Spazio tempo

[Søren13]

Testo:
Rispetto ad un sistema di riferimento $F$ due eventi hanno coordinate spaziotemporali pari a $(0,0,0,0)$ ed $(1,1,1,1)$. Qual è la velocità in unità di $c$ di un sistema di riferimento nel quale i due eventi sono simultanei?


Io avevo pensato di usare le trasformazioni di Lorentz. Cioè prendere $t'_1= \gamma (t_1-vx_1 /c^2)$ e $t'_2= \gamma (t_2-vx_2 /c^2)$ e porre $t'_1=t'_2$, ma mi viene sbagliato.

[Shackle]

mi viene sbagliato.

Ti viene sbagliato, perchè le trasformazioni di L. che hai scritto sono relative a un boost , cioè il riferimento inerziale con apice si muove con velocità $v$ tenendo il suo asse spaziale $x'$ sovrapposto all'asse spaziale $x$ . In altri termini, cambia solo la coordinata spaziale $x$ , mentre le coordinate $y$ e $z$ rimangono costanti .
Qui invece hai un primo evento $E_1$ di coordinate $(0,0,0,0)$ , dove la prima coordinata è $ct=0$ , e le altre sono quelle cartesiane dell'origine di un sistema tridimensionale; e un secondo evento $E_2$ di coordinate $(1,1,1,1)$ , dove $ct=1$ , ma variano tutte e tre le coordinate spaziali evidentemente.

Io però non ci ho pensato ancora bene , ma credo che questo esercizio nasconda un tranello...Vorrei sentire il parere di @anonymous_0b37e9 e di Nikikinki, perché non ci vedo ancora chiaro.

Dovrebbe essere cosí : la retta di contemporaneità del riferimento mobile cercato deve essere la retta spaziale $x=y=z$ , che passa dall'origine al tempo $ct=0$ , e in $(1,1,1)$ al tempo $ct =1 $ . La velocità dovrebbe essere $c/(sqrt3) = 0.57735 c $ .

[Sk_Anonymous]

Direi che è corretto. In alternativa si può pensare di eseguire una rotazione del sistema di riferimento in modo che l'evento abbia solo componente lungo x e poi applicare il boost lungo tale asse.

Quindi l'evento nell'origine resta tale, mentre il secondo diventa $(1,\sqrt(3),0,0)$ . Quindi uguagliando i tempi degli eventi trasformati

$0=\gamma-\gamma \beta \sqrt(3)$ quindi $\gamma=\gamma \beta \sqrt(3)$ quindi $\beta=1/sqrt(3)$

[Shackle]

Grazie Nikikinki . Non ho pensato alla rotazione del sistema di coordinate, per cui si poteva semplicemente fare un boost nella direzione $x=y=z$ , dopo trasformazione delle coordinate cartesiane spaziali del secondo evento.

[anonymous_0b37e9]

Non sono molto convinto. Se, per esempio, del gruppo di Lorentz si considera un boost, è necessario risolvere il seguente sistema:

$[[0],[x_1],[x_2],[x_3]]=[[\gamma,-\gamma\beta_1,-\gamma\beta_2,-\gamma\beta_3],[-\gamma\beta_1,1+((\gamma-1)\beta_1^2)/\beta^2,((\gamma-1)\beta_1\beta_2)/\beta^2,((\gamma-1)\beta_1\beta_3)/\beta^2],[-\gamma\beta_2,((\gamma-1)\beta_1\beta_2)/\beta^2,1+((\gamma-1)\beta_2^2)/\beta^2,((\gamma-1)\beta_2\beta_3)/\beta^2],[-\gamma\beta_3,((\gamma-1)\beta_1\beta_3)/\beta^2,((\gamma-1)\beta_2\beta_3)/\beta^2,1+((\gamma-1)\beta_3^2)/\beta^2]][[1],[1],[1],[1]]$

Equazione 1

$[0=\gamma-\gamma\beta_1-\gamma\beta_2-\gamma\beta_3] rarr [\beta_1+\beta_2+\beta_3=1]$

Equazione 2

$[x_1=-\gamma\beta_1+1+((\gamma-1)\beta_1^2)/\beta^2+((\gamma-1)\beta_1\beta_2)/\beta^2+((\gamma-1)\beta_1\beta_3)/\beta^2] rarr [x_1=1-\gamma\beta_1+((\gamma-1)\beta_1)/\beta^2]$

Equazione 3

$[x_2=-\gamma\beta_2+((\gamma-1)\beta_1\beta_2)/\beta^2+1+((\gamma-1)\beta_2^2)/\beta^2+((\gamma-1)\beta_2\beta_3)/\beta^2] rarr [x_2=1-\gamma\beta_2+((\gamma-1)\beta_2)/\beta^2]$

Equazione 4

$[x_3=-\gamma\beta_3+((\gamma-1)\beta_1\beta_3)/\beta^2+((\gamma-1)\beta_2\beta_3)/\beta^2+1+((\gamma-1)\beta_3^2)/\beta^2] rarr [x_3=1-\gamma\beta_3+((\gamma-1)\beta_3)/\beta^2]$

Insomma, a me sembra che il problema sia indeterminato, dovendo essere soddisfatta la sola condizione:

$\beta_1+\beta_2+\beta_3=1$

"Søren":
... ma mi viene sbagliato ...

Se l'autore dell'esercizio ha indicato una sola soluzione, deve aver considerato una qualche ipotesi in più.

[Shackle]

Eh si, anch'io ho pensato all'inizio alla matrice completa delle TL , ma mi è parso improbabile che un esercizio richiedente il suo uso venisse affibbiato a uno studente che sta imparando i primi rudimenti di relatività (almeno, cosí mi sembra ; del resto, ben difficilmente qui vengono postati esercizi complessi ) . Perciò , ho buttato giù quella idea , che non sapevo neanche giustificare analiticamente del tutto; la risposta di Nikikinki , con la rotazione del sistema di coordinate seguita da un boost nella direzione della retta data , in origine, come $x=y=z$ , e che dopo diventa un asse di boost "tradizionale" , mi è parsa abbastanza plausibile.
Io avevo cominciato col fare dei ragionamenti sull'invarianza del 4-intervallo : $(cDeltat)^2 - (Deltal)^2 $ , dove :

$(Deltal)^2 =(Deltax)^2 +(Deltay)^2 +(Deltaz)^2 $

ma non sono approdato ad alcun risultato utile

[anonymous_0b37e9]

Non resta che sapere almeno la soluzione.

[Sk_Anonymous]

Per questo è utile un cambio di base, per ridurre la complessità della matrice di trasformazione, un po'come quando si scelgono opportunamente gli assi nel calcolo della matrice di inerzia. Parecchi termini di semplificano e torna il boost standard. Comunque attendiamo la soluzione ovviamente per la conferma...sempre che arrivi