Spazio pseudoeuclideo
Cosa si intende per spazio "pseudoeuclideo"?
Non spazio euclideo o non euclideo, realativamente alla relatività generale.
Ce la siamo ritrovata nel compito come domanda ma non ne abbiamo mai sentito parlare...
Non spazio euclideo o non euclideo, realativamente alla relatività generale.
Ce la siamo ritrovata nel compito come domanda ma non ne abbiamo mai sentito parlare...
Risposte
la metrica pseudoeuclidea si caratterizza dall'avere gli elementi della matrice g tale che $ds^2 = g_(ij) dx^i dx^j$ non nulli e unitari solo sulla diagonale, ma con segno su $g_(ii)$ non necessariamente positivo. ad esempio nello spazio 4d di Minkovski a seconda delle convenzioni $g_(00)$ (con 0 indico la cooridnata temporale) è negativo o positivo, ma comunque con segno opposto a tutti gli altri. questo fa si che la distanza tra due punti possa essere anche negativa.
"wedge":
la metrica pseudoeuclidea si caratterizza dall'avere gli elementi della matrice g tale che $ds^2 = g_(ij) dx^i dx^j$ non nulli e unitari solo sulla diagonale, ma con segno su $g_(ii)$ non necessariamente positivo. ad esempio nello spazio 4d di Minkovski a seconda delle convenzioni $g_(00)$ (con 0 indico la cooridnata temporale) è negativo o positivo, ma comunque con segno opposto a tutti gli altri. questo fa si che la distanza tra due punti possa essere anche negativa.
ad un livello più basso cosa significa?
in uno spazio euclideo misuri la distanza dall'origine come radice di x^2+y^2+z^2+t^2+....
in uno spazio pseudoeuclideo devi sostituire a quei + almeno un -
tipicamente viene t^2-x^2-y^2-z^2
in uno spazio pseudoeuclideo devi sostituire a quei + almeno un -
tipicamente viene t^2-x^2-y^2-z^2
"wedge":
in uno spazio euclideo misuri la distanza dall'origine come radice di x^2+y^2+z^2+t^2+....
in uno spazio pseudoeuclideo devi sostituire a quei + almeno un -
tipicamente viene t^2-x^2-y^2-z^2
mh ok.
però qualitativamente più quantitativamente che discorso di può fare?
qualcosa ad esempio: nello spazio euclideo la linea più breve tra due punti è un segmento, nel non euclideo è una retta e nello pseudoeuclideo?
Nel caso non-euclideo il cammino più breve tra due punti definisce una curva che in generale è diversa da un segmento. Nel caso pseudo-euclideo però hai sempre a che fare con uno spazio piatto, nel senso che se hai presente la nozione di curvatura si può facilmente vedere che lo spazio di Minkowski, così come lo spazio euclideo, ha curvatura nulla.
La cosa veramente importante è il fatto che la distanza non è definita positiva. Anche prendendo uno spazio pseudo-euclideo semplicissimo con una dimensione spaziale e una sola temporale non puoi considerarlo come un sottoinsieme del normale spazio euclideo a tre dimensioni. Questo perchè la caratteristica di essere uno spazio pseudo-euclidea definisce una struttura causale, cioè in termini semplici puoi distinguere un futuro ed un passato costruendo il cono di luce in ogni punto.
Questo dal punto di vista fisico è importante, poichè essendo $c$ un limite superiore per la velocità ogni particella sarà costretta a muoversi entro il relativo cono di luce, quindi non tutte le traiettorie possibili nello spazio hanno senso fisico. Un fatto matematico interessante può essere invece che non vale la disuguaglianza triangolare. Inoltre dalla struttura di questo spazio consegue naturalmente che le trasformazioni da un sistema di riferimento inerziale ad un altro sono date dalle trasformazioni di Lorentz.
La cosa veramente importante è il fatto che la distanza non è definita positiva. Anche prendendo uno spazio pseudo-euclideo semplicissimo con una dimensione spaziale e una sola temporale non puoi considerarlo come un sottoinsieme del normale spazio euclideo a tre dimensioni. Questo perchè la caratteristica di essere uno spazio pseudo-euclidea definisce una struttura causale, cioè in termini semplici puoi distinguere un futuro ed un passato costruendo il cono di luce in ogni punto.
Questo dal punto di vista fisico è importante, poichè essendo $c$ un limite superiore per la velocità ogni particella sarà costretta a muoversi entro il relativo cono di luce, quindi non tutte le traiettorie possibili nello spazio hanno senso fisico. Un fatto matematico interessante può essere invece che non vale la disuguaglianza triangolare. Inoltre dalla struttura di questo spazio consegue naturalmente che le trasformazioni da un sistema di riferimento inerziale ad un altro sono date dalle trasformazioni di Lorentz.
ok, grazie a tutti e due ^_-
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