Somma vettoriale - Metodo analitico

[Bad90]

Esercizio 1

Due spostamenti sono dati da $ vec(d)= (3m)hat(i) + (4m)hat(j) + (5m)hat(k) $ ed $ vec(e)= (2m)hat(i) + (-6m)hat(j) + (-1m)hat(k) $ . Determinare:
a) La risultante $ vec(f)=vec(e)+vec(d) $
b) Un vettore $ vec(g) $ tale che $ vec(d)-vec(e)+vec(g)=0 $

Risoluzione

Scrivo solo i risultati, ma se avete di bisogno scrivo anche i passaggi! Chiedo a voi se il mio risultato ottenuto e' giusto?!??

a) $ vec(f)= (5m)hat(i) -(2m)hat(j)+(4m)hat(k) $

b) $ vec(g)= (-1m)hat(i)+(-10m)hat(j)+(-6m)hat(k) $


Dite che ho fatto bene?!???

Grazie anticipatamente!

[peppe.carbone.90]

Sicuro che il testo dell'Esercizio 4 che hai riportati sia completo? Non ci sono altri dati oltre quello che hai scritto?

Poi una cosa:

Il problema e' che le componenti del primo vettore $\vec a$ si riescono a ricavare facilmente perche' partendo dalle origini del sistema, si ha un angolo di $45"°"$ precisamente, precisamente $-45"°"$ rispetto all'asse x

Ma dove è scritta questa cosa dei $45"°"$? Forse mi sono perso qualcosa?

[Bad90]

"JoJo_90":
Ma dove è scritta questa cosa dei $45"°"$? Forse mi sono perso qualcosa?

No, forse sto riuscendo a risolverlo, il testo dell'esercizio è:

Esercizio 4

Un furgoncino compie successivamente gli spostamenti di $ 1.37 km $ verso sudest, $ 0.85 km $ verso nord e $ 2.12 km $ in una direzione che forma con il nord un angolo di $ +17^o $ . Si determinino il modulo e la direzione dello spostamento risultante.

Risoluzione

Ricavo le componenti di $ vec(a) $

$ a_x = 1.37 km * cos(-45) = 0.96 km$
$ a_y = 1.37 km * sen(-45) = -0.96 km$

Ricavo le componenti di $ vec(b) $

$ b_x = 0.85 km * cos(0) = 0 km$
$ b_y = 0.85 km * sen(0) = 0.85 km$

Ricavo le componenti di $ vec(c) $

$ c_x = 2.12 km * cos(107) = -0.61 km$
$ c_y = 2.12 km * sen(107) = 2.02 km$

Ricavo le componenti del vettore risultante, lo chiamo $ vec(R) $

$ R_x = 0.96km+0km-0.34km= 0.34km $

$ R_y = -0.96km+0.85km+2.02km= 1.91km $

Il testo mi dice che la soluzione è $ 1.9 km $ a $ 80^o $ a nord del punto cardinale est.

Adesso devo vedere come ricavare quegli $ 80^o $ gradi

[Sk_Anonymous]

Perfetto Bad! Mi hai risparmiato una serata di lavoro!

[Bad90]

"navigatore":Perfetto Bad! Mi hai risparmiato una serata di lavoro!

Ok, adesso sto facendo il possibile per ricavare quei gradi!
Mi fa piacere il fatto che sto riuscendo a risolverlo!

Sarà la stanchezza, ma come faccio a ricavare quei gradi

Grazie mille!

Il modulo è:

$ vec(|R|)= sqrt((1.91km)^2+(0.34km)^2) $

$ vec(|R|)= 1.9 km $

Per la direzione in gradi, utilizzo la tangente ed ho:

$ tan alpha = (R_y)/(R_x) $

$ tan alpha = (1.91)/(0.34)=5.61 $

$ tan^(-1) (5.61) = 80^o $

[Sk_Anonymous]

Però quel valore di $+17º$ che dice il testo per il terzo vettore lascia qualche dubbio...Vuol dire da Nord verso Ovest, cioè in verso antiorario? Penso di si, ma il testo avrebbe fatto meglio a chiarirlo.

Per l'angolo che il risultante forma con l'asse $x$ , tieni presente che $ R_x = R*cos\alpha$ , da cui ti puoi ricavare il $cos\alpha$ se conosci la componente e il modulo di $R$.

[Bad90]

"navigatore":Però quel valore di $+17º$ che dice il testo per il terzo vettore lascia qualche dubbio...Vuol dire da Nord verso Ovest, cioè in verso antiorario? Penso di si, ma il testo avrebbe fatto meglio a chiarirlo.

Per l'angolo che il risultante forma con l'asse $x$ , tieni presente che $ R_x = R*cos\alpha$ , da cui ti puoi ricavare il $cos\alpha$ se conosci la componente e il modulo di $R$.

Fatto! E' lo stesso con la tangente, sono arrivato finalmente alla conclusione corretta!

[Bad90]

Esercizio 5

Un panfilo bordeggia contro vento su una rotta a zigzag. Nel primo tratto il panfilo compie uno spostamento di $ 12 km $ in una direzione che forma con il nord un angolo di $ -84^o $ . Dopo che il secondo tratto è stato completato, lo spostamento risultante del panfilo è di $ 15 km $ in una direzione che forma con il nord un angolo di $ -23^o $ . Determinare il modulo e la direzione del secondo tratto della rotta.

P.S. Dico a te navigatore, perchè sei un'esperto di navigazione, alla fine imparerò a navigare con questi esercizi

[Sk_Anonymous]

Esercizio 5 : stavolta hai il primo spostamento e il risultante. Devi determinare il secondo spostamento che, composto col primo, dà quel risultante.

Anche a Brindisi c'è il mare...

[Bad90]

"navigatore":Esercizio 5 : stavolta hai il primo spostamento e il risultante. Devi determinare il secondo spostamento che, composto col primo, dà quel risultante.

Anche a Brindisi c'è il mare...

Si, e se ti devo dire la verità, nella mia vita sono salito sul traghetto solo 2 volte, la prima volta avevo 4 anni, e l'ultima volta 2 mesi fa, ho fatto la traversata dello stretto di Messina! Bello! Con mia moglie abbiamo deciso di farci una crociera, penso che l'anno prossimo sarà il momento giusto, almeno la mia piccolina farà 2 anni e avrà il piacere di apprezzare ......

Adesso svolgo subito l'esercizio

[peppe.carbone.90]

"JoJo_90":Sicuro che il testo dell'Esercizio 4 che hai riportati sia completo? Non ci sono altri dati oltre quello che hai scritto?

Poi una cosa:

Il problema e' che le componenti del primo vettore $\vec a$ si riescono a ricavare facilmente perche' partendo dalle origini del sistema, si ha un angolo di $45"°"$ precisamente, precisamente $-45"°"$ rispetto all'asse x

Ma dove è scritta questa cosa dei $45"°"$? Forse mi sono perso qualcosa?

Beata e illimitata ignoranza. Mi rispondo da solo: il testo riporta la direzione sudest che io non sapevo fosse una direzione di $45"°"$ (bestione che non sono altro!!!).

Bad90, se ti sono rimasti spigoli in casa vengo da te a sbattermi la testa .

[Bad90]

"JoJo_90":

Bad90, se ti sono rimasti spigoli in casa vengo da te a sbattermi la testa .

Mi spiace, ma li ho consumati tutti io ! Sono a corto di spigoli e per fortuna che a fine anno traslochiamo, andiamo a casa nuova, magari li ti posso lasciare qualche spigolo

[Sk_Anonymous]

Sentite! Mentre uno sbatte la testa nel muro e l'altro si rotola al suolo dalle risate....io non sono capace di mettere neanche un piccolo emoticon nei miei post! Non so come si fa!

Me lo spiegate per favore?

[Bad90]

Ritorno sull' Esercizio 5

Un panfilo bordeggia contro vento su una rotta a zigzag. Nel primo tratto il panfilo compie uno spostamento di $ 12 km $ in una direzione che forma con il nord un angolo di $ -84^o $ . Dopo che il secondo tratto è stato completato, lo spostamento risultante del panfilo è di $ 15 km $ in una direzione che forma con il nord un angolo di $ -23^o $ . Determinare il modulo e la direzione del secondo tratto della rotta.

Ecco l'immagine del percorso:

Ricavo le componenti di $ vec(a) $

$ a_x = 12 km * cos(6^o) = 11.93 km$
$ a_y = 12 km * sen(6^o) = 1.25 km $

Ricavo le componenti di $ vec(c) $

$ c_x = 15 km * cos(67^o) = 5.86 km$
$ c_y = 15 km * sen(67^o) = 13.80 km$

Nomino il punto $P$

$ P(11.93 km,1.25 km) $

Nomino il punto $Q$

$ Q(5.86 km,13.80 km) $

Per ricavare il modulo, utilizzo la seguente, distanza tra due punti:

$ d=sqrt((x_2 - x_1)^2 +(y_2 - y_1)^2) $

$ vec(|b|)=sqrt((11.93km - 5.86km)^2 +(1.25km - 13.80km)^2) $

$ vec(|b|)= 13.94 km $

Come faccio a ricavo la direzione del vettore $ vec(b) $

Quì mi sa prorpio che devo ricorrere a Grasmann

Ho ritoccato qualcosina da un messaggio di pag. 2 di questo thread La soluzione va bene anche in questo esercizio!

Disegna i due vettori dati dalla traccia dai il nome ai punti $P$ e $Q$, con origine $O$, dunque i due vettori che conosciamo sono $ (P - O)$ e $( Q - O)$ . Per andare dall'estremo di $P$ all'estremo di $Q$, che è il vettore che stiamo ricavando, devi calcolare $(Q-O) - (P-O) = (Q-P) $= $( x_q - x_p)$,$(y_q - y_p)$

Si tratta di Grassman, che utilizzava scrivere un vettore $ vec(OP) $ con la seguente simbologia $ (P - O) $, e il vettore $ vec(OQ) $ si è utilizzato questo $( Q - O) $.

E' solo un modo alternativo per indicare i vettori, (metodo di Grassman).

Ovviamente bisogna determinare le componenti dello spostamento che va da $ P $ a $ Q $ , e quindi devo considerare il $ vec (PQ) $ in questo modo:

$ (Q - P) $

E siccome il vettore $ vec(OQ) $ che è chiamato da Grassman $( Q - O)$,
Idem per il vettore $ vec(OP) $ che è chiamato da Grassman $( P - O)$

Allora:

$ (Q - P)= ( Q - O) - ( P - O) $

Dunque:

$ (Q - P)= ( Q - O) - ( P - O) = Q - O - P + O = Q-P $

Su arriva a $(Q - P)$ .

Si tratta solo $ (Q - P) $ che hanno delle coordinate $ x,y $ , ed allora, ricaviamo le ascisse:

$( x_q - x_p)$

E le ordinate

$(y_q - y_p)$

Quindi le componenti dello spostamento dal punto $ P $ al punto $ Q $ , sono date da ascisse $( x_q - x_p)$ e
ordinate $(y_q - y_p)$, e sapendo che:

$ P(11.93 km,1.25 km) $

$ Q(5.86 km,13.80 km) $

Allora le componenti del vettore $ vec(b) $ che in questo caso l'ho chiamato $ vec(PQ) $ saranno:

$b_x=( x_q - x_p)=> 5.86 km - 11.93 km= -6.07km$
$b_y=( y_q - y_p)=> 13.80 km - 1.25 km= 12.55km$

Ricavo la direzione del $ vec(b) $

Utilizzo la formula della tangente:

$ tg alpha =(b_y)/(b_x) $

$ tg alpha =(12.55)/(-6.07)=-2.06 $

$ tg^(-1) (-2.06) = -64.18^o $

Posso anche aggiungere $ 360^o $ ed avrò la direzione in gradi, contati in senso antiorario:

$ 360^o - 64.18^o = 295.82^o $

Cosa ne dite

[Bad90]

"navigatore":Sentite! Mentre uno sbatte la testa nel muro e l'altro si rotola al suolo dalle risate....io non sono capace di mettere neanche un piccolo emoticon nei miei post! Non so come si fa!

Me lo spiegate per favore?

Ecco l'immagine con la frccia:

Clic su una emotion e si inserisce in automatico, altrimenti, ci sono le altre emotion su Visualizza tutte le emotion

[Bad90]

Esercizio 6

Otto vettori disposti in modo che la punta dell'uno coincida con la coda del successivo formano un ottagono regolare di lato pari a 25 mm. Utilizzando il sistema di coordinate indicato nella Figura (vedere sotto), determinare:
a) Le componenti di ciascuno dei vettori che formano l'ottagono.
b) Il modulo e la direzione dei vettori contrassegnati con $ vec(A) $ , $ vec(B) $ , $ vec(C) $ , nella figura.



Per ricavare la direzione dei vettori, uso la seguente:

Se il poligono è regolare allora un angolo interno misura

$alpha = 180 (n-2)/n$ [gradi]

Per un ottagono regolare ($n=8$) si ha

$alpha=180(8-2)/8=135$ [gradi]

Ho fatto varie prove ma non stavo riuscendo ad arrivare alla giusta conclusione, il perchè era nel fatto che stavo seguendo le traiettorie della figura geometrica, insomma facevo così:

$ a_x = 25mm * cos(0) = 25 $
$ a_y = 25mm * sen(0) = 0 $

e questo primo punto andava bene! Poi però continuavo a fare delle possibili considerazioni da quel punto in cui il vettore $ vec(a) $ finiva per poi far partire il vettore $ vec(b) $ ecc.
Quanto stavo facendo, non andava fatto, e comunque non mi spiego il perchè

Mi sono reso conto che invece va fatto così:

Ricavo le componenti di $ vec(a) $

$ a_x = 25mm * cos(0) = 25 $
$ a_y = 25mm * sen(0) = 0 $

Ricavo le componenti di $ vec(b) $

$ b_x = 25mm * cos(45) = 17.68mm $
$ b_y = 25mm * sen(45) = 17.68mm $

Ricavo le componenti di $ vec(c) $

$ c_x = 25mm * cos(90) = 0mm $
$ c_y = 25mm * sen(90) = 25mm $

Ricavo le componenti di $ vec(d) $

$ d_x = 25mm * cos(135) = -17.67mm $
$ d_y = 25mm * sen(135) = 17.67mm $

Ricavo le componenti di $ vec(e) $

$ e_x = 25mm * cos(180) = -25mm $
$ e_y = 25mm * sen(180) = 0mm $

Ricavo le componenti di $ vec(f) $

$ f_x = 25mm * cos(225) = -17.68mm $
$ f_y = 25mm * sen(225) = -17.68mm $

Ricavo le componenti di $ vec(g) $

$ g_x = 25mm * cos(270) = 0mm $
$ g_y = 25mm * sen(270) = -25mm $

Ricavo le componenti di $ vec(h) $

$ h_x = 25mm * cos(315) = 17.68mm $
$ h_y = 25mm * sen(315) = -17.68mm $



Perchè fare in questo secondo modo e non come avevo pensato in primis io
Sarà che ho interpretato male il testo quando dice che:

Utilizzando il sistema di coordinate indicato nella Figura Dunque significa che il centro del poligono è $ O(0,0) $


Ricavo il modulo del vettore che nomino $ vec(A) $

$ vec(A)=vec(a)+vec(b)+vec(c) $

$ A_x= 25mm+17.68mm+0= 42.68mm $
$ A_y= 0mm+17.68mm+25mm = 42.68mm $

$ vec(|A|)=sqrt((42.68mm)^2+(42.68mm)^2) $
$ vec(|A|)=sqrt(3643.16mm^2) $
$ vec(|A|)=60.35mm $

Ricavo il modulo del vettore che nomino $ vec(B) $

$ vec(B)=vec(b)+vec(c)+vec(d)+vec(e) $

$ B_x= 17.68mm+0mm-17.68mm-25mm= -25mm $
$ B_y= 17.68mm+25mm+17.68mm+0mm = 60.36mm $

$ vec(|B|)=sqrt((-25mm)^2+(60.36mm)^2) $
$ vec(|B|)=sqrt(4268.32mm^2) $
$ vec(|B|)=66mm $

Ricavo il modulo del vettore che nomino $ vec(C) $

$ vec(C)=vec(d)+vec(e) $

$ C_x= -17.68mm-25mm= -42.68mm $
$ C_y= 17.68mm+0mm = 17.68mm $

$ vec(|C|)=sqrt((-42.68mm)^2+(17.68mm)^2) $
$ vec(|C|)=sqrt(2134.16mm^2) $
$ vec(|C|)=47mm $

Ricavo la dirzione del vettore $ vec(A) $

$ tg alpha =(A_y)/(A_x) $

$ tg alpha =(42.68)/(42.68)=1 $

$ tg^(-1) (1) = 45^o $

Ricavo la dirzione del vettore $ vec(B) $


$ tg alpha =(B_y)/(B_x) $

$ tg alpha =(60.36)/(-25)=-2.41 $

$ tg^(-1) (-2.41) = -67.50^o $

Porto lo stesso valore in gradi positivi:

$ -67.50^o +360^o =292.49^o $

$ 292.49^o -180^o =112.49^o $


Ricavo la dirzione del vettore $ vec(C) $

$ tg alpha =(C_y)/(C_x) $

$ tg alpha =(17.68)/(-42.68)=-0.414 $

$ tg^(-1) (-0.414) = -22.50^o $

Porto lo stesso valore in gradi positivi:

$ -22.50^o +360^o =337.5^o $

$ 337.5^o -180^o =160^o $

[Bad90]

Esercizio 7

Un uccello vola per $ 120m $ in linea retta, svolta bruscamente e vola per $ 160m $ lungo una linea retta che forma un angolo di $ 77^o $ con la direzione iniziale.
a) Si determini il modulo dello spostamento risultante. (suggerimento si utilizzi il teorema del coseno)
b) Qual'è la distanza totale percorsa dall'uccello?

Ricavo il modulo del vettore risultante $ vec(C) $ .

$C=sqrt(A^2+B^2+2ABcos(theta))$

$C=sqrt((120m)^2+(160m)^2+2(120m*160m)cos(77^o))$

$C=sqrt(40000m^2+38400m^2*cos(77^o))$

$C=220.54m$


Ricavo la distanza totale percorsa dall'uccello.

$ D=vec(A)+vec(B) $

$ D=120m+160m=280m $

[Bad90]

Esercizio 8

Si utilizzi il teorema del coseno per determinare l'angolo compreso tra i vettori $ vec(A) $ e $ vec(B) $ se $ A=23mm $ , $ B=18mm $ , e $ C=7mm $ ( $ vec(C)=vec(A)+vec(B) $ )

Dal teorema del coseno, ricavo l'angolo interno del triangolo interessato.

$C=sqrt(A^2+B^2-2ABcos(theta))$

$7mm=sqrt((23mm)^2+(18mm)^2-2(23m*18m)cos(theta))$

$49mm^2=529mm^2+324mm^2 - 828mm^2*cos(theta)$

$828mm^2*cos(theta)= 804mm^2$

$cos(theta)= (804mm^2)/(828mm^2)$

$cos(theta)= 0.971$

$cos^(-1) (0.971) =13.828^o$

Perchè il testo mi dice che la soluzione deve essere $ 170^o $

Io ho fatto così come nell'immagine che segue:

A quanto mi sembra, il testo misura l'angolo all'esterno dei due angoli e scrive il risultato $ 170^o $, ma pechè Se effettivamente mi chiede l'angolo all'interno All'interno misura $13.828^o$, non sto capendo il testo perchè mi da questi risultati degli angoli, misurati a volte all'interno e delle volte all'esterno! Ma cosa vuole dimostrare il testo Che regola sto trascurando