Sistemi planetari modellizzati con campi di forze centrali
Ciao ragazzi! Mettiamoci nelle ipotesi Kepleriane di
-pianeti puntiformi
-stella centrale con massa >> masse planetarie
-interazioni interplanetarie gravitazionali nulle.
Si ha un campo di forza centrale gravitazionale con centro la stella (non deve essere per forza il sistema solare, basta che valgano le ipotesi sopraelencate).
Senza fare tutti i passaggi il problema delle orbite planetarie si risolve così: l'orbita è in coordinate polari
$rho = p-e rho cos theta$, dove p è il parametro della conica, e è l'eccentricità.
Per chi non è pratico con le curve in polare, trasformando in cartesiane si trova che in base ad e si hanno varie coniche:
per e=0 una circonferenza di raggio p (ovvio)
0
e>1 iperbole
Per |e|<1 abbiamo le nostre care orbite ellittiche kepleriane.
ma e è funzione dell'energia iniziale e del potenziale efficace, che a sua volta dipende dal momento angolare del pianeta. (l'energia e il momento angolare si conservano nei moti centrali).
Scrivo per completezza:
$e=sqrt(1+(2EJ^2/(m alpha^2)))$ dove $alpha$ racchiude la costante G e le masse in modo che il potenziale della forza sia $V(rho)=-alpha/rho$, J è il momento angolare iniziale ed E l'energia meccanica totale.
Quindi, trascurando il caso e=0 ed e=1 poichè con tutte le approssimazioni chiaramente perdono quasi di senso nel caso reale, ho tratto la mia conclusione e volevo sapere se è giusta:
quando un pianeta passa a "portata" del sole, è in base al suo momento angolare rispetto al sole e alla sua energia che viene respinto (orbita iperbolica) o rimane nel sistema (orbita ellittica)?
Scusate se c'è un enorme discorso preliminare ma credo che così sia più chiaro e fruibile a tutti.
-pianeti puntiformi
-stella centrale con massa >> masse planetarie
-interazioni interplanetarie gravitazionali nulle.
Si ha un campo di forza centrale gravitazionale con centro la stella (non deve essere per forza il sistema solare, basta che valgano le ipotesi sopraelencate).
Senza fare tutti i passaggi il problema delle orbite planetarie si risolve così: l'orbita è in coordinate polari
$rho = p-e rho cos theta$, dove p è il parametro della conica, e è l'eccentricità.
Per chi non è pratico con le curve in polare, trasformando in cartesiane si trova che in base ad e si hanno varie coniche:
per e=0 una circonferenza di raggio p (ovvio)
0
e>1 iperbole
Per |e|<1 abbiamo le nostre care orbite ellittiche kepleriane.
ma e è funzione dell'energia iniziale e del potenziale efficace, che a sua volta dipende dal momento angolare del pianeta. (l'energia e il momento angolare si conservano nei moti centrali).
Scrivo per completezza:
$e=sqrt(1+(2EJ^2/(m alpha^2)))$ dove $alpha$ racchiude la costante G e le masse in modo che il potenziale della forza sia $V(rho)=-alpha/rho$, J è il momento angolare iniziale ed E l'energia meccanica totale.
Quindi, trascurando il caso e=0 ed e=1 poichè con tutte le approssimazioni chiaramente perdono quasi di senso nel caso reale, ho tratto la mia conclusione e volevo sapere se è giusta:
quando un pianeta passa a "portata" del sole, è in base al suo momento angolare rispetto al sole e alla sua energia che viene respinto (orbita iperbolica) o rimane nel sistema (orbita ellittica)?
Scusate se c'è un enorme discorso preliminare ma credo che così sia più chiaro e fruibile a tutti.
Risposte
dipende tutto dall'energia. Se l'energia meccanica totale del pianeta è negativa, il sistema è legato, il pianeta descrive un'orbita ellittica. Se l'energia meccanica è nulla, il pianeta segue un'orbita parabolica, ed arriva a distanza infinita dal sole con velocità nulla.
Se, infine, l'energia meccanica totale è maggiore di zero, allora il pianeta segue un'orbita iperbolica, ed arriva a distanza infinita dal Sole con velocità non nulla.
Tutto ciò che ho detto va intesi fissando a 0 l'energia potenziale all'infinito.
Se, infine, l'energia meccanica totale è maggiore di zero, allora il pianeta segue un'orbita iperbolica, ed arriva a distanza infinita dal Sole con velocità non nulla.
Tutto ciò che ho detto va intesi fissando a 0 l'energia potenziale all'infinito.
Grazie mille! In teoria però anche se J è pari a 0 dovrebbe aversi e=1. E il caso J=0 se non erro è quando il pianeta era già direzionato sulla congiungente col sole, ti quadra? Però a questo punto non capisco l'orbita parabolica come potrebbe nascere.
Per il resto quando J!=0 compare al quadrato quindi il segno di E è sufficiente per la casistica che hai descritto.
Per il resto quando J!=0 compare al quadrato quindi il segno di E è sufficiente per la casistica che hai descritto.
Tutti i casi che ho descritto sottintendono che la velocità iniziale del pianeta non sia diretta lungo la congiungente. Se lo è, sia la parabola, sia l'ellisse, sia l'iperbole degenerano in una retta passante per i fuochi, e ovviamente c'è collisione.
Ed ovviamente stiamo parlando di punti materiali, perchè altrimenti bisognerebbe verificare che la distanza media sia maggiore della somma dei raggi dei due corpi celesti.
Ed ovviamente stiamo parlando di punti materiali, perchè altrimenti bisognerebbe verificare che la distanza media sia maggiore della somma dei raggi dei due corpi celesti.
Errore mio, tutte le premesse di prima erano ovviamente per J!=0, mi ero troppo concentrato sulle formule 
ovviamente sulla congiungente si ha il collasso sulla stella con velocità infinita!
ovviamente sulla congiungente si ha il collasso sulla stella con velocità infinita!
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