Sospensione interessante...
Ecco qua un problema che sicuramente non è così comune da incontrare... 
A me suscita ancora qualche insicurezza la soluzione, per questo chiedo a voi di discuterne con me, ma per il moento, preferisco non influenzarvi con i miei ragionamenti ed aspettare la vostra soluzione... 
A me suscita ancora qualche insicurezza la soluzione, per questo chiedo a voi di discuterne con me, ma per il moento, preferisco non influenzarvi con i miei ragionamenti ed aspettare la vostra soluzione...
Risposte
ciao, il problema è veramente interessante...
io lo vedo proprio come un problema di "isolamento passivo delle vibrazioni"
nn mi è tanto chiaro $K_t$ soprattutto nel caso $a$ ,cmq mi ci metto stanotte,ciao a + tardi
io lo vedo proprio come un problema di "isolamento passivo delle vibrazioni"
nn mi è tanto chiaro $K_t$ soprattutto nel caso $a$ ,cmq mi ci metto stanotte,ciao a + tardi
ah menomale... In ogni caso il modello matematico da utilizzare è il b, la a è un miscuglio che non ha alcun senso matematico... 
da DOVE lo hai preso st'esercizio? 
è uno dei tanti presenti nel testo "Fundamentals of mechanical vibrations by Kelly"...
si, è interessante questo esercizio. Però, il trascurare la massa di ruota e sospensioni lo rende poco rappresentativo della realtà, e del ruolo fondamentale svolto dall'ammortizzatore nel fronteggiare le irregolarità della strada. Ora ho sonno, magari domani sera scrivo qualcosa.
Non ci siamo capiti forse... io sono d'accordo con te kinder, ma è anche vero che il sistema perderebbe il vantaggio di essere ad un solo grado di libertà. è anche vero poi che la pulsazione naturale a più bassa frequenza, ossia quella tecnicamente più importante, può essere comunque ben colta anche con un modello del genere.
A dire la verità, però, il mio interessante si riferiva a ben altro... ossia , il tutto sarebbe stato facile se non ci fosse stata quella molla in serie al parallelo del'altra molla e dello smorzatore... Infatti, vabbè non voglio dire altro...
A dire la verità, però, il mio interessante si riferiva a ben altro... ossia , il tutto sarebbe stato facile se non ci fosse stata quella molla in serie al parallelo del'altra molla e dello smorzatore... Infatti, vabbè non voglio dire altro...
xkè ritieni tanto interessante la rigidezza $K_t$ in serie con la $K_s$ ???
nn possiamo considerare una rigidezza equivalente $k_eq$ tale che:
$K_eq=(K_s * K_t)/(K_s + K_t)$
da affiancare poi allo smorzatore per poi scrivere la nostra bella equazione?
nn possiamo considerare una rigidezza equivalente $k_eq$ tale che:
$K_eq=(K_s * K_t)/(K_s + K_t)$
da affiancare poi allo smorzatore per poi scrivere la nostra bella equazione?
Direi proprio di no... purtroppo aggiungo...
Nessuna nuova ancora... 
Ok se non ci sarà ancora nessuna novità, dopo posto almeno l'equazione del moto di questo sistema... 
l'equazione del moto, rispetto alla posizione di equilibrio, è secondo me la seguente, posto che:
x spostamento della massa m, positivo verso il basso
y spostamento del punto di attacco di $k_t$ al parallelo formato da $k_s$ e $c$, positivo verso il basso
z spostamento del punto di attacco di $k_t$ colla ruota, positivo verso il basso
$m(d^2x)/(dt^2)=k_t(z-y)$
$k_t(z-y)=k_s(y-x)+c((dy)/(dt)-(dx)/(dt))$
giusto?
x spostamento della massa m, positivo verso il basso
y spostamento del punto di attacco di $k_t$ al parallelo formato da $k_s$ e $c$, positivo verso il basso
z spostamento del punto di attacco di $k_t$ colla ruota, positivo verso il basso
$m(d^2x)/(dt^2)=k_t(z-y)$
$k_t(z-y)=k_s(y-x)+c((dy)/(dt)-(dx)/(dt))$
giusto?
Prendiamo allora per il momento come coordianta lagrangiana lo spostamento verticale verso il basso della massa m $x$, ed aggiungiamo una coordinata ausiliaria (stessa direzione e verso) $y$, che rappresenta lo spostamento del punto di giunzione della molla in serie al paralleo della molla e dello smorzatore.
Possiamo adesso scrivere le equazioni costitutive:
${(F_k=-k(x-y)),(F_c=-c(dotx-doty)),(F_(k_t)=-k_ty):}$
Poi possiamo scrivere le equazioni della dinamica:
${(mddotx=F_k+F_c),(-F_k-F_c+F_(k_t)=0):}=>mddotx=F_(k_t)=-k_ty=>y=-m/k_tddotx$
Da cui, guardando la seconda equazione si ottiene:
$kx+c\dotx=ky+c\doty+k_ty=-k/k_tmddotx-c/k_tmx^((3))-mddotx$
Quindi:
$c/k_tmx^((3))+m(1+k/k_t)ddotx+c\dotx+kx=0$
Ecco qui spiegata la stranezza, o meglio, la particolarità di questo problema. Se fosse stato a due gdl, avremmo avuto 2 equazioni del secondo ordine, invece se volgiamo farlo diventare ad un gdl, conservando l'architettura, si ha sì una sola equazione, ma si deve pagare il prezzo di averla del terzo ordine...
Possiamo adesso scrivere le equazioni costitutive:
${(F_k=-k(x-y)),(F_c=-c(dotx-doty)),(F_(k_t)=-k_ty):}$
Poi possiamo scrivere le equazioni della dinamica:
${(mddotx=F_k+F_c),(-F_k-F_c+F_(k_t)=0):}=>mddotx=F_(k_t)=-k_ty=>y=-m/k_tddotx$
Da cui, guardando la seconda equazione si ottiene:
$kx+c\dotx=ky+c\doty+k_ty=-k/k_tmddotx-c/k_tmx^((3))-mddotx$
Quindi:
$c/k_tmx^((3))+m(1+k/k_t)ddotx+c\dotx+kx=0$
Ecco qui spiegata la stranezza, o meglio, la particolarità di questo problema. Se fosse stato a due gdl, avremmo avuto 2 equazioni del secondo ordine, invece se volgiamo farlo diventare ad un gdl, conservando l'architettura, si ha sì una sola equazione, ma si deve pagare il prezzo di averla del terzo ordine...
kinder non avevo visto il tuo intervento, ma in ogni caso ho comunque risposto...
Per il fatto di prendere anche la coordinata z, direi che in questo caso non ce n'è bisogno, dato che la presenza della buca improvvisa non ha altro effetto che spostare la posizione di equilibrio dell'altezza della buca stessa verso il basso; quindi si può immaginare che si tiri verso l'alto di un'altezza $h$ la massa m.
Per il fatto di prendere anche la coordinata z, direi che in questo caso non ce n'è bisogno, dato che la presenza della buca improvvisa non ha altro effetto che spostare la posizione di equilibrio dell'altezza della buca stessa verso il basso; quindi si può immaginare che si tiri verso l'alto di un'altezza $h$ la massa m.
si, viene quasi come dici, e lo vedi anche dalle mie equazioni (basta isolare y dalla prima, derivarla rispetto al tempo e poi sostituire y e sua derivata nella seconda equazione, per avere un'equazione di terzo grado in x). Però ti faccio notare che la tua è solo l'equazione omogeneea associata, e manca della funzione eccitatrice, che io ho chiamato z, che tiene conto del terreno.
Se tu guardi la tua equazione attentamente noti che non contiene altre informazioni oltre le costanti fisiche del sistema e la variabile x. Ciò vuol dire che la dinamica della massa m non è influenzata in nessun modo dal profilo del terreno, e converrai che ciò non è fisicamente possibile.
Se tu guardi la tua equazione attentamente noti che non contiene altre informazioni oltre le costanti fisiche del sistema e la variabile x. Ciò vuol dire che la dinamica della massa m non è influenzata in nessun modo dal profilo del terreno, e converrai che ciò non è fisicamente possibile.
"cavallipurosangue":
...
Se fosse stato a due gdl, avremmo avuto 2 equazioni del secondo ordine, invece se volgiamo farlo diventare ad un gdl, conservando l'architettura, si ha sì una sola equazione, ma si deve pagare il prezzo di averla del terzo ordine...
Questo passaggio mi rimane un po' oscuro, in particolar modo quando ti riferisci al "se fosse stato a due gdl...". Questo sistema, per quanto ho capito, viene modellato come sistema unidimensionale (spostamento solo lungo una direzione). Ciò non cambierebbe se il sistema fosse costituito da due masse, come meglio si farebbe, rappresentando anche la massa della ruota e delle sospensioni, per esempio posta tra $k_t$ e $k_s$. Quale grado avrebbe l'equazione in x in questo caso?
Ho avuto un problema al pc...
Comunque come ti ho detto la funzione eccitatrice è in questo caso è sostituibile con l'accorgimento che ti ho detto... ne sono sicuro per vari motivi..
1) intuizione
2) verifica a posteriori che i risultati sono gli stessi
3) lo fa sempre anche sul libro
Quindi si l'equazione è quella lì che ho scritto, poi come condizione iniziale imponi che $x(0)=-h$ ed ecco fatto il giochino...
Si intenda è sempre e comunque un trucco...
Per il discorso del sistema a due gdl ti dico subito che se ci si fosse messa uma massa $m_r$ nel nodo di giunzione, allora avremmo avuto un sistema di due equazioni differenziali del secondo ordine, da risolvere come è generalemnte noto (per esempio con l'analisi modale...).
Comunque come ti ho detto la funzione eccitatrice è in questo caso è sostituibile con l'accorgimento che ti ho detto... ne sono sicuro per vari motivi..
1) intuizione
2) verifica a posteriori che i risultati sono gli stessi
3) lo fa sempre anche sul libro
Quindi si l'equazione è quella lì che ho scritto, poi come condizione iniziale imponi che $x(0)=-h$ ed ecco fatto il giochino...
Si intenda è sempre e comunque un trucco...
Per il discorso del sistema a due gdl ti dico subito che se ci si fosse messa uma massa $m_r$ nel nodo di giunzione, allora avremmo avuto un sistema di due equazioni differenziali del secondo ordine, da risolvere come è generalemnte noto (per esempio con l'analisi modale...).
si, è davvero un trucco, perché intervieni artificiosmente sullecondizioni iniziali. Comuque, può andar bene lo stesso, a parte il fatto che in realtà se utilizzi una ruota non hai un gradino, perché la ruota è, pù o meno, circolare, quindi la funzione z(t) ha un andamento più simile ad un arco di circonferenza che ad un gradino, a velocità costante.
E' anche vero che in genere con sistemi a più masse si usa l'analisi modale, comunque, se fai le sotituzioni che suggerivo trovi un'equazione di 4° grado.
Però, mi interessa di più la questione della massa di ruota e sospensioni, perché interessante per l'ingegneria del sistema.
Qual'è la differenza, per esempio, della risposta dinamica del sistema, con o semza la massa di ruota e sospensioni?
Nei sistemi reali questo e davvero importante per la tenuta di strada di un veicolo, e spiega anche perché si tenderebbe a privileggiare le ruote in lega leggera (anche se ormai accade spesso che sono più pesanti di una ruota in acciaio). Tra l'altro, condiziona parecchio il progetto dell'ammortizzatore. Immagina di essere in curva, e di essere interessato quindi all'andamento dell'intensità della reazione vincolare del suolo, che ti garantisce l'attrito. Quest'analisi aiuta a capire l'importanza degli ammortizzatori, in curva ed in frenata. Tutto ciò non è rilevabile se non si tiene conto delle masse sospese (inclusa la ruota).
E' anche vero che in genere con sistemi a più masse si usa l'analisi modale, comunque, se fai le sotituzioni che suggerivo trovi un'equazione di 4° grado.
Però, mi interessa di più la questione della massa di ruota e sospensioni, perché interessante per l'ingegneria del sistema.
Qual'è la differenza, per esempio, della risposta dinamica del sistema, con o semza la massa di ruota e sospensioni?
Nei sistemi reali questo e davvero importante per la tenuta di strada di un veicolo, e spiega anche perché si tenderebbe a privileggiare le ruote in lega leggera (anche se ormai accade spesso che sono più pesanti di una ruota in acciaio). Tra l'altro, condiziona parecchio il progetto dell'ammortizzatore. Immagina di essere in curva, e di essere interessato quindi all'andamento dell'intensità della reazione vincolare del suolo, che ti garantisce l'attrito. Quest'analisi aiuta a capire l'importanza degli ammortizzatori, in curva ed in frenata. Tutto ciò non è rilevabile se non si tiene conto delle masse sospese (inclusa la ruota).
Di quello che dici tu ce ne occuperemo semmai dopo... intanto risolviamo questo di problema, grazie. $x(t)=?$
P.S.: le ruote fanno capo a quelle che si chiamano masse NON sospese
P.S.: le ruote fanno capo a quelle che si chiamano masse NON sospese
Non piace proprio a nessuno questo problema...?
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