Solitoni nell'equazione del calore.
Salve,
Giocando con il metodo dello scattering inverso per risolvere le PDE (http://books.google.it/books?id=Gtv0vY3 ... &q&f=false) ho trovato una soluzione per l'equazione del calore [tex]u_t=Du_{xx}[/tex] con $D>0$ costante.
Se non ho sbagliato i conti, ho trovato che questa equazione ammette soluzioni di tipo solitonico (cioè ha solitoni come soluzioni) (http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasa ... dex-e.html o http://en.wikipedia.org/wiki/Soliton ).
Volevo chiedere se qualcuno conosce qualche situazione empirica in cui il calore si propaga in questo modo, o sa comunque qual'è il significato fisico di ciò... o se da un punto di vista fisico non ha senso e quindi devo rivedere i conti
Giocando con il metodo dello scattering inverso per risolvere le PDE (http://books.google.it/books?id=Gtv0vY3 ... &q&f=false) ho trovato una soluzione per l'equazione del calore [tex]u_t=Du_{xx}[/tex] con $D>0$ costante.
Se non ho sbagliato i conti, ho trovato che questa equazione ammette soluzioni di tipo solitonico (cioè ha solitoni come soluzioni) (http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasa ... dex-e.html o http://en.wikipedia.org/wiki/Soliton ).
Volevo chiedere se qualcuno conosce qualche situazione empirica in cui il calore si propaga in questo modo, o sa comunque qual'è il significato fisico di ciò... o se da un punto di vista fisico non ha senso e quindi devo rivedere i conti
Risposte
uhm da quel che ne so io (molt poco essendo uno studente che non è nemmeno entrato al 4o anno di fisica) i solitoni non sono soluzioni di equazioni prettamente NON lineari? al contrario dell'equazione del calore?
Così a naso poi, l'equazione del calore rappresenta proprio fenomeni fisicamente irreversibili, esseno non time-reversal, e quindi che sono soggetti a dissipazione, ad aumento di entropia, cosa che i solitoni non hanno, viaggiando sempre a energia costante e senza mai cambiare la loro forma. Così a primo impatto mi sentirei di dire che non potrebbero esser soluzioni dell'eq del calore.
BIsogna vedere però in che condizioni ti trovi tu, certo che potrei facilmente star dicendo una fesseria. Magari l'energia del pacchetto non cambia, ma l'irreversibilità può esser data dal vatto che comunque scambi energia con il mezzo? Mi spiace so troppo poco dell'argomento per anche solo formulare un pensiero sensato.
Girando un po' su internet ho trovato che son soluzioni ad esempio dell'equazione non lineare di schrodingher, o di un altra di due tizi che non mi ricordo i nomi e che a quanto pare descrive ad esempio le onde del pelo dell'acqua (tra l'altro essendo un problema fluidodinamico dovrebbe questa esser derivabile dalle equazioni di navier-stokes, chissà come).
Devo dire che con questo post mi hai aperto un mondo, ste cose sono interessantissime e neanche sapevo della loro esistenza, grazie!
Comuqnue al di là dell'aspetto matematico, che trovo molto interessante, gli aspetti fisici dovrebbero esser conosciuti al meglio da un fisico della materia, visto che oltre alle onde del pelo dell'acqua la maggior parte dei solitoni si trovano in applicazioni con molecole strane o fibre ottiche...
Così a naso poi, l'equazione del calore rappresenta proprio fenomeni fisicamente irreversibili, esseno non time-reversal, e quindi che sono soggetti a dissipazione, ad aumento di entropia, cosa che i solitoni non hanno, viaggiando sempre a energia costante e senza mai cambiare la loro forma. Così a primo impatto mi sentirei di dire che non potrebbero esser soluzioni dell'eq del calore.
BIsogna vedere però in che condizioni ti trovi tu, certo che potrei facilmente star dicendo una fesseria. Magari l'energia del pacchetto non cambia, ma l'irreversibilità può esser data dal vatto che comunque scambi energia con il mezzo? Mi spiace so troppo poco dell'argomento per anche solo formulare un pensiero sensato.
Girando un po' su internet ho trovato che son soluzioni ad esempio dell'equazione non lineare di schrodingher, o di un altra di due tizi che non mi ricordo i nomi e che a quanto pare descrive ad esempio le onde del pelo dell'acqua (tra l'altro essendo un problema fluidodinamico dovrebbe questa esser derivabile dalle equazioni di navier-stokes, chissà come).
Devo dire che con questo post mi hai aperto un mondo, ste cose sono interessantissime e neanche sapevo della loro esistenza, grazie!
Comuqnue al di là dell'aspetto matematico, che trovo molto interessante, gli aspetti fisici dovrebbero esser conosciuti al meglio da un fisico della materia, visto che oltre alle onde del pelo dell'acqua la maggior parte dei solitoni si trovano in applicazioni con molecole strane o fibre ottiche...
l'equazione che dici te è abbreviata come equazione KdV e su questa equazione ne so abbastanza oserei dire
Per risolverla però si usa un metodo che unisce questa operazione con l'equazione stazionaria di Schrodinger (teoria dello scattering diretto e inverso). Ora sotto opportune ipotesi con questo metodo si può vedere la presenza di solitoni in tale equazione.
Giocando con questo metodo ho visto che si può applicare all'equazione del calore e ottenere risultati in linea di principio simili (non uguali ovviamente) a quelli ottenuti pr KdV. Questo risultato mi ha sorpreso molto (per le stesse ragioni datte da te) e prima di lanciarmi nei calcoli finali, volevo avere un'idea fisica di quel che stava accadendo.
Questo weekend provo a rivedere i calcoli, ma non mi paiono sbagliati a prima vista, non so...
Grazie della risposta comunque.
EDIT: ho risolto il mio problema, tutto a posto
Per risolverla però si usa un metodo che unisce questa operazione con l'equazione stazionaria di Schrodinger (teoria dello scattering diretto e inverso). Ora sotto opportune ipotesi con questo metodo si può vedere la presenza di solitoni in tale equazione.
Giocando con questo metodo ho visto che si può applicare all'equazione del calore e ottenere risultati in linea di principio simili (non uguali ovviamente) a quelli ottenuti pr KdV. Questo risultato mi ha sorpreso molto (per le stesse ragioni datte da te) e prima di lanciarmi nei calcoli finali, volevo avere un'idea fisica di quel che stava accadendo.
Questo weekend provo a rivedere i calcoli, ma non mi paiono sbagliati a prima vista, non so...
Grazie della risposta comunque.
EDIT: ho risolto il mio problema, tutto a posto
Beh dai, allora se non altro hai scoperto una violazione di secondo principio della termodinamica, o cmq un nuovo fenomeno fisico-matematico! 
che bello che ne sai un sacco!Mi puopi fare un riassunto delel cose più importanti su questa equazione? e sai mica come si ricava dalle navier stokes che il pelo dell'acqua si muove come quella? se non hai voglia di scrivermelo qua magari indicandomi una dispensina o un link...
che bello che ne sai un sacco!Mi puopi fare un riassunto delel cose più importanti su questa equazione? e sai mica come si ricava dalle navier stokes che il pelo dell'acqua si muove come quella? se non hai voglia di scrivermelo qua magari indicandomi una dispensina o un link...
sull'equazione KdV puoi vedere l'introduzione di questo libro bellissimo, dove viene anche spiegato il metodo dello scattering che accenavo prima (costituisce il primo capitolo, quelli successivi sono generalizzazioni).
http://books.google.it/books?id=Gtv0vY3 ... &q&f=false
oppure in quest'altro libro puoi trovare la deduzione di KdV in due dimensioni (KdV modellizza in una dimensione spaziale), detta equazione KP
http://books.google.it/books?id=v5wIMUp ... &q&f=false
Ciao!
ps da come ho letto nessuno dei due parte però dalle Navier Stokes, ma usa considerazioni fenomenologiche direttamente.
Se ti interessano i solitoni puoi consitare oltre al primo libro (che io ritengo essere bellissimo) anche quest'altro
http://books.google.it/books?id=HPmbIDk ... &q&f=false
http://books.google.it/books?id=Gtv0vY3 ... &q&f=false
oppure in quest'altro libro puoi trovare la deduzione di KdV in due dimensioni (KdV modellizza in una dimensione spaziale), detta equazione KP
http://books.google.it/books?id=v5wIMUp ... &q&f=false
Ciao!
ps da come ho letto nessuno dei due parte però dalle Navier Stokes, ma usa considerazioni fenomenologiche direttamente.
Se ti interessano i solitoni puoi consitare oltre al primo libro (che io ritengo essere bellissimo) anche quest'altro
http://books.google.it/books?id=HPmbIDk ... &q&f=false
Se ti interessa, la deduzione più bella per KdV secondo me è quella dovuta a N.J. Zabusky and M.D. Kruskal ( accenni della cosa: http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi-Pasta-Ulam_problem ) che mostra un'altra applicazione di tale equazione.
la presenza dei solitoni ha permesso di risolvere il paradosso di Fermi Pasta Ulam
la presenza dei solitoni ha permesso di risolvere il paradosso di Fermi Pasta Ulam
Sì nel primo post avevo letto del metodo di scattering, ma io conoscevo solo quello dell'equazione di schrodingher in meccanica quantistica per trovare la diffusione da potenziale centrale a decrescenza rapida (eq. di lippman-schwingher, approsimazione di born e sviluppo in ampiezze parziali), basato sulla funzione di Green. Esiste anche una generalizzazione? Quello che conoscevo io era un caso particolare?
Leggero ì tuoi link con cura, ho visto che quella online è una versione "demo" perchè mancano delle pagine, ma forse riesco a capirci lo stesso perchè del primo capitolo ne mancano poche, e se riesco me lo compro pure!
Grazie, ciao!
Leggero ì tuoi link con cura, ho visto che quella online è una versione "demo" perchè mancano delle pagine, ma forse riesco a capirci lo stesso perchè del primo capitolo ne mancano poche, e se riesco me lo compro pure!
Grazie, ciao!
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