Spazio-tempo di Minkowski
Buongiorno, mi sto avvicinando alla relatività ristretta e ho incontrato un problema nel capire lo spazio-tempo di Minkowski (M4) spero che qualcuno possa aiutarmi.
In particolare ho letto che M4 è uno spazio affine reale di dimensione 4 ma il problema è questo:
In meccanica classica considero lo spazio come uno spazio affine reale 3D, in particolare ad ogni coppia ordinata di punti (P,Q) associo un vettore applicato che va da P a Q.
Poi siccome il vettore applicato ha direzione verso e lunghezza definisco le classi di equipollenza e definendo opportune operazioni arrivo a dire che l'insieme delle classi di equipollenza è uno spazio vettoriale e che una classe di equipollenza è un vettore (interpretabile come spostamento).
Quindi data una coppia di punti ordinati (P,Q) è associato il relativo vettore f(P,Q).
Ora che ho lo spazio vettoriale scelgo una base (i,j,k) ed ogni vettore diventa esprimibile con le sue componenti (solo ora compaiono le componenti).
Se infine scelgo un punto O come origine ogni altro punto P può essere individuato dal vettore f(O,P) e ho quindi fissato un sistema di riferimento (O,i,j,k).
Adesso in M4 i punti dell'insieme sono gli eventi e posso associare ad ogni coppia ordinata di eventi (P,Q) il relativo vettore applicato che va da P a Q. Ora però non saprei come andare avanti dato che non c'è un modo semplice di definire una classe di equipollenza e individuare dei vettori che possano essere la mia base.
Come si fa?
In particolare ho letto che M4 è uno spazio affine reale di dimensione 4 ma il problema è questo:
In meccanica classica considero lo spazio come uno spazio affine reale 3D, in particolare ad ogni coppia ordinata di punti (P,Q) associo un vettore applicato che va da P a Q.
Poi siccome il vettore applicato ha direzione verso e lunghezza definisco le classi di equipollenza e definendo opportune operazioni arrivo a dire che l'insieme delle classi di equipollenza è uno spazio vettoriale e che una classe di equipollenza è un vettore (interpretabile come spostamento).
Quindi data una coppia di punti ordinati (P,Q) è associato il relativo vettore f(P,Q).
Ora che ho lo spazio vettoriale scelgo una base (i,j,k) ed ogni vettore diventa esprimibile con le sue componenti (solo ora compaiono le componenti).
Se infine scelgo un punto O come origine ogni altro punto P può essere individuato dal vettore f(O,P) e ho quindi fissato un sistema di riferimento (O,i,j,k).
Adesso in M4 i punti dell'insieme sono gli eventi e posso associare ad ogni coppia ordinata di eventi (P,Q) il relativo vettore applicato che va da P a Q. Ora però non saprei come andare avanti dato che non c'è un modo semplice di definire una classe di equipollenza e individuare dei vettori che possano essere la mia base.
Come si fa?
Risposte
Nello spazio tempo (ST) di Minkowski , i punti sono "eventi" , cioè sono caratterizzati da tre coordinate spaziali e da una coordinata temporale, riferite ad un certo OI . Dati due eventi P e Q , nello ST detto il "vettore" che unisce P a Q è un vettore a 4 componenti , detto anche 4-vettore o tetravettore .
I tre vettori base dello spazio euclideo tridimensionale sono i soliti , ammesso che tu voglia riferire lo spazio a coordinate cartesiane ortogonali ( ma non si ha quest'obbligo, si possono usare pure altre coordinate , ad es. le polari sferiche) . Detta quindi : ${ e_1,e_2,e_3}$ la solita base ortonormale dello spazio euclideo 3-dimensionale , si fa una cosa semplicissima (almeno, cosí sembra semplice, ma è ricca di profonde implicazioni...) : si aggiunge un quarto vettore base :$ e_0 = (1,0,0,0) $ ,che è il vettore base di tipo tempo , e lo si scrive di solito per primo . Sicché la base dei 4-vettori è ora :
$e_\alpha = {e_0,e_1,e_2,e_3}$
dove peró ora le componenti sono 4 e non più 3 , e si scrive un 4-vettore come :
$barA = A^\alphae_\alpha $
in questa scrittura , è sottintesa la sommatoria su indici alti e bassi ripetuti , secondo Einstein. Una cosa molto importante da capire , qui, è come si fa il prodotto esterno ( in meccanica classica diciamo : prodotto scalare) di due 4-vettori ) , e cioè come si esprime : $barA*barB$ in base alle componenti .
AD esempio, un 4-vettore molto importante, il primo che si incontra in questi studi , è l'elemento lineare :
$ds^2 = \eta _(munu) dx^\mudx^nu $
dove $\eta _(munu) $ è il tensore metrico dello ST di Minkowski . Per capire l'origine fisica di questo elemento lineare , possiamo dire che tutto ha origine dall'invarianza della velocita della luce in due diversi riferimenti inerziali , per cui l'elemento lineare, scritto per due diversi OI , è invariante :
$ds^2 = -(cdt)^2 + dx^2 + dy^2 +dz^2 = (ds')^2 $
Forse non hai ancora queste nozioni , ma ti diventeranno chiarissime col proseguimento dello studio . Per darti un'idea di che cosa sia il tensore metrico , e come entri nel calcolo del prodotto scalare di due 4-vettori , nello ST di Minkowski , ti quoto uno scritto che ho trovato nel forum :
Se qualcosa non è chiaro , o hai altre domande , non esitare a chiedere . Se posso, rispondo; altrimenti risponderà qualcun altro più bravo di me .
I tre vettori base dello spazio euclideo tridimensionale sono i soliti , ammesso che tu voglia riferire lo spazio a coordinate cartesiane ortogonali ( ma non si ha quest'obbligo, si possono usare pure altre coordinate , ad es. le polari sferiche) . Detta quindi : ${ e_1,e_2,e_3}$ la solita base ortonormale dello spazio euclideo 3-dimensionale , si fa una cosa semplicissima (almeno, cosí sembra semplice, ma è ricca di profonde implicazioni...) : si aggiunge un quarto vettore base :$ e_0 = (1,0,0,0) $ ,che è il vettore base di tipo tempo , e lo si scrive di solito per primo . Sicché la base dei 4-vettori è ora :
$e_\alpha = {e_0,e_1,e_2,e_3}$
dove peró ora le componenti sono 4 e non più 3 , e si scrive un 4-vettore come :
$barA = A^\alphae_\alpha $
in questa scrittura , è sottintesa la sommatoria su indici alti e bassi ripetuti , secondo Einstein. Una cosa molto importante da capire , qui, è come si fa il prodotto esterno ( in meccanica classica diciamo : prodotto scalare) di due 4-vettori ) , e cioè come si esprime : $barA*barB$ in base alle componenti .
AD esempio, un 4-vettore molto importante, il primo che si incontra in questi studi , è l'elemento lineare :
$ds^2 = \eta _(munu) dx^\mudx^nu $
dove $\eta _(munu) $ è il tensore metrico dello ST di Minkowski . Per capire l'origine fisica di questo elemento lineare , possiamo dire che tutto ha origine dall'invarianza della velocita della luce in due diversi riferimenti inerziali , per cui l'elemento lineare, scritto per due diversi OI , è invariante :
$ds^2 = -(cdt)^2 + dx^2 + dy^2 +dz^2 = (ds')^2 $
Forse non hai ancora queste nozioni , ma ti diventeranno chiarissime col proseguimento dello studio . Per darti un'idea di che cosa sia il tensore metrico , e come entri nel calcolo del prodotto scalare di due 4-vettori , nello ST di Minkowski , ti quoto uno scritto che ho trovato nel forum :
Senza troppe sofisticazioni matematiche, per cui chiedo scusa ai matematici, il tensore metrico è un operatore bilineare $g(…,…)$ , che prende nei suoi due slot vuoti due 4-vettori $\vecA= e_\alphaA^\alpha$ , $\vecB=e_\betaB^\beta$ (dove gli $e_\alpha, e_\beta$ sono le basi, ovviamente) e restituisce il loro prodotto scalare.
Quindi : $g(\vecA,\vecB) = g(e_\alphaA^\alpha,e_\betaB^\beta) = g(e_\alpha,e_\beta)A^\alphaB^\beta$
Quindi, quando scriviamo il prodotto scalare nella forma :
$g_(\alpha\beta)A^\alphaB^\beta$ , intendiamo che : $g_(\alpha\beta)$ è il risultato della applicazione di $g(…,…)$ ai vettori base dello spazio.
Ma nella geometria pseudo-euclidea dello ST piatto di Minkowski, quali sono i vettori base, se le coordinate spaziali sono le solite cartesiane ortogonali ?
$e_0 = (1,0,0,0)$
$e_1 = (0,1,0,0)$
$e_2 = (0,0,1,0)$
$e_3 = (0,0,0,1)$
Il primo $e_0$ è il vettore-base unitario di tipo tempo: se disegni in un diagramma di Minkowski una linea di universo temporale, il vettore unitario tipo tempo tangente alla linea in un suo punto non è altro che la 4-velocità :
$\vecU = (\gamma, gamma\vecv)$
il cui modulo quadro vale $-1$ come sai.
E questo ci dice che il prodotto scalare $\langlee_0,e_0\rangle = g_(00) = -1$ . Ci sei ?
Tralascio gli altri prodotti scalari, banalissimi. Per cui si ha :
$g(\vecA,\vecB) = g(e_\alphaA^\alpha,e_\betaB^\beta) = g(e_\alpha,e_\beta)A^\alphaB^\beta = g_(\alpha\beta)A^\alphaB^\beta = -1*(A^0*B^0) + 1*(A^1*B^1) + 1*(A^2*B^2) + 1* (A^3*B^3) $
e questa espressione ti dice quali sono i coefficienti della metrica di Minkowski : $\eta_(\mu,\nu) = diag(-1,1,1,1) $
SE, nello ST di Minkowski , vuoi trovare la norma di un 4-vettore, basta che lo moltiplichi scalarmente, secondo la regola detta , per se stesso . Cioè :
$A^2 = -(A^0)^2 + (A^1)^2 + (A^2)^2 + (A^3)^2$ .
La cosa da notare qui è la differenza di segno tra la parte temporale e la parte spaziale , per cui la norma di un 4-vettore può essere negativa (e allora il 4-vettore si dice di tipo tempo) , nulla ( = 4-vettore di tipo luce) , o positiva ( = 4-vettore di tipo spazio) .
Nota anche che la convenzione sui segni spesso è quella opposta : positivo per la parte temporale, negativo per quella spaziale.
Se qualcosa non è chiaro , o hai altre domande , non esitare a chiedere . Se posso, rispondo; altrimenti risponderà qualcun altro più bravo di me .
Innanzitutto grazie della risposta, ho letto parecchi tuoi post sul forum e molto spesso gli ho trovati illuminanti!
In ogni caso non riesco a capire come stai procedendo perché prendi le coordinate di un evento nello spazio-tempo di Minkowski prima di aver definito cosa sia un vettore e nella definizione stessa di base usi le coordinate, mentre io so che si prendono le coordinate solo dopo aver fissato una base e un origine essendo le coordinate di un punto P le componenti del vettore 0P rispetto ad una certa base!
In ogni caso non riesco a capire come stai procedendo perché prendi le coordinate di un evento nello spazio-tempo di Minkowski prima di aver definito cosa sia un vettore e nella definizione stessa di base usi le coordinate, mentre io so che si prendono le coordinate solo dopo aver fissato una base e un origine essendo le coordinate di un punto P le componenti del vettore 0P rispetto ad una certa base!
Diciamo che il tuo procedimento presuppone che ogni evento abbia delle coordinate come prima cosa. Questa cosa non la capisco perché io ho studiato che un sistema di riferimento rispetto cui prendere le coordinate è una base dello spazio vettoriale assieme ad un punto dello spazio di punti che si chiama origine O.
Dopo di che un cambio di sistema di riferimento può essere un cambio di base oppure, un cambio di origine o entrambe le cose.
Sembrerebbe che tu utilizzi una nozione diversa dalla mia di sistema di riferimento, sembrerà una domanda sciocca ma puoi spiegarmi cosa sia un sistema di riferimento?
Dopo di che un cambio di sistema di riferimento può essere un cambio di base oppure, un cambio di origine o entrambe le cose.
Sembrerebbe che tu utilizzi una nozione diversa dalla mia di sistema di riferimento, sembrerà una domanda sciocca ma puoi spiegarmi cosa sia un sistema di riferimento?
Grazie a te, per il tempo che hai dedicato a leggere qualche mio messaggio . Faccio quel che posso, scrivo su quel che so, nei miei limiti. [nota]o penso di sapere : la vita ci insegna che, per quanto uno ne sappia su un argomento, c'è sempre qualcun altro che può saperne di più , e con le sue conoscenze può mettere in luce aspetti inediti di una questione. Ma torniamo a noi![/nota]
Per rispondere al primo messaggio ti dico semplicemente che io, come te e tanti altri in questo forum , ho avuto a che fare con le coordinate cartesiane alle superiori , e solo molto tempo dopo ho conosciuto i vettori, e ti sto parlando di semplice geometria euclidea . Siamo d'accordo che i vettori "sono meglio" , ma forse i problemi della geometria e della fisica non si possono risolvere senza i vettori ? È più complicato, certo, ma si arriva lo stesso al risultato. Molte grandezze della fisica hanno una natura spiccatamente vettoriale, come la velocità angolare di un riferimento rispetto a un altro ( meglio : un sistema di coordinate cartesiane rispetto a un altro). MA se non avessero inventato il calcolo vettoriale , non avremmo saputo risolvere certi problemi ? Non credo . Questa è opinione personalissima, che qualcuno può anche contestare.
In RR , come in meccanica classica , le 4-coordinate di un evento sono riferite a un certo osservatore inerziale, dotato di un regolo per fare misure spaziali e un orologio per misure temporali ; passando ad un altro osservatore inerziale le coordinate si trasformano , le trasformazioni di coordinate sono quelle di Lorentz, anziché quelle di Galileo. Nello studio della materia, si procede prima , e a lungo, su questa strada. Solo dopo vengono i 4-vettori. Minkowski ha unificato in un certo senso spazio e tempo, conosci certamente le sue parole che non ripeto. Ma non so se da questo punto di vista la RR sia più facile da digerire. Partire subito con i 4-vettori mi lascia un po' perplesso. Si può trattare la RR anche solo fermandosi alle trasformazioni di Lorentz . Questo è, almeno, il mio punto di vista . Ma si può procedere anche per via più strettamente matematica , definendo lo ST di Minkowski come uno spazio vettoriale 4-dimensionale, dotato di una metrica pseudo-euclidea con segnatura (3,1) oppure (1.3) (secondo la convenzione adottata) , e di un prodotto interno ( non esterno, prima ho sbagliato) che è una forma bilineare sullo spazio tangente non definita positiva . Se fai ricerche in rete su "spazio tempo come varietà differenziabile" ottieni vari documenti, dispense e libri, su cui puoi indagare a tutto spiano .
La via matematica, presa dall'inizio, è comunque più complessa , secondo me .
Però la domanda tua più importante è la seconda : "Che cosa è un sistema di riferimento? " . Rispondo subito che non è certamente un sistema di coordinate cartesiane, o polari, o altro ! Ne abbiamo parlato qualche mese fa,
questa è una delle mie risposte . Ti raccomando caldamente di leggere la dispensa di Elio Fabri che ci trovi citata. Anzi , leggi tutta la discussione, che è interessante.
Einstein si rese però conto della necessità di svincolare le leggi della fisica dai sistemi di riferimento . LA relatività generale nacque con questo scopo, anche se poi si è rivelata piuttosto una teoria della gravitazione , da contrapporre a quella di Newton in certe condizioni estreme . MA qui il discorso è diverso.
Ti do il link a un capitolo sulla RR scritto da un esperto relativista : Øyvind Grøn , che al paragrafo 2.8 spiega l'intervallo invariante tra eventi . Ma può tornarti utile tutto il capitolo .
Per rispondere al primo messaggio ti dico semplicemente che io, come te e tanti altri in questo forum , ho avuto a che fare con le coordinate cartesiane alle superiori , e solo molto tempo dopo ho conosciuto i vettori, e ti sto parlando di semplice geometria euclidea . Siamo d'accordo che i vettori "sono meglio" , ma forse i problemi della geometria e della fisica non si possono risolvere senza i vettori ? È più complicato, certo, ma si arriva lo stesso al risultato. Molte grandezze della fisica hanno una natura spiccatamente vettoriale, come la velocità angolare di un riferimento rispetto a un altro ( meglio : un sistema di coordinate cartesiane rispetto a un altro). MA se non avessero inventato il calcolo vettoriale , non avremmo saputo risolvere certi problemi ? Non credo . Questa è opinione personalissima, che qualcuno può anche contestare.
In RR , come in meccanica classica , le 4-coordinate di un evento sono riferite a un certo osservatore inerziale, dotato di un regolo per fare misure spaziali e un orologio per misure temporali ; passando ad un altro osservatore inerziale le coordinate si trasformano , le trasformazioni di coordinate sono quelle di Lorentz, anziché quelle di Galileo. Nello studio della materia, si procede prima , e a lungo, su questa strada. Solo dopo vengono i 4-vettori. Minkowski ha unificato in un certo senso spazio e tempo, conosci certamente le sue parole che non ripeto. Ma non so se da questo punto di vista la RR sia più facile da digerire. Partire subito con i 4-vettori mi lascia un po' perplesso. Si può trattare la RR anche solo fermandosi alle trasformazioni di Lorentz . Questo è, almeno, il mio punto di vista . Ma si può procedere anche per via più strettamente matematica , definendo lo ST di Minkowski come uno spazio vettoriale 4-dimensionale, dotato di una metrica pseudo-euclidea con segnatura (3,1) oppure (1.3) (secondo la convenzione adottata) , e di un prodotto interno ( non esterno, prima ho sbagliato) che è una forma bilineare sullo spazio tangente non definita positiva . Se fai ricerche in rete su "spazio tempo come varietà differenziabile" ottieni vari documenti, dispense e libri, su cui puoi indagare a tutto spiano .
La via matematica, presa dall'inizio, è comunque più complessa , secondo me .
Però la domanda tua più importante è la seconda : "Che cosa è un sistema di riferimento? " . Rispondo subito che non è certamente un sistema di coordinate cartesiane, o polari, o altro ! Ne abbiamo parlato qualche mese fa,
questa è una delle mie risposte . Ti raccomando caldamente di leggere la dispensa di Elio Fabri che ci trovi citata. Anzi , leggi tutta la discussione, che è interessante.
Einstein si rese però conto della necessità di svincolare le leggi della fisica dai sistemi di riferimento . LA relatività generale nacque con questo scopo, anche se poi si è rivelata piuttosto una teoria della gravitazione , da contrapporre a quella di Newton in certe condizioni estreme . MA qui il discorso è diverso.
Ti do il link a un capitolo sulla RR scritto da un esperto relativista : Øyvind Grøn , che al paragrafo 2.8 spiega l'intervallo invariante tra eventi . Ma può tornarti utile tutto il capitolo .
Ho letto la discussione e la dispensa di Elio Fabri, mi è ora chiara la distinzione tra sistema di riferimento e sistema di coordinate che pure io avevo sempre intrecciato.
Premessa ho a lungo avuto a che fare con coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche quindi non prendere la domanda come la domanda di uno studente alle primissime armi, ma cosa è un sistema di coordinate precisamente?
inoltre il Jean Gallier and Jocelyn Quaintance quando parla di geometria affine dice che un frame è una terna di vettori più un punto detto origine, come dovrei inquadrare questa affermazione?
grazie mille
Premessa ho a lungo avuto a che fare con coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche quindi non prendere la domanda come la domanda di uno studente alle primissime armi, ma cosa è un sistema di coordinate precisamente?
inoltre il Jean Gallier and Jocelyn Quaintance quando parla di geometria affine dice che un frame è una terna di vettori più un punto detto origine, come dovrei inquadrare questa affermazione?
grazie mille
"simonebarreca":
Premessa ho a lungo avuto a che fare con coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche quindi non prendere la domanda come la domanda di uno studente alle primissime armi, ma cosa è un sistema di coordinate precisamente?
Non sei certamente uno studente alle prime armi , ma, visto che hai dimestichezza con le coordinate, perchè mi fai questa domanda? Forse la precisazione che chiedi sottintende un'altra richiesta, e cioè : come devo considerare un sistema di coordinate , in relatività ristretta ? La mia risposta ( che qualche altro utente più esperto potrebbe migliorare) è, sostanzialmente, quella che già ti ho detto : un osservatore inerziale (= sistema di riferimento inerziale, come dice Fabri) dotato di un regolo per fare misure spaziali e un orologio per fare misure temporali ! Immagina che, per un dato osservatore, un immenso reticolo tridimensionale copra tutto lo spazio, fatto di regoli tutti uguali; e che in ogni punto del reticolo ci sia un orologio, e che tutti gli orologi siano sincronizzati tra loro e con quello dell’ OI : questo è lo ST piatto della RR. Lo so , sembra la scoperta dell'acqua calda, ma meglio di cosí non saprei.
In relatività generale le cose cambiano . Non si può definire un sistema di riferimento per tutto lo spazio tempo, che è curvato dalla materia-energia. Non si può definire un 4-vettore come "differenza" tra i suoi punti estremi , a causa della curvatura. Per rendere l'idea, dati due punti ( P , Q ) su una superficie sferica ( 3-dim. serve solo per fare l'esempio), non puoi definire il vettore $(Q-P)$ , perchè esso "attraverserebbe " la sfera , e invece devi rimanere sulla superficie. Non si possono paragonare due velocità di oggetti "molto lontani" nello ST . Tutte queste cose, puoi farle solo localmente in RG . Siccome lo ST nella RG è matematicamente una varietà differenziabile (M,g) dotata di una metrica variabile , essa è localmente omeomorfa ad $R^4$ . E allora puoi definire lo spazio tangente in un punto $T_P(M)$ , i vettori tangenti a curve sulla varietà , e un atlante di carte locali, che devono soddisfare a certe condizioni laddove si sovrappongono... Sono concetti base di geometria differenziale, che conosci meglio di me, io li sto dimenticando! In effetti la RG è una geometrizzazione della fisica.
Ma per la RR tutto questo è decisamente superfluo. Preferisco un approccio più fisico e diretto.
inoltre il Jean Gallier and Jocelyn Quaintance quando parla di geometria affine dice che un frame è una terna di vettori più un punto detto origine, come dovrei inquadrare questa affermazione?
grazie mille
Mi sono affrettato a cercare questi due autori , sono questi immagino :
https://www.seas.upenn.edu/~jean/diffgeom-spr-I.pdf
beh, se sei in grado di leggere e capire questo, sei qualche annetto-luce avanti a me ...!
Credo che non ci sia nulla da aggiungere , più di quanto detto. Una terna di vettori, più una origine : che c'è da inquadrare ? Io forse sarò pedante, ma ti consiglio un approccio più tradizionale alla RR , agli inizi.
Scusate se mi intrometto (e visto il momento in cui ho scritto questo messaggio, pure il suo contenuto), premetto che \(\text{mie competenze in Fisica (purtroppo)} = \emptyset\).
Hai mai incontrato la geometria affine (in mate)?
"simonebarreca":
mi è ora chiara la distinzione tra sistema di riferimento e sistema di coordinate che pure io avevo sempre intrecciato.
"simonebarreca":
cosa è un sistema di coordinate precisamente?
Hai mai incontrato la geometria affine (in mate)?
Shackle scusami se insisto, prendi pure la domanda come sciocca, ma potresti darmi una definizione generale di sistema di coordinate?
Marco2132k non ho fatto un corso su questo argomento sto cercando di capirlo da autodidatta e purtroppo con scarsi risultati, hai letto il mio posto iniziale in cui cercavo appunto di usare la geometria affine?
Marco2132k non ho fatto un corso su questo argomento sto cercando di capirlo da autodidatta e purtroppo con scarsi risultati, hai letto il mio posto iniziale in cui cercavo appunto di usare la geometria affine?
Simone ,
detto in tutta franchezza , comincio a nutrire dei dubbi sulla genuinità dei tuoi dubbi...
Prendi un qualunque libro di geometria analitica , e lo saprai !
Ma siccome sono curioso di vedere dove vuoi arrivare
, sto al tuo gioco (solo per un po' ...) e ti rinvio alle voci di wikipedia :
https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate
https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_riferimento
Come vedi, è un modo del tutto arbitrario di assegnare delle "etichette" ai punti di uno spazio, nato dalla necessità di "misurare" . Ma se una certa comunità è fatta da persone tutte d'accordo sulle convenzioni di base da adottare, non ci saranno disaccordi sulle misure .
detto in tutta franchezza , comincio a nutrire dei dubbi sulla genuinità dei tuoi dubbi...
Prendi un qualunque libro di geometria analitica , e lo saprai !
Ma siccome sono curioso di vedere dove vuoi arrivare
, sto al tuo gioco (solo per un po' ...) e ti rinvio alle voci di wikipedia : https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate
https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_riferimento
Come vedi, è un modo del tutto arbitrario di assegnare delle "etichette" ai punti di uno spazio, nato dalla necessità di "misurare" . Ma se una certa comunità è fatta da persone tutte d'accordo sulle convenzioni di base da adottare, non ci saranno disaccordi sulle misure .
"simonebarreca":
hai letto il mio posto iniziale in cui cercavo appunto di usare la geometria affine?
Sì, per questo ti ho chiesto se prima di utilizzare questi strumenti in fisica, tu li avessi incontrati in un corso di Geometria/Algebra Lineare.
Confondi un sistema di riferimento (inerziale, che per quanto ne so, è un concetto "fisico") con un sistema di coordinate (affine): imho approfondire leggermente questi argomenti dal punto di vista matematico (al livello di quanto sta sul Sernesi[nota]Ho sfogliato questo nonostante non fosse il mio testo principale e la sua esposizione mi è sembrata più o meno chiara: ovvio è che vi saranno molti altri testi decenti.[/nota] "Geometria 1", quindi molto base) potrebbe giovarti.
"Shackle":
Prendi un qualunque libro di geometria analitica
Mi hai preceduto
(Io di libri di geometria analitica ne ho trovati di ottimi ad esempio)
Mi scuso se le mie domande sembrano poco genuine ma lo sono, forse c'è qualcosa più a fondo che non capisco.
Provo a porre due domande che forse mettono in luce da dove salta fuori la questione della definizione di sistema di coordinate:
Cambiare sistema di coordinate a volte dicono voglia dire fare un cambio dei vettori della base, in questo caso le coordinate sono trasformate da un'applicazione lineare.
Se però con cambio di coordinate intendo passare da cartesiane a polari allora la trasformazione non è più lineare e quindi non posso interpretare la questione con un cambio di base.
Inoltre se un cambio di coordinate consiste nel cambiare la base allora una rotazione degli assi è un cambio del sistema di coordinate ma quindi tornando al problema iniziale sulla fisica:
l'invariante relativistica deve essere invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz ed anche rispetto alle rotazione spaziali proprie. Ora le trasformazioni di Lorentz mi dice come cambiano le coordinate se cambio sistema di riferimento passando da un inerziale ad un altro anch'esso inerziale. La rotazione spaziale propria consiste invece in un cambio di sistema di coordinate invece.
aggiungo anche che wikipedia a mio parere non distingue tra riferimento e sistema di coordinate parlando ad esempio di sistema di riferimento polare
Provo a porre due domande che forse mettono in luce da dove salta fuori la questione della definizione di sistema di coordinate:
Cambiare sistema di coordinate a volte dicono voglia dire fare un cambio dei vettori della base, in questo caso le coordinate sono trasformate da un'applicazione lineare.
Se però con cambio di coordinate intendo passare da cartesiane a polari allora la trasformazione non è più lineare e quindi non posso interpretare la questione con un cambio di base.
Inoltre se un cambio di coordinate consiste nel cambiare la base allora una rotazione degli assi è un cambio del sistema di coordinate ma quindi tornando al problema iniziale sulla fisica:
l'invariante relativistica deve essere invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz ed anche rispetto alle rotazione spaziali proprie. Ora le trasformazioni di Lorentz mi dice come cambiano le coordinate se cambio sistema di riferimento passando da un inerziale ad un altro anch'esso inerziale. La rotazione spaziale propria consiste invece in un cambio di sistema di coordinate invece.
aggiungo anche che wikipedia a mio parere non distingue tra riferimento e sistema di coordinate parlando ad esempio di sistema di riferimento polare
marco2132k sono d'accordo che dovrei approfondire meglio la geometria affine, in ogni caso intanto mi ero affidato a questo pdf https://www.mat.uniroma2.it/~tovena/sa13.pdf
Se vai a pagina 13 come vedi parla di riferimenti cartesiani affini, per questo forse sono confuso
Se vai a pagina 13 come vedi parla di riferimenti cartesiani affini, per questo forse sono confuso
Le trasformazioni di Lorentz sono trasformazioni lineari tra riferimenti inerziali in moto relativo. Possono includere anche rotazioni delle sole coordinate spaziali , come meglio precisato qui . (vedere generalità) . Le TL solitamente più studiate sono quelle lungo una sola direzione spaziale, assunta come asse $x$ , che prendono il nome di "boost" . Esistono poi anche altre trasformazioni, che non sono nè rotazioni nè boost , ma piuttosto "riflessioni" rispetto a piani pesanti per l'origine . Di questo io no so dire.
Copio e incollo da una dispensa :
Per capire la RR ci si riferisce normalmente ai boost in direzione $x$ . LA successione di due boost in due direzioni perpendicolari non dà luogo soltanto ad un boost, ma anche ad una rotazione , detta precessione di Thomas.
Per trasformazioni di coordinate più generali , conviene fare uso del calcolo tensoriale .
In questo thread passato, trovi vari "consigli per gli acquisti" di corsi e testi di RR.
Copio e incollo da una dispensa :
Per capire la RR ci si riferisce normalmente ai boost in direzione $x$ . LA successione di due boost in due direzioni perpendicolari non dà luogo soltanto ad un boost, ma anche ad una rotazione , detta precessione di Thomas.
Per trasformazioni di coordinate più generali , conviene fare uso del calcolo tensoriale .
In questo thread passato, trovi vari "consigli per gli acquisti" di corsi e testi di RR.
Ho provato a cercare di capire la questione, spero di aver quantomeno capito come esprimere il mio dubbio e che non vi urti l'insistenza sull'argomento.
M4 è uno spazio affine reale di dimensione 4. Essendo uno spazio affine devono esserci un insieme non vuoto A, uno R-spazio vettoriale a 4 dimensioni V, e infine una funzione f: AxA-->V che soddisfa opportune proprietà.
Gli elementi di A sono gli eventi.
Il dubbio:
Devo pensare di essere in un sistema di riferimento in cui ho fissato un sistema di coordinate per cui ogni elemento di A è identificato da 4 numeri?
Oppure devo pensare ad A in maniera del tutto astratta e dare le coordinate agli eventi solo dopo aver fissato una base in V?
Chiedo questo perché per me un sistema di coordinate consiste semplicemente in un modo di prendere le coordinate dei punti mentre in geometria affine viene definito un sistema di coordinate affini in maniera rigorosa solo dopo aver fissato una base in V (che è lo spazio vettoriale dei vettori liberi di A).
Forse sistema di coordinate e sistema di coordinate affine sono due concetti diversi?
Scusate ancora l'insistenza sull'argomento
Grazie
M4 è uno spazio affine reale di dimensione 4. Essendo uno spazio affine devono esserci un insieme non vuoto A, uno R-spazio vettoriale a 4 dimensioni V, e infine una funzione f: AxA-->V che soddisfa opportune proprietà.
Gli elementi di A sono gli eventi.
Il dubbio:
Devo pensare di essere in un sistema di riferimento in cui ho fissato un sistema di coordinate per cui ogni elemento di A è identificato da 4 numeri?
Oppure devo pensare ad A in maniera del tutto astratta e dare le coordinate agli eventi solo dopo aver fissato una base in V?
Chiedo questo perché per me un sistema di coordinate consiste semplicemente in un modo di prendere le coordinate dei punti mentre in geometria affine viene definito un sistema di coordinate affini in maniera rigorosa solo dopo aver fissato una base in V (che è lo spazio vettoriale dei vettori liberi di A).
Forse sistema di coordinate e sistema di coordinate affine sono due concetti diversi?
Scusate ancora l'insistenza sull'argomento
Grazie
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