Solenoide e bobina interna coassiale, potenza

[bartofra]

Ciao a tutti, mi sto preparando per l'esame di fisica 2. Riporto un esercizio di un tema di esame che ho provato a svolgere, ma la mole dei calcoli mi sembra un po esagerata....

Un solenoide di lunghezza $l$, formato da $N1$spire, ha resistenza elettrica $R1$ e
viene alimentato da un generatore che eroga un’onda sinusoidale di tensione$ V1
= Vo sin(ωt)$ .
Una bobina, costituita da$N2$ spire, è posta in corrispondenza del centro
del solenoide, in modo che siano coassiali. Il diametro $d$ della bobina è molto più
piccolo di quello del solenoide.
a) Si determini la potenza$P$ dissipata nella bobina, sapendo che la sua resistenza è
$R2$.
c) Si spieghi che ruolo giocano le induttanze L1 e L2 del solenoide e della bobina.

SVOLGIMENTO:

Innanzitutto, se la bobina fosse aperta, la potenza erogata sarebbe nulla poiché sarebbe nulla la corrente $I2$. Quindi ipotizzo, anche se il testo non lo dice, che essa sia chiusa in cortocircuito, con resistenza pari a R2.
Inoltre, la bobina posta coassialmente al solenoide penso si intenda che abbia anche la stessa lunghezza $l$.

A questo punto considero il sistema:
$\{(R1*I1=V1-L1*( (dI1)/dt) - M ((dI2)/dt)),(R2*I2-L2*((dI2)/dt)-M*((dI1)/dt)):}$

Con $ I1$= corrente del solenoide , $ I2$= corrente nella bobina
$L1$ = coefficiente di autoinduzione del solenoide, $L2$ = coefficiente di autoinduzione della bobina
$ M=M12=M21$ = coefficiente di mutua induzione

Poi ho:
$ V1= Vo sin(ωt)$ . -> $ V1= Vo cos(ωt - pi/2)$ -> $V1=Vo* e^(j(ωt-pi/2))$ -> $ V1=-j*Vo$

Faccio le derivate e riscrivo il sistema:
$\{( Vo* e^(j(ωt-pi/2))= R1*Io1*e^(j(ωt))+ jωt*L1*Io1*e^(j(ωt))-jωt*M*Io2e^(j(ωt))),(0=R2*Io2*e^(j(ωt))+ jωt*L2*Io1*e^(j(ωt))+jωt*M*Io1*e^(j(ωt))):}$

Divido per $e^(j(ωt))$ , passo alla rappresentazione in fasori e ottengo
$\{(-j*Vo = R1*Io1+ jωt*L1*Io1-jωt*M*Io2),(0=R2*Io2+ jωt*L2*Io1+jωt*M*Io1):}$

Risolvo il sistema e trovo l'espressione della corrente che scorre nella bobina.

Tralasciando i passaggi, a me viene:

$1)$ ---------------- $I2 =( -j*Vo) /((L1*L2-M^2)* ω^2-R1*R2-(R1*L2+R2*L1)*j*ω)$



Ora, per potenza $p$ dissipata nella bobina, penso si intenda la potenza media, e cioè soltanto quella dissipata dalla resistenza $R2$


Quindi $2)$ ---------------- $P=R2*|I2|^2$


A questo punto mi resta da calcolare i parametri $L1,L2,M$

Parto da M:
Essendo il diametro d << D, considero uniforme l'induzione che atrraversa ortogonalmente le spire della bobina posta coassialmente al solenoide.
L' espressione del campo induzione $B$ all'interno del solenoide, si ricava dalla formula:
$ dB= (n*dç)*((µ*I2*(D/2)^2)/(2*[(D/2)^2 + (x-ç)^2]^(3/2)))$

Dove si è posto l'asse del solenoide sull'asse x e $dB$ rappresenta il campo infinitesimale generato in p che dista $x$ dall'origine, da una fettina di solenoide di spessore $dç$

$n =( N1)/l $

Siccome $d(x-ç)=-dç$, riscrivo la formula così:

$ dB=- (N1)/(l)*((µ*I2*(D/2)^2)/(2*[(D/2)^2 + (x-ç)^2]^(3/2)))*d(x-ç)$

Integrando tra $0$ e $l$ trovo:


$ B=(N1)/(4*l)* µ*D*((D/(sqrt(D^2+l^2))) -1) *I1$

A questo punto devo calcolare il flusso $Φ = B*S*N2$ dove S è la superfice della singola spira della bobina.

Quindi $Φ = B*N2*pi*d^2*I1$ -> $Φ =(N1*N2)/(4*l)*µ*pi*d^2*D**((D/(sqrt(D^2+l^2))) -1) * I1$

A questo punto il coefficiente di mutua induzione $M=Φ/(I1) =(N1*N2)/(4*l)*µ*pi*d^2*D**((D/(sqrt(D^2+l^2))) -1) $

Poi ho $ L=(µ*S)/(l) * N^2$ Quindi $ L1=(µ*pi*D^2)/(l) * N1^2$ , $ L2=(µ*pi*d^2)/(l) * N2^2$


Ora sostituisco M, L1,l2 nella $1)$ da essa calcolo il modulo della corrente $I1$ , lo sostituisco nella $2)$
cioè in $P=R2*|I2|^2$

E dovrei aver risolto. Ma il risultato corrisponde ad una formulaccia immensa.

Penso che si potrebbe fare tutto in modo più semplice, cosa ne pensate?

Qualcuno puo darmi una mano?

[bartofra]

Proprio nessuno riesce a darmi un consiglio ??