Somma diretta o prodotto tensoriale?
Prendiamo un sistema quantistico con momento angolare \(\mathbf{J}\) intero , ovvero in cui un sistema fondamentale di stati è il seguente:
\[\{ | j, m_j \rangle \ |\ j =0, 1, 2 \ldots;\ \ m_j=-j, -j+1, \ldots j-1, j\}\]
(si intende che \(\mathbf{J}^2 | j, m_j \rangle=j(j+1)| j, m_j \rangle\) e \(J_z| j, m_j \rangle=m_j| j, m_j \rangle.\))
Matematicamente, quale è la struttura dello spazio di Hilbert \(\mathcal{H}\)? Non riesco a capire se ci sia una somma diretta di sottospazi corrispondenti ai vari valori di \(j\):
\[ \mathcal{H} = \mathcal{H}_{j=0} \oplus \mathcal{H}_{j=1} \oplus \mathcal{H}_{j=2} \oplus \ldots, \]
dove \(\mathcal{H}_{j=n}\) indica lo spazio di Hilbert generato da \(\{| j=n, m_j=-n \rangle, | j=n, m_j=-n+1\rangle \ldots | j=n, m_j=n\rangle \}\), oppure un prodotto tensoriale:
\[ \mathcal{H}=\mathcal{H}_{j=0} \otimes \mathcal{H}_{j=1} \otimes \mathcal{H}_{j=2} \otimes \ldots\]
\[\{ | j, m_j \rangle \ |\ j =0, 1, 2 \ldots;\ \ m_j=-j, -j+1, \ldots j-1, j\}\]
(si intende che \(\mathbf{J}^2 | j, m_j \rangle=j(j+1)| j, m_j \rangle\) e \(J_z| j, m_j \rangle=m_j| j, m_j \rangle.\))
Matematicamente, quale è la struttura dello spazio di Hilbert \(\mathcal{H}\)? Non riesco a capire se ci sia una somma diretta di sottospazi corrispondenti ai vari valori di \(j\):
\[ \mathcal{H} = \mathcal{H}_{j=0} \oplus \mathcal{H}_{j=1} \oplus \mathcal{H}_{j=2} \oplus \ldots, \]
dove \(\mathcal{H}_{j=n}\) indica lo spazio di Hilbert generato da \(\{| j=n, m_j=-n \rangle, | j=n, m_j=-n+1\rangle \ldots | j=n, m_j=n\rangle \}\), oppure un prodotto tensoriale:
\[ \mathcal{H}=\mathcal{H}_{j=0} \otimes \mathcal{H}_{j=1} \otimes \mathcal{H}_{j=2} \otimes \ldots\]
Risposte
E' una somma diretta. Te ne puoi convincere osservando che i vari $H_j$ sono gli autospazi relativi ad autovalori distinti di un operatore hermitiano, quindi ortogonali. Però non ho capito perchè hai costruito la torre di autospazi considerando solo i valori interi, stai facendo il momento orbitale? Questa precisazione per dire che il tutto rimane vero se lasci che $j$ assuma valori seminteri, del tipo $k/2$ con $k \in Z$. Da un punto di vista più grupposo quello che stai facendo è decomporre la rappresentazione $\infty$-dimensionale del gruppo delle rotazioni in somma diretta (nel senso di matrice a blocchi) di rappresentazioni di dimensione crescente. Ora non mi vengono in mente degli esempi da citare ma tieni presente che a volte i fisici tendono ad essere un po' lazy nel distinguere tra prodotto tensore e somma diretta nei testi di QM.
"dissonance":
Prendiamo un sistema quantistico con momento angolare \(\mathbf{J}\) intero , ovvero in cui un sistema fondamentale di stati è il seguente:
\[\{ | j, m_j \rangle \ |\ j =0, 1, 2 \ldots;\ \ m_j=-j, -j+1, \ldots j-1, j\}\]
Matematicamente, quale è la struttura dello spazio di Hilbert \(\mathcal{H}\)?
...
\[ \mathcal{H} = \mathcal{H}_{j=0} \oplus \mathcal{H}_{j=1} \oplus \mathcal{H}_{j=2} \oplus \ldots, \]
...
oppure
...
\[ \mathcal{H}=\mathcal{H}_{j=0} \otimes \mathcal{H}_{j=1} \otimes \mathcal{H}_{j=2} \otimes \ldots\]
Allora, la risposta giusta e' la prima.
Per capire che fisicamente la somma e' l'unica che ha senso, basta pensare in questi termini: la somma e' per un sistema che puo' trovarsi o in uno stato a momento angolare $j=n_0$ o in uno stato con mom. ang. $j=n_1$ o ... etc.
Il prodotto invece descrive un sistema composto da piu' parti delle quali una e' in uno stato con mom. ang. $j=n_0$, e un'altra e' in uno stato con mom. ang. $j=n_1$ e ... etc.
Un po' come le congiunzioni o disgiunzioni logiche, insomma.
Io trovo sempre comodo pensare alla MQ, quando possibile, in termini di "trattamento dell'informazione", per cosi' dire...
@alle.fabbri: Esatto, è proprio una questione di gruppi. Volevo trovare tutte le rappresentazioni irriducibili di \(SO(3)\). Invece, se ho capito bene, permettendo a \(j\) di assumere valori semi-interi avrei trovato le rappresentazioni di \(SU(2)\), che è sostanzialmente il "gruppo delle rotazioni di periodo \(4\pi\)". Giusto?
@yoshiharu: Grazie! Finalmente inizio a capirci qualcosa sulla questione "prodotto tensoriale".
@yoshiharu: Grazie! Finalmente inizio a capirci qualcosa sulla questione "prodotto tensoriale".
[OT]
Che fortuna che avete a poter inquadrare MQ tra teorie avanzate. Io ho studiato il Sakurai per conto mio (MQ mi è utile per il mio lavoro, ma la uso a livello medio-basso), e l'ho capito benino (credo), ma più passa il tempo più mi scordo i concetti, imparati a fatica. Credo che dal vostro punto di vista sia tutto un pò diverso. Scusate l'OT ma mi sentivo di dirvelo.
[/OT]
Che fortuna che avete a poter inquadrare MQ tra teorie avanzate. Io ho studiato il Sakurai per conto mio (MQ mi è utile per il mio lavoro, ma la uso a livello medio-basso), e l'ho capito benino (credo), ma più passa il tempo più mi scordo i concetti, imparati a fatica. Credo che dal vostro punto di vista sia tutto un pò diverso. Scusate l'OT ma mi sentivo di dirvelo.
[/OT]
"dissonance":
Volevo trovare tutte le rappresentazioni irriducibili di \(SO(3)\). Invece, se ho capito bene, permettendo a \(j\) di assumere valori semi-interi avrei trovato le rappresentazioni di \(SU(2)\), che è sostanzialmente il "gruppo delle rotazioni di periodo \(4\pi\)". Giusto?
La relazione tra $SO(3)$ e $SU(2)$ non mi è mai stata del tutto chiara. Non so risponderti. Poi soprattutto adesso che sto studiando topologia mi viene da pensare tutto in quei termini ma sono ancora agli inizi quindi è tutto un po' confuso...
"alle.fabbri":
[quote="dissonance"]Volevo trovare tutte le rappresentazioni irriducibili di \(SO(3)\). Invece, se ho capito bene, permettendo a \(j\) di assumere valori semi-interi avrei trovato le rappresentazioni di \(SU(2)\), che è sostanzialmente il "gruppo delle rotazioni di periodo \(4\pi\)". Giusto?
La relazione tra $SO(3)$ e $SU(2)$ non mi è mai stata del tutto chiara. Non so risponderti. Poi soprattutto adesso che sto studiando topologia mi viene da pensare tutto in quei termini ma sono ancora agli inizi quindi è tutto un po' confuso...[/quote]
Il secondo copre due volte il primo. Da cui la somiglianza a livello di algebre (con le matrici $su(2)$ che generano le rotazioni, per intenderci). A livello globale, effettivamente se fai una rotazione di [tex]4\pi[/tex] su un asse, ad un elettrone, ritrovi l'identita', perche' "percorri entrambe le copie", cioe' entrambe le foglie della cover.
C'e' un "esperimento di Matematica Quotidiana" che mi e' sempre piaciuto, che mette in luce questa relazione in maniera IMHO cristallina: prendi una tazza, e la fai ruotare (tenendola in mano) di due angoli giri: dopo il primo sarai ovviamente tutto annodato, se non hai problemi di artrite
riesci a fare pure il secondo (nello stesso verso) recuperando alla fine la postura normale, il tutto senza aver rovesciato il te' Consiglio di provare senza te' per le prime volte
PS Mi sembra di ricordare un video su questa cosa da qualche parte in rete...chissa'...
"dissonance":
@yoshiharu: Grazie! Finalmente inizio a capirci qualcosa sulla questione "prodotto tensoriale".
Figurati!
Se vuoi mettere un altro po' di carne sulla brace appena preparata puoi andare a dare un'occhiata al capitolo sulla "Matrice densita'" del libro di Feynman di meccanica statistica. Soprattutto nei primi paragrafi.
Lettura molto istruttiva, IMHO.
Grazie del consiglio! Ah, l'esperimento si può fare anche col caffè? Dovrebbe venire più facile... Più tardi provo.
Dovrebbe venire più facile... Più tardi provo.
"dissonance":
Grazie del consiglio! Ah, l'esperimento si può fare anche col caffè?
Secondo me il caffe' macchia di piu'
Cmq ho trovato un video "omeomorfo" a quello che dicevo io, anche se non altrettanto divertente.
"yoshiharu":
[quote="dissonance"]Grazie del consiglio! Ah, l'esperimento si può fare anche col caffè?
Secondo me il caffe' macchia di piu'
Cmq ho trovato un video "omeomorfo" a quello che dicevo io, anche se non altrettanto divertente.[/quote]
Trovato questo.
E' lo stesso tipo di movimento, solo che io me ne ricordavo uno con una ragazza assai piu' carina
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