Somma di due onde cosinusoidali

irelimax
Ciao a tutti,
in un esercizio è richiesto di completare i dati mancanti riguardanti la somma di due onde cosinusoidali.
Per la prima onda sappiamo che ha ampiezza $A$, numero d'onda $k$, frequenza $f$ e non conosciamo la fase iniziale.
Per la seconda onda sappiamo che ampiezza $A$ e fase iniziale 0
Per l'onda risultante sappiamo che ha ampiezza $A$, numero d'onda $k$, frequenza $f$ e non conosciamo la fase iniziale.
Quindi devo trovare la fase iniziale dell'onda 1 e dell'onda risultante e numero d'onda e frequenza della seconda onda.
Allora si ha:
$$y_1=A cos(kx-2\pi ft+\phi_1)$$
$$y_2= A cos(k_2x-2\pi f_2t)$$
$$y_1+y_2 = A cos(kx-2\pi f t + \phi_r)$$
Chiamo $a$ la fase della prima onda e $b$ la fase della seconda onda, cioè $a = kx-2\pi ft+\phi_1 $ e $b = k_2x-2\pi f_2t$
Applicando le formule di prostaferesi abbiamo che
$$y_1+y_2 = 2A cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})$$ da cui impongo che l'ampiezza dell'onda risultante deve essere uguale ad $A$, cioè $$2A cos(\frac{a-b}{2}) = A$$ da cui trovo che $a-b = \frac{2}{3} \pi$

Non sono sicura di poter fare l'uguaglianza di cui sopra perchè rimane la dipendenza dalle due variabili $x$ e $t$. Nei risultati deve essere $\phi_1 = \frac{2}{3} \pi$ , quindi devo imporre io che per poter ottenere da $a-b=\frac{2}{3} \pi$ il risultato deve essere $k_2=k $ e $f_2 = f$?
C'è un modo diverso per svolgere l'esercizio?
Se il mio ragionamento è esatto, poi riesco a trovare tranquillamente la fase iniziale dell'onda risultante. Ma se non avessi avuto i risultati, chi mi assicurava di poter imporre che $k_2=k $ e $f_2 = f$?
Grazie :)

Risposte
Studente Anonimo
Studente Anonimo
Solo se le due onde cosinusoidali che si sovrappongono hanno le stesse caratteristiche e si propagano nello stesso verso, l'onda risultante è cosinusoidale. Infatti, se non avessero le stesse caratteristiche, si assisterebbe al fenomeno dei battimenti. Se, pur avendo le stesse caratteristiche, avessero verso opposto, si assisterebbe al fenomeno delle onde stazionarie. Ad ogni modo, supponendo che entrambe le onde che si sovrappongono siano progressive:

Prima onda

$y_1=Acos(kx-\omegat+\phi_1)$

Seconda onda

$y_2=Acos(kx-\omegat+\phi_2)$

Onda risultante

$y_1+y_2=2Acos((\phi_1-\phi_2)/2)cos(kx-\omegat+(\phi_1+\phi_2)/2)$

Imponendo la condizione sull'ampiezza, dipendente dalla differenza di fase tra le due onde che si sovrappongono:

$[2Acos((\phi_1-\phi_2)/2)=A] rarr [(\phi_1-\phi_2)/2=+-\pi/3] rarr [\phi_1=\phi_2+-2/3\pi]$

In definitiva:

$[\phi_2=0] rarr [\phi_1=+-2/3\pi]$

irelimax
Ok, grazie mille!

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