Soluzione del'oscillatore armonico
Buonasera, credo di avere un dubbio riguardo la soluzione dell'equazione del moto armonico scritta come:
$Asin(omegat+phi)$ (1)
il libro dice nascere dalla soluzione generale (data dalla combinazione lineare di sin e cos):
$asin(omegat)+bcos(omegat)$ (2) quando $a=Acosphi, b=Asinphi$ (ovviamente usando la sommazione)
Tuttavia non capisco perché (1) sia identica a (2), infatti questo dovrebbe succedere se e solo se dati due valori qualsiasi $a$ e $b$ per essi si possano sempre trovare $phi$ e $A$ tali che $a=Acosphi, b=Asinphi$ appunto.
Però non riesco a dimostrarmelo, perché non mi sembra intuitivamente in generale vero. Poiché seno e coseno sono funzioni limitate e periodiche non mi sembra che scelto un a (qualunque) esprimibile tramite coseno di argomento phi e parametro A si possa trovare un seno con uguale agomento del coseno e un valore A che mi doni b (qualunque). Non so se ho ben chiarito il dubbio.
EDIT:
Ok credo di aver detto ufficialmente una stupidaggine,in effetti se considero $(a,b)$ come una coppia qualunque su un piano cartesiano posso raggiungere qualsiasi punto di coordinata (a,b) tramite $a=Acosphi, b=Asinphi$ poiché è come rappresentare in coordinate polari.
Non credo sia una vera dimostrazione, anzi se ne avete una migliore la leggo volentieri, però questo dimostra che intuitivamente avevo torto.
$Asin(omegat+phi)$ (1)
il libro dice nascere dalla soluzione generale (data dalla combinazione lineare di sin e cos):
$asin(omegat)+bcos(omegat)$ (2) quando $a=Acosphi, b=Asinphi$ (ovviamente usando la sommazione)
Tuttavia non capisco perché (1) sia identica a (2), infatti questo dovrebbe succedere se e solo se dati due valori qualsiasi $a$ e $b$ per essi si possano sempre trovare $phi$ e $A$ tali che $a=Acosphi, b=Asinphi$ appunto.
Però non riesco a dimostrarmelo, perché non mi sembra intuitivamente in generale vero. Poiché seno e coseno sono funzioni limitate e periodiche non mi sembra che scelto un a (qualunque) esprimibile tramite coseno di argomento phi e parametro A si possa trovare un seno con uguale agomento del coseno e un valore A che mi doni b (qualunque). Non so se ho ben chiarito il dubbio.
EDIT:
Ok credo di aver detto ufficialmente una stupidaggine,in effetti se considero $(a,b)$ come una coppia qualunque su un piano cartesiano posso raggiungere qualsiasi punto di coordinata (a,b) tramite $a=Acosphi, b=Asinphi$ poiché è come rappresentare in coordinate polari.
Non credo sia una vera dimostrazione, anzi se ne avete una migliore la leggo volentieri, però questo dimostra che intuitivamente avevo torto.
Risposte
Ciò che dici nell'edit è corretto
Ciao @bigodini e @LoreT314 !
Sicuramente sto per dire una stupidaggine, ma provo comunque a mettermi in gioco e chiedo scusa se confonderò le idee a qualcuno, non è mia intenzione.
@bigodini: ma sei sicuro che l'espressione sia scritta bene ? Mi spiego, io conosco l'uguaglianza tra $Asin(omegat+phi)$ e $asin(omegat)+bcos(omegat)$ cioè con a moltiplicato e non sommato. Se l'espressione a cui ti riferisci è quella che ho appena scritto, l'uguaglianza tra le due (ed un ragionamento del tutto analogo vale anche per $Acos(omegat+phi)$) si può dimostrare, ad esempio, con l'angolo aggiunto:
$Asin(omegat+phi)=A(sin(omegat)cos(phi)-cos(omegat)sin(phi))=Asin(omegat)cos(phi)-Acos(omegat)sin(phi)$. E quest'ultima espressione possiamo scriverla come $asin(omegat)+bcos(omegat)$ se poniamo $a=Acos(phi)$ e $b=Asin(phi)$.
Non so se ho risposto alla tua domanda (ne dubito
) o se ho peggiorato le cose. In tal caso chiedo scusa.
Se però in qualche modo ci ho preso e dovessero rimanerti dei dubbi, chiedi pure e cercherò di rispondere.
Saluti
Sicuramente sto per dire una stupidaggine, ma provo comunque a mettermi in gioco e chiedo scusa se confonderò le idee a qualcuno, non è mia intenzione.
@bigodini: ma sei sicuro che l'espressione sia scritta bene ? Mi spiego, io conosco l'uguaglianza tra $Asin(omegat+phi)$ e $asin(omegat)+bcos(omegat)$ cioè con a moltiplicato e non sommato. Se l'espressione a cui ti riferisci è quella che ho appena scritto, l'uguaglianza tra le due (ed un ragionamento del tutto analogo vale anche per $Acos(omegat+phi)$) si può dimostrare, ad esempio, con l'angolo aggiunto:
$Asin(omegat+phi)=A(sin(omegat)cos(phi)-cos(omegat)sin(phi))=Asin(omegat)cos(phi)-Acos(omegat)sin(phi)$. E quest'ultima espressione possiamo scriverla come $asin(omegat)+bcos(omegat)$ se poniamo $a=Acos(phi)$ e $b=Asin(phi)$.
Non so se ho risposto alla tua domanda (ne dubito
) o se ho peggiorato le cose. In tal caso chiedo scusa.Se però in qualche modo ci ho preso e dovessero rimanerti dei dubbi, chiedi pure e cercherò di rispondere.
Saluti
Grazie!
@BM: hai ragione, è un refuso che ho corretto. I passaggi che scrivi li ho compresi tuttavia il mio punto dubbio rimarrebbe (la soluzione che ho trovato è quella dell'edit sopra che conferma Lore), nel senso che
Inizialmente, ad occhio, mi pareva che dati a e b qualsiasi non fosse sempre possibile trovare A e phi che rendessero possibile: $a=Acos(phi) e $b=Asin(phi)$ perogni a e b.
@BM: hai ragione, è un refuso che ho corretto. I passaggi che scrivi li ho compresi tuttavia il mio punto dubbio rimarrebbe (la soluzione che ho trovato è quella dell'edit sopra che conferma Lore), nel senso che
$asin(omegat)+bcos(omegat)$ se poniamo $a=Acos(phi) e $b=Asin(phi)$
Inizialmente, ad occhio, mi pareva che dati a e b qualsiasi non fosse sempre possibile trovare A e phi che rendessero possibile: $a=Acos(phi) e $b=Asin(phi)$ perogni a e b.
Ora ho capito il tuo dubbio, credo. Si, come conferma Lore, anche a me il tuo ragionamento nell'edit pare sensato. Inoltre posso dirti questo: noi prendiamo $A=sqrt(a^2+b^2)$, $a/sqrt(a^2+b^2)=cos(phi)$ e $b/sqrt(a^2+b^2)=sin(phi)$ e non mi sembra che ci siano valori che restino esclusi da queste considerazioni.
Una "dimostrazione" alternativa posso fornirtela al contrario, cioè partendo dall'espressione $asin(omegat)+bcos(omegat)$: moltiplico ambo i membri per $1=sqrt(a^2+b^2)/sqrt(a^2+b^2)$ ottenendo $asqrt(a^2+b^2)/sqrt(a^2+b^2)sin(omegat)+bsqrt(a^2+b^2)/sqrt(a^2+b^2)cos(omegat)$ da cui, raccogliendo per $sqrt(a^2+b^2)$ si ha $sqrt(a^2+b^2)(a/sqrt(a^2+b^2)sin(omegat)+b/sqrt(a^2+b^2)cos(omegat))$. Ora, i due termini $a/sqrt(a^2+b^2)$ e $b/sqrt(a^2+b^2)$ posso considerarli come coseno e seno di un determinato angolo poiché $(a/sqrt(a^2+b^2))^2+(b/sqrt(a^2+b^2))^2=1$ e, dunque, il punto $P(a/sqrt(a^2+b^2);b/sqrt(a^2+b^2))$ apparterrà alla circonferenza goniometrica. Ponendo $cos(phi)=a/sqrt(a^2+b^2)$ e $sin(phi)=b/sqrt(a^2+b^2)$, possiamo riscrivere $sqrt(a^2+b^2)(a/sqrt(a^2+b^2)sin(omegat)+b/sqrt(a^2+b^2)cos(omegat))=sqrt(a^2+b^2)(cos(phi)sin(omegat)+sin(phi)cos(omegat))$ e, sfruttando la formula di addizione del seno, si giunge a $sqrt(a^2+b^2)sin(omegat+phi)$ ovvero, $Asin(omegat+phi)$.
Non so se questo ti ha chiarito le idee o te le ha confuse ancora di più. Spero di essere stato d'aiuto.
Una "dimostrazione" alternativa posso fornirtela al contrario, cioè partendo dall'espressione $asin(omegat)+bcos(omegat)$: moltiplico ambo i membri per $1=sqrt(a^2+b^2)/sqrt(a^2+b^2)$ ottenendo $asqrt(a^2+b^2)/sqrt(a^2+b^2)sin(omegat)+bsqrt(a^2+b^2)/sqrt(a^2+b^2)cos(omegat)$ da cui, raccogliendo per $sqrt(a^2+b^2)$ si ha $sqrt(a^2+b^2)(a/sqrt(a^2+b^2)sin(omegat)+b/sqrt(a^2+b^2)cos(omegat))$. Ora, i due termini $a/sqrt(a^2+b^2)$ e $b/sqrt(a^2+b^2)$ posso considerarli come coseno e seno di un determinato angolo poiché $(a/sqrt(a^2+b^2))^2+(b/sqrt(a^2+b^2))^2=1$ e, dunque, il punto $P(a/sqrt(a^2+b^2);b/sqrt(a^2+b^2))$ apparterrà alla circonferenza goniometrica. Ponendo $cos(phi)=a/sqrt(a^2+b^2)$ e $sin(phi)=b/sqrt(a^2+b^2)$, possiamo riscrivere $sqrt(a^2+b^2)(a/sqrt(a^2+b^2)sin(omegat)+b/sqrt(a^2+b^2)cos(omegat))=sqrt(a^2+b^2)(cos(phi)sin(omegat)+sin(phi)cos(omegat))$ e, sfruttando la formula di addizione del seno, si giunge a $sqrt(a^2+b^2)sin(omegat+phi)$ ovvero, $Asin(omegat+phi)$.
Non so se questo ti ha chiarito le idee o te le ha confuse ancora di più. Spero di essere stato d'aiuto.
Inversamente, visto che la relazione iniziale puoi scriverla anche come
$\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \ \sin(\omega t)+\frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}}\ \cos(\omega t))$
avrai che il modulo sarà
$A=\sqrt{a^2+b^2}$
e la fase
$\phi=\arctan(\frac {b}{a})$
Vedo solo ora che BayMax ti ha già indicato questa strada.
$\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \ \sin(\omega t)+\frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2}}\ \cos(\omega t))$
avrai che il modulo sarà
$A=\sqrt{a^2+b^2}$
e la fase
$\phi=\arctan(\frac {b}{a})$
Vedo solo ora che BayMax ti ha già indicato questa strada.
@BM: grazie mille per la chiarissima spiegazione. Complimenti!
Inoltre grazie @tutti gli intervenuti.
Inoltre grazie @tutti gli intervenuti.
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