sostituzione variabile integrale

[zio_mangrovia]

Dato :

[math]x_{-k}=\frac{1}{T_0} \int_{-T/2}^{T/2}x(t) e^(j 2 \pi f k_0 t )dt[/math]

se effettuo un cambio di variabile

[math]\alpha = - t[/math]

[math]x_{-k}=-\frac{1}{T_0} \int_{T/2}^{-T/2}x(-\alpha) e^(-j 2 \pi f k_0 t )d\alpha[/math]

1a domanda:
il valore -1 davanti a 1/T0 nasce quando sostituisco il dt ?

[math]\alpha = - t[/math]

[math]d\alpha = -d t[/math]

[math]dt = - \alpha[/math]

2a domanda:
si invertono gli estremi di integrazione ? Vanno cambiati di segno ? Oppure vanno sia invertiti che cambiati di segno ?
Immagino la 3a opzione cioè sia cambiati di segno che invertito l'ordine.
Questo perchè la variabile adesso è -x ?

=

[math]x_{-k}=\frac{1}{T_0} \int_{-T/2}^{T/2}x(\alpha) e^(-j 2 \pi f k_0 t )d\alpha[/math]

3a domanda:
In questo caso se considero di nuovo la variabile x e non -x devo invertire di nuovo gli estremi di integrazione e cambiare il segno ?
il valore -1 davanti a 1/T0 qua sparisce, questo non lo capisco

[ingres]

Domanda 1
SI

Domanda 2
Vanno solo cambiati di segno perchè la nuova variabile è α=-t. Quindi se in t i due estremi sono t1 e t2, quando si passa ad α=-t si avranno come estremi α1=-t1 e α2=-t2. In generale se avessi scelto α=g(t) sarebbero cambiati in g(t1) e g(t2).

Domanda 3
Rispetto al risultato in 2) sono stati invertiti gli estremi. Poichè, in generale, invertire gli estremi di un integrale introduce un segno negativo , nel caso in questione, questo compensa quello già presente dovuto alla 1).

Nota: per correttezza la t nell'esponente andrebbe anch'essa cambiata in α.