giorno di raggiungere tale destrezza nei concetti che ora mi paiono uno po' difficili.
Seguirò i consigli sulle letture
Grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo