Spazio delle fasi, traiettoria e punto critico.

[Maude1]

Nello spazio delle fasi (rappresentazione nel piano v-x) le traiettrie di moto non si possono intersecare.
Si prenda una traiettria che intersechi almeno una volta l'asse delle x. Il punto in cui v=0 si può pensare come la traiettoria nello spazio delle fasi di punto materiale fermo (in equilibri).
Da qui potrebbe nascere la contraddizione: sembrerebbero esserci due traietterie che si intersecano nel punto a ordinata nulla. Il mio prof dice ''non è così, per arrivare al punto di equilibrio occorrerebbe un tempo infinito'' e poi fa l'esempio di un pendolo, prima in equilibrio stabile poi in equilibrio instabile. Non mi è chiaro questo passaggio, soluzione della contraddizione apparente. Che mi dite?

[yoshiharu]

"Maude":
Da qui potrebbe nascere la contraddizione: sembrerebbero esserci due traietterie che si intersecano nel punto a ordinata nulla. Il mio prof dice ''non è così, per arrivare al punto di equilibrio occorrerebbe un tempo infinito'' e poi fa l'esempio di un pendolo, prima in equilibrio stabile poi in equilibrio instabile. Non mi è chiaro questo passaggio, soluzione della contraddizione apparente.

Il fatto e' che le traiettorie non si possono intersecare se non in un punto di sella. Come il massimo locale di un potenziale. Per raggiungerlo il sistema impiega un tempo infinito: se impiegasse un tempo finito, avresti che se dai al sistema (definito da una o piu' ODE) quel punto come condizione iniziale, la soluzione non e' unica.
Te ne puoi rendere conto anche linearizzando il sistema in un intorno del punto critico.

[Maude1]

Grazie per la risposta anche se non ho ancora gli strumenti per capirla
Cmq ho sbagliato, nella domanda non volevo considerare una curva che interseca almeno una volta l'asse delle ascisse ma una traiettoria cui il punto con v=0 è un estremo