Sistemone dinamico
Un sistema dinamico PAZZO mi sta facendo IMPAZZIRE!!! 
http://imageshack.us/photo/my-images/57 ... namic.png/
Vi scrivo le cinque equazioni che ho usato, ditemi se sono giuste (in tal caso evidentemente non so risolvere i sistemi lineari...pazienza)
1). Massa grande lungo x (direzione piano inclinato)
$ T+Mg\sin\alpha+N_1+N_2=Ma_x$
2). Massa piccola lungo x
$mg\sin\alpha-N_1=ma_x$
3). Massa piccola lungo y
$-mg\cos\alpha-T=ma_y$
4). Moto della carrucola di sopra, ancorata all'asta
$T-N_2=0$ in quanto supponiamo la carrucola priva di massa.
Inoltre con considerazioni geometriche mi trovo
5). $a_y=-2a_x$
Sono giuste queste equazioni? C'è un problema, sostituendo numericamente viene qualcosa di NEGATIVO, e ciò è sicuramente falso, perchè il sistema si muoverà lungo il piano inclinato in direzione positiva!!!
Dove ho sbagliato?
http://imageshack.us/photo/my-images/57 ... namic.png/
Vi scrivo le cinque equazioni che ho usato, ditemi se sono giuste (in tal caso evidentemente non so risolvere i sistemi lineari...pazienza)
1). Massa grande lungo x (direzione piano inclinato)
$ T+Mg\sin\alpha+N_1+N_2=Ma_x$
2). Massa piccola lungo x
$mg\sin\alpha-N_1=ma_x$
3). Massa piccola lungo y
$-mg\cos\alpha-T=ma_y$
4). Moto della carrucola di sopra, ancorata all'asta
$T-N_2=0$ in quanto supponiamo la carrucola priva di massa.
Inoltre con considerazioni geometriche mi trovo
5). $a_y=-2a_x$
Sono giuste queste equazioni? C'è un problema, sostituendo numericamente viene qualcosa di NEGATIVO, e ciò è sicuramente falso, perchè il sistema si muoverà lungo il piano inclinato in direzione positiva!!!
Dove ho sbagliato?
Risposte
Se ho capito bene il disegno, che mi sembra fatto abbastanza maluccio, mi pare che hai sbagliato diversi segni. Le equazioni mi sembra dovrebbero essere queste:
[tex]\begin{array}{l}
Mg\sin \alpha - T - {N_2} - {N_1} = M{a_x} \\
mg\sin \alpha - {N_1} = m{a_x} \\
- mg\cos \alpha + T = m{a_y} \\
T = {N_2} \\
{a_y} = 2{a_x} \\
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
Mg\sin \alpha - T - {N_2} - {N_1} = M{a_x} \\
mg\sin \alpha - {N_1} = m{a_x} \\
- mg\cos \alpha + T = m{a_y} \\
T = {N_2} \\
{a_y} = 2{a_x} \\
\end{array}[/tex]
Quindi sostanzialmente ho sbagliato solo la n. 5)....
in quanto al "-T" della n.1 che hai messo, non so spiegarmelo...di T non so niente, è l'equazione del moto che risolta dovrà darmi "T negativa" o no?
Altra domanda...nel punto precedente del problema applicavo una forza a M lungo la direzione del piano inclinato...e mi viene una forza POSITIVA...secondo la convenzione dei segni, non dovrebbe venirmi negativa?
in quanto al "-T" della n.1 che hai messo, non so spiegarmelo...di T non so niente, è l'equazione del moto che risolta dovrà darmi "T negativa" o no?
Altra domanda...nel punto precedente del problema applicavo una forza a M lungo la direzione del piano inclinato...e mi viene una forza POSITIVA...secondo la convenzione dei segni, non dovrebbe venirmi negativa?
Non so se ho capito le tue domande, ma mi pare che ti manchi una disciplina dei segni.
Allora vediamo di porre rimedio dando una regola generale.
Per prima cosa si decidono gli assi: ad esempio l'asse x parallelo al piano e l'asse y ortogonale ad esso. Poi si decidono i versi positivi delle coordinate: ad esempio la x verso destra a la y verso l'alto.
Poi si tracciano delle frecce che rappresentano le forze. Se già si intuisce come saranno davvero le forze, le frecce si orientano da quella parte. Ad esempo la T è evidente che può essere solo verso sinistra perché un filo può applicare forza solo in trazione, e così pure la N2.
La forza di gravità è diretta verso il basso per cui sicuramente la componente x del peso tira nel verso x positivo mentre la componente y del peso tira nel verso negativo delle y, e quindi già si disegnano le frecce orientate in questo modo.
Poi per quanto riguarda velocità e accelerazioni, il loro verso positivo deve essere posto concorde all'orientamento degli assi.
Per le forze che non si conoscono affatto si traccia una freccia a caso, ad esempio la N1.
A questo punto è facile scrivere le equazioni.
1) La T ha verso x negativo, dunque va scritta col segno -, e così pure la N2 e la N1. Mentre la componente x del peso ha verso positivo, dunque va scritta col segno +. Dall'altra parte dell'uguale l'accelerazione x della massa M va scritta col segno + per definizione.
2) Stessi criteri di cui sopra per la massa m.
3) In diirezione y abbiamo già detto che il peso lo intendiamo verso il basso, dunque la sua componente y avrà il segno -, mentre la forza del filo su m può essere solo in trazione, dunque verso l'alto, dunque col segno + e modulo uguale a T. L'accelerazione è + per definizione, e va intesa concorde con l'asse y.
4) la N2 ha lo stesso segno di T, cioè è ad essa concorde nel senso che tira dalla stessa parte (verso negativo delle x), e ha lo stesso modulo
5) se M scende nel verso positivo delle x, m sale nel verso positivo delle y, dunque le accelerazioni hanno lo stesso segno.
Non so se ho risposto, ma ho cercato di darti il criterio generale da utilizzare.
Allora vediamo di porre rimedio dando una regola generale.
Per prima cosa si decidono gli assi: ad esempio l'asse x parallelo al piano e l'asse y ortogonale ad esso. Poi si decidono i versi positivi delle coordinate: ad esempio la x verso destra a la y verso l'alto.
Poi si tracciano delle frecce che rappresentano le forze. Se già si intuisce come saranno davvero le forze, le frecce si orientano da quella parte. Ad esempo la T è evidente che può essere solo verso sinistra perché un filo può applicare forza solo in trazione, e così pure la N2.
La forza di gravità è diretta verso il basso per cui sicuramente la componente x del peso tira nel verso x positivo mentre la componente y del peso tira nel verso negativo delle y, e quindi già si disegnano le frecce orientate in questo modo.
Poi per quanto riguarda velocità e accelerazioni, il loro verso positivo deve essere posto concorde all'orientamento degli assi.
Per le forze che non si conoscono affatto si traccia una freccia a caso, ad esempio la N1.
A questo punto è facile scrivere le equazioni.
1) La T ha verso x negativo, dunque va scritta col segno -, e così pure la N2 e la N1. Mentre la componente x del peso ha verso positivo, dunque va scritta col segno +. Dall'altra parte dell'uguale l'accelerazione x della massa M va scritta col segno + per definizione.
2) Stessi criteri di cui sopra per la massa m.
3) In diirezione y abbiamo già detto che il peso lo intendiamo verso il basso, dunque la sua componente y avrà il segno -, mentre la forza del filo su m può essere solo in trazione, dunque verso l'alto, dunque col segno + e modulo uguale a T. L'accelerazione è + per definizione, e va intesa concorde con l'asse y.
4) la N2 ha lo stesso segno di T, cioè è ad essa concorde nel senso che tira dalla stessa parte (verso negativo delle x), e ha lo stesso modulo
5) se M scende nel verso positivo delle x, m sale nel verso positivo delle y, dunque le accelerazioni hanno lo stesso segno.
Non so se ho risposto, ma ho cercato di darti il criterio generale da utilizzare.
Non capisco una cosa. Perchè scrivere T COL SEGNO meno dato che è una forza incognita? Nel senso che dovrebbe venire negativo già per i "fatti suoi"...
esempio più semplice...prendiamo una massa poggiata su un piano inclinato sostenuta da una corda. L'eq del moto della massa la scriverei in ogni caso
$T+mg\sin\alpha=0$....non occorre che già da subito "preveda il verso di T, in quanto me lo dice l'equazione una volta risolta...($T=-mg\sin\alpha$)...
L'unica cosa che dovrei quindi rispettare è il fatto che devo porre il verso della T del tratto verticale della corda come OPPOSTO al verso della tensione lungoil piano inclinato...posso quindi porre T come la tensione applicata al tratto verticale (e scrivere -T nella tensione applicata al tratto parallelo al piano) ma posso anche fare VICEVERSA...io non so proprio niente di T....
Altra domanda...ho calcolato che forza dovrei applicare a M per mantenere l'equilibrio e ho trovato che questa F viene POSITIVA...non è strano visto che essa dovrebbe essere applicata da destra verso sinistra?
esempio più semplice...prendiamo una massa poggiata su un piano inclinato sostenuta da una corda. L'eq del moto della massa la scriverei in ogni caso
$T+mg\sin\alpha=0$....non occorre che già da subito "preveda il verso di T, in quanto me lo dice l'equazione una volta risolta...($T=-mg\sin\alpha$)...
L'unica cosa che dovrei quindi rispettare è il fatto che devo porre il verso della T del tratto verticale della corda come OPPOSTO al verso della tensione lungoil piano inclinato...posso quindi porre T come la tensione applicata al tratto verticale (e scrivere -T nella tensione applicata al tratto parallelo al piano) ma posso anche fare VICEVERSA...io non so proprio niente di T....
Altra domanda...ho calcolato che forza dovrei applicare a M per mantenere l'equilibrio e ho trovato che questa F viene POSITIVA...non è strano visto che essa dovrebbe essere applicata da destra verso sinistra?
"newton_1372":
esempio più semplice...prendiamo una massa poggiata su un piano inclinato sostenuta da una corda. L'eq del moto della massa la scriverei in ogni caso
$T+mg\sin\alpha=0$....non occorre che già da subito "preveda il verso di T, in quanto me lo dice l'equazione una volta risolta...($T=-mg\sin\alpha$)...
Tu devi disegnare a priori i versi delle forze, anche a casaccio purché li disegni.
Poi dal calcolo salterà fuori che se vengono col segno + ci hai azzeccato, cioè le forze sono proprio come le hai disegnate, se vengono con segno - vuol dire che le devi immaginare con la freccia rivolta dalla parte opposta rispetto a quella che hai disegnato a caso.
Prendo proprio l'esempio semplice che dici tu.
Se scrivi $T+mg\sin\alpha=0$ vuol dire che nella tua testa hai disegnato 2 vettori che vanno tutti e due dalla parte positiva delle x, ovvero verso destra. La forza peso ha sicuramente il verso giusto, mentre la T ha sicuramente il verso sbagliato, infatti una corda è capace solo di tirare non di spingere. E infatti risolvendo vedi che T esce negativa, dunque il vettore T vero ha la punta verso sinistra.
Se invece prefissavi T disegnando la punta verso sinistra dovevi scrivere la somma dei due vettori così: $-T+mg\sin\alpha=0$, e allora T dal calcolo risultava positivo, il che significa che ci avevi azzeccato e T andava proprio come l'avevi disegnato tu.
Se tu non prefissi a priori i versi dei vettori, ripeto, anche a casaccio, poi nel costruire il sistema di equazioni ti imbrogli, perché è vero che i versi li assumi a caso però in tutte le equazioni devono essere sempre gli stessi, altrimenti rischi di prenderli in una equazione diretti da una parte e in un'altra equazione diretti dalla parte opposta.
"newton_1372":
Altra domanda...ho calcolato che forza dovrei applicare a M per mantenere l'equilibrio e ho trovato che questa F viene POSITIVA...non è strano visto che essa dovrebbe essere applicata da destra verso sinistra?
Io non ho fatto i conti ma non si può dire a priori come si muove il sistema, dipende dalla entità di M e m. Se il rapporto m/M è molto piccolo allora la massa M scende, se il rapporto non è tanto piccolo M può anche risalire il piano inclinato.
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