Soluzione alla Stratton-Chu, caso particolare
Cercherò di porre la domanda risparmiando quanto più calcoli possibile, per non appesantire chi vorrà provare ad aiutarmi.
Partendo dal generale problema elettromagnetico in spazio vuoto, preso come dominio un volume V delimitato da una superficie chiusa, Elliot (1) fa vedere come il campo (cioè la soluzione del problema) in ogni punto interno a V dipende solo dalle sorgenti dentro V e dai valori del campo su S:
[tex]\mathbf{E}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla'\psi-j\omega\psi\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\right) \mathrm{d}V+[/tex]
[tex]+\frac{1}{4\pi}\int _S\left (\mathbf{1}_n\cdot\mathbf{E} \right )\nabla'\psi+\left(\mathbf{1}_n\times\mathbf{E}\right )\times\nabla'\psi-j\omega\psi\left(\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}\right )\mathrm{d}S[/tex]
[tex]\mathbf{B}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\times\nabla'\psi \; \mathrm{d}V+[/tex]
[tex]+\frac{1}{4\pi}\int _S\left (\mathbf{1}_n\cdot\mathbf{B} \right )\nabla'\psi+\left(\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}\right )\times\nabla'\psi+\frac{j\omega\psi}{c^2}\left(\mathbf{1}_n\times\mathbf{E}\right )\mathrm{d}S[/tex]
dove:
1. [tex]\rho[/tex] e [tex]\mathbf{J}[/tex] sono le sorgenti, dunque sono note,
2. [tex]\psi=\frac{e^{-jkR}}{R}[/tex] e [tex]R=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}[/tex],
3. [tex]\nabla'[/tex] opera sulle variabili [tex]x',y',z'[/tex],
4. [tex]\mathbf{1}_n[/tex] è la normale alla superficie S in ogni suo punto, entrante in V.
Detto ciò, particolareggiamo questa soluzione quando S è una sfera di raggio R (sufficientemente grande da contenere tutte le sorgenti esistenti nell'universo):
[tex]\mathbf{E}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla'\psi-j\omega\psi\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\right) \mathrm{d}V+[/tex]
[tex]+\frac{1}{4\pi}\int _S \left[ j\omega \left ( -\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}+\frac{\mathbf{E}}{c} \right )+ \frac{\mathbf{E}}{R}\right ] \frac{e^{-jkR}}{R}\mathrm{d}S[/tex]
[tex]\mathbf{B}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\times\nabla'\psi \; \mathrm{d}V+[/tex]
[tex]+\frac{1}{4\pi}\int _S \left[ \frac{j\omega}{c^2} \left ( \mathbf{1}_n\times\mathbf{E}+c\mathbf{B} \right )+ \frac{\mathbf{B}}{R}\right ] \frac{e^{-jkR}}{R}\mathrm{d}S[/tex]
Si noti che in questo caso particolare [tex]-\mathbf{1}_n[/tex] è proprio il versore radiale delle coordinate sferiche.
Ora, se il campo rispetta le condizioni di Sommerfeld, ovvero (di conseguenza) se per ipotesi:
[tex]\lim_{R\to\infty} \int_S (...)\mathrm{d}S=\mathbf{0}\quad (*)[/tex]
allora, poiché gli integrali di volume non dipendono da S (avevo supposto che nella sfera da cui si era partiti c'erano dentro già tutte le sorgenti) e poiché vale (*), si può passare al limite a entrambi i membri (sia per il campo E che per H) ottenendo:
[tex]\mathbf{E}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla'\psi-j\omega\psi\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\right) \mathrm{d}V[/tex]
[tex]\mathbf{B}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\times\nabla'\psi \; \mathrm{d}V[/tex]
ovvero ottenendo che i due integrali di superficie (quello per E e quello per H) sono entrambi nulli, sia per la sfera di partenza considerata, sia per qualunque altra sfera di raggio più grande. Siccome vale per una infinità di sfere, allora gli integrandi devono essere nulli, cioé:
[tex]\left\{\begin{matrix}
j\omega \left ( -\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}+\frac{\mathbf{E}}{c} \right )+ \frac{\mathbf{E}}{R}=\mathbf{0}\\
\frac{j\omega}{c^2} \left ( \mathbf{1}_n\times\mathbf{E}+c\mathbf{B} \right )+ \frac{\mathbf{B}}{R}=\mathbf{0}
\end{matrix}\right.[/tex]
che riscritti meglio:
[tex]\left\{\begin{matrix}
\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}= \left (\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c} \right )\mathbf{E}\\
-\mathbf{1}_n\times\mathbf{E}= \left (\frac{c^2}{j\omega R}+c \right )\mathbf{B}\\
\end{matrix}\right.[/tex]
da cui io concludo, moltiplicando da sinistra la prima per [tex]\mathbf{1}_n\times[/tex]:
[tex]-\mathbf{B}_{\perp}= -\left (\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c} \right )\left (\frac{c^2}{j\omega R}+c \right )\mathbf{B}\implies \mathbf{B}=\mathbf{0}[/tex]
il che non può essere. Ho sbagliato quache passaggio?
Riferimenti:
(1) Robert S. Elliot, Antenna theory and Design, Wiley, IEEE Press, 2003, sez. 1.7, pag. 17,...,21.
Partendo dal generale problema elettromagnetico in spazio vuoto, preso come dominio un volume V delimitato da una superficie chiusa, Elliot (1) fa vedere come il campo (cioè la soluzione del problema) in ogni punto interno a V dipende solo dalle sorgenti dentro V e dai valori del campo su S:
[tex]\mathbf{E}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla'\psi-j\omega\psi\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\right) \mathrm{d}V+[/tex]
[tex]+\frac{1}{4\pi}\int _S\left (\mathbf{1}_n\cdot\mathbf{E} \right )\nabla'\psi+\left(\mathbf{1}_n\times\mathbf{E}\right )\times\nabla'\psi-j\omega\psi\left(\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}\right )\mathrm{d}S[/tex]
[tex]\mathbf{B}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\times\nabla'\psi \; \mathrm{d}V+[/tex]
[tex]+\frac{1}{4\pi}\int _S\left (\mathbf{1}_n\cdot\mathbf{B} \right )\nabla'\psi+\left(\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}\right )\times\nabla'\psi+\frac{j\omega\psi}{c^2}\left(\mathbf{1}_n\times\mathbf{E}\right )\mathrm{d}S[/tex]
dove:
1. [tex]\rho[/tex] e [tex]\mathbf{J}[/tex] sono le sorgenti, dunque sono note,
2. [tex]\psi=\frac{e^{-jkR}}{R}[/tex] e [tex]R=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}[/tex],
3. [tex]\nabla'[/tex] opera sulle variabili [tex]x',y',z'[/tex],
4. [tex]\mathbf{1}_n[/tex] è la normale alla superficie S in ogni suo punto, entrante in V.
Detto ciò, particolareggiamo questa soluzione quando S è una sfera di raggio R (sufficientemente grande da contenere tutte le sorgenti esistenti nell'universo):
[tex]\mathbf{E}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla'\psi-j\omega\psi\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\right) \mathrm{d}V+[/tex]
[tex]+\frac{1}{4\pi}\int _S \left[ j\omega \left ( -\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}+\frac{\mathbf{E}}{c} \right )+ \frac{\mathbf{E}}{R}\right ] \frac{e^{-jkR}}{R}\mathrm{d}S[/tex]
[tex]\mathbf{B}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\times\nabla'\psi \; \mathrm{d}V+[/tex]
[tex]+\frac{1}{4\pi}\int _S \left[ \frac{j\omega}{c^2} \left ( \mathbf{1}_n\times\mathbf{E}+c\mathbf{B} \right )+ \frac{\mathbf{B}}{R}\right ] \frac{e^{-jkR}}{R}\mathrm{d}S[/tex]
Si noti che in questo caso particolare [tex]-\mathbf{1}_n[/tex] è proprio il versore radiale delle coordinate sferiche.
Ora, se il campo rispetta le condizioni di Sommerfeld, ovvero (di conseguenza) se per ipotesi:
[tex]\lim_{R\to\infty} \int_S (...)\mathrm{d}S=\mathbf{0}\quad (*)[/tex]
allora, poiché gli integrali di volume non dipendono da S (avevo supposto che nella sfera da cui si era partiti c'erano dentro già tutte le sorgenti) e poiché vale (*), si può passare al limite a entrambi i membri (sia per il campo E che per H) ottenendo:
[tex]\mathbf{E}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla'\psi-j\omega\psi\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\right) \mathrm{d}V[/tex]
[tex]\mathbf{B}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\mathbf{J}}{\mu_0^{-1}}\times\nabla'\psi \; \mathrm{d}V[/tex]
ovvero ottenendo che i due integrali di superficie (quello per E e quello per H) sono entrambi nulli, sia per la sfera di partenza considerata, sia per qualunque altra sfera di raggio più grande. Siccome vale per una infinità di sfere, allora gli integrandi devono essere nulli, cioé:
[tex]\left\{\begin{matrix}
j\omega \left ( -\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}+\frac{\mathbf{E}}{c} \right )+ \frac{\mathbf{E}}{R}=\mathbf{0}\\
\frac{j\omega}{c^2} \left ( \mathbf{1}_n\times\mathbf{E}+c\mathbf{B} \right )+ \frac{\mathbf{B}}{R}=\mathbf{0}
\end{matrix}\right.[/tex]
che riscritti meglio:
[tex]\left\{\begin{matrix}
\mathbf{1}_n\times\mathbf{B}= \left (\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c} \right )\mathbf{E}\\
-\mathbf{1}_n\times\mathbf{E}= \left (\frac{c^2}{j\omega R}+c \right )\mathbf{B}\\
\end{matrix}\right.[/tex]
da cui io concludo, moltiplicando da sinistra la prima per [tex]\mathbf{1}_n\times[/tex]:
[tex]-\mathbf{B}_{\perp}= -\left (\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c} \right )\left (\frac{c^2}{j\omega R}+c \right )\mathbf{B}\implies \mathbf{B}=\mathbf{0}[/tex]
il che non può essere. Ho sbagliato quache passaggio?
Riferimenti:
(1) Robert S. Elliot, Antenna theory and Design, Wiley, IEEE Press, 2003, sez. 1.7, pag. 17,...,21.
Risposte
Sembrerebbe l’ultimo. Se non ho commesso errori il prodotto vettoriale comporterebbe:
$ -\mathbf{B}+\mathbf{B}_{_|_ }= -(\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c})(\frac{c^2}{j\omega R}+c )\mathbf{B} $
Coerentemente, per $R$ che tende ad infinito l’equazione restituisce la sola componente tangenziale del campo.
$ -\mathbf{B}+\mathbf{B}_{_|_ }= -(\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c})(\frac{c^2}{j\omega R}+c )\mathbf{B} $
Coerentemente, per $R$ che tende ad infinito l’equazione restituisce la sola componente tangenziale del campo.
Non ho capito come hai ottenuto la tua formula purtroppo.
Ad ogni modo, quelle relazioni non valgono solo per \(\displaystyle R\to\infty \), ma per ogni sfera di raggio maggiore a $R_0$, che sarebbe quella che contiene tutte le sorgenti.
Ad ogni modo, quelle relazioni non valgono solo per \(\displaystyle R\to\infty \), ma per ogni sfera di raggio maggiore a $R_0$, che sarebbe quella che contiene tutte le sorgenti.
Certamente, ma solo all’infinito la componente trasversale del campo corrisponde al campo stesso.
"Sinuous":
[quote="Silent"]quelle relazioni non valgono solo per R→∞, ma per ogni sfera di raggio maggiore a R0, che sarebbe quella che contiene tutte le sorgenti.
Certamente, ...
[/quote]
E' proprio questo che a me non torna. Se io e te concordiamo su quanto ho scritto prima e citato in questo messaggio, allora scomponendo per componenti l'ultima relazione (la mia o la tua, non fa differenza), si ottiene che (poiché deve valere per ogni $R$ finito da $R_0$ in poi) il campo B deve essere nullo.
Per rispondere anche all'altro punto, anche se molto secondario rispetto alla questione in oggetto, il prodotto:
$$\mathbf{1}_n\times \mathbf{1}_n\times \mathbf{B}$$
corrisponde ad eliminare la componente di \(\displaystyle \mathbf{B} \) parallela a \(\displaystyle \mathbf{1}_n \), ed a ruotare la componente perpendicolare di \(\displaystyle \mathbf{B} \) in senso antiorario per due volte di 90° (cioè vuol dire cambiarle segno), ottenendo alla fine \(\displaystyle -\mathbf{B}_\perp \).
Forse mi sono espresso poco chiaramente. Volevo solo dire che la soluzione integrale di partenza vale certamente per ogni $R$. Ma, mentre è piuttosto semplice dimostrare la validità della relazione in discussione per $R$ tendente ad infinito, non è altrettanto immediato condurre una analisi esatta sulla formulazione integrale per $R$ finito anche per effetto delle approssimazioni dovute al modello (se hai tempo e pazienza puoi fare la prova con un dipolo elementare).
Non vorrei poi ci fosse qualche malinteso dovuto alla misinterpretazione delle componenti perpendicolari e parallele del campo alla superficie. Considerando come coordinate superficiali locali: $x,y$ e come componente normale (perpendicolare) alla superficie $z$ varrebbe la relazione:
$\hat{z}\times [\hat{z}\times(Bx\cdot \hat{x}+By\cdot \hat{y}+Bz\cdot \hat{z})]= \hat{z}\times [Bx\cdot \hat{y}-By\cdot \hat{x}]=-Bx\cdot \hat{x}-By\cdot \hat{y}$
Cioè il campo superficiale (trasversale) cambiato di segno.
Non vorrei poi ci fosse qualche malinteso dovuto alla misinterpretazione delle componenti perpendicolari e parallele del campo alla superficie. Considerando come coordinate superficiali locali: $x,y$ e come componente normale (perpendicolare) alla superficie $z$ varrebbe la relazione:
$\hat{z}\times [\hat{z}\times(Bx\cdot \hat{x}+By\cdot \hat{y}+Bz\cdot \hat{z})]= \hat{z}\times [Bx\cdot \hat{y}-By\cdot \hat{x}]=-Bx\cdot \hat{x}-By\cdot \hat{y}$
Cioè il campo superficiale (trasversale) cambiato di segno.
"Sinuous":
Considerando come coordinate superficiali locali: x,y e come componente normale (perpendicolare) alla superficie z varrebbe ...
Cioè il campo superficiale (trasversale) cambiato di segno.
Allora intendiamo la stessa cosa fin dall'inizio, perfetto.
Scusami per non averlo ben specificato fin dall'inizio.
"Sinuous":
Volevo solo dire che la soluzione integrale di partenza vale certamente per ogni R.
E non è assurdo?
Scriviamola un attimo nella mia notazione originale, tanto abbiamo capito cosa intendiamo:
\( \displaystyle -\mathbf{B}_{\perp}= -\left (\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c} \right )\left (\frac{c^2}{j\omega R}+c \right )\mathbf{B}\)
Se, come sembra comunicarci la matematica, questa relazione vale per ogni \(\displaystyle R>R_0 \) (dove $R_0$ è il raggio di una sfera che contiene tutte le sorgenti), allora questa implica che:
\( \displaystyle \left\{ \begin{matrix}-\mathbf{B}_{\perp}= -\left (\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c} \right )\left (\frac{c^2}{j\omega R}+c \right )\mathbf{B}_{\perp}\\
B_{//}=0
\end{matrix}\right.\)
Dalla prima in particolare segue che:
\(\displaystyle \left (\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c} \right )\left (\frac{c^2}{j\omega R}+c \right )=1,\quad \forall R>R_0 \)
che a me sembra un assurdo, no?
Come dicevo, la soluzione integrale di partenza vale certamente per ogni $R$, ma successivamente vengono fatte delle semplificazioni: ad esempio quella di utilizzare la funzione di Green asintotica, con delle conseguenze.
Pensiamo ad esempio di utilizzare come sorgente un dipolo elementare: la formulazione completa del campo elettrico trasversale è:
Ora per poter utilizzare l’espressione ridotta alla sola componente $1/r$ deve valere la condizione:
$\frac{j\omega}{c^{2}r}>\frac{1}{cr^2}$
Che implica:
$j\omega r>c$
Ma questa ultima condizione è esattamente quella che consentirebbe di avere:
$(\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c} )(\frac{c^2}{j\omega R}+c )=1$
Che restituirebbe l’identità dei campi: cioè esisterebbe l’identità a meno di un errore di approssimazione.
Pensiamo ad esempio di utilizzare come sorgente un dipolo elementare: la formulazione completa del campo elettrico trasversale è:
Ora per poter utilizzare l’espressione ridotta alla sola componente $1/r$ deve valere la condizione:
$\frac{j\omega}{c^{2}r}>\frac{1}{cr^2}$
Che implica:
$j\omega r>c$
Ma questa ultima condizione è esattamente quella che consentirebbe di avere:
$(\frac{1}{j\omega R}+\frac{1}{c} )(\frac{c^2}{j\omega R}+c )=1$
Che restituirebbe l’identità dei campi: cioè esisterebbe l’identità a meno di un errore di approssimazione.
Le approssimazioni a cui fai riferimento, nella mia trattazione non esistono. Da nessuna parte si usa l’approssimazione di campo lontano. Tutti i passaggi in [1] sono esatti, nessuna approssimazione, e conducono (sembra, ovviamente) ad un assurdo.
Per completezza di informazione, per quanto riguarda la Stratton-Chu e l’approssimazione della funzione di Green in campo lontano (Pag. 74 e seguenti) rimando al seguente link:
http://www.gubertsystem.it/wp-content/u ... _pb_v2.pdf
http://www.gubertsystem.it/wp-content/u ... _pb_v2.pdf
Ciao Sinuous, grazie del link. Come dicevo prima però, nel mio caso non c'è nessuna approssimazione di campo lontano. Ho trovato tuttavia il problema, l'errore sta nel passare da una uguaglianza integrale a una puntuale.
In altre parole, questo:
è falso.
In altre parole, questo:
Siccome vale per una infinità di sfere, allora gli integrandi devono essere nulli
è falso.
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