Sistemi dinamici, esercizio su stabilità equilibri
Ciao a tutti, spero abbiate passato una buona estate 
dunque, mi sono imbattuto nel seguente esercizio e non sono sicuro della mia soluzione. siccome si tratta di parte di un tema d'esame che ho fallito vorrei essere sicuro di farlo bene.
Si consideri l'equazione differenziale
$ddot x + ae^x dotx + g(x) = 0$, dove $g in C^infty$ e $g(0) =0, g'(0) = 1$
1) Studiare la stabilità lineare della soluzione costante x=0 al variare del parametro $a in RR$
2) Stabilire condizioni per g(x) sotto le quali x=0 sia l'unica soluzione costante.
Per il primo punto ho trasformato l'equazione in un sistema di due eq differenziali di primo ordine, ottenendo:
${(dot x = y), (dot y = - ae^x dotx - g(x)):}$
ora la domanda: l'esercizio mi dice di studiare la stabilità della soluzione x=0. Questo vuol dire che, siccome tutti gli equilibri di questo sistema hanno y=0, devo studiare la stabilità lineare del punto di equilibrio (0,0) al variare di a? O significa tutt'altro ed io, magari per non aver studiato bene, me lo sono perso?
Nel primo caso nessun problema, nel secondo beh, aspetto un aiutino
Invece per il secondo punto sono in dubbio: è ovvio che $x(t) = 0 AA t in RR$ sia soluzione dell'equazione con le condizioni su g già poste dal testo del problema. è sufficiente richiedere che sia $g(x) = 0 iff x=0$ per eliminare tutte le altre soluzioni costanti? In questo modo infatti tutte le funzioni $x(t) = k AA t in RR$ con $k != 0$ non sono soluzioni del sistema... ma è davvero così semplice?
Al solito, ringrazio chiunque per una risposta pertinente. Ovviamente sono a disposizione per chiarimenti su quanto scritto. Ciao ciao!
dunque, mi sono imbattuto nel seguente esercizio e non sono sicuro della mia soluzione. siccome si tratta di parte di un tema d'esame che ho fallito vorrei essere sicuro di farlo bene.Si consideri l'equazione differenziale
$ddot x + ae^x dotx + g(x) = 0$, dove $g in C^infty$ e $g(0) =0, g'(0) = 1$
1) Studiare la stabilità lineare della soluzione costante x=0 al variare del parametro $a in RR$
2) Stabilire condizioni per g(x) sotto le quali x=0 sia l'unica soluzione costante.
Per il primo punto ho trasformato l'equazione in un sistema di due eq differenziali di primo ordine, ottenendo:
${(dot x = y), (dot y = - ae^x dotx - g(x)):}$
ora la domanda: l'esercizio mi dice di studiare la stabilità della soluzione x=0. Questo vuol dire che, siccome tutti gli equilibri di questo sistema hanno y=0, devo studiare la stabilità lineare del punto di equilibrio (0,0) al variare di a? O significa tutt'altro ed io, magari per non aver studiato bene, me lo sono perso?
Nel primo caso nessun problema, nel secondo beh, aspetto un aiutino
Invece per il secondo punto sono in dubbio: è ovvio che $x(t) = 0 AA t in RR$ sia soluzione dell'equazione con le condizioni su g già poste dal testo del problema. è sufficiente richiedere che sia $g(x) = 0 iff x=0$ per eliminare tutte le altre soluzioni costanti? In questo modo infatti tutte le funzioni $x(t) = k AA t in RR$ con $k != 0$ non sono soluzioni del sistema... ma è davvero così semplice?
Al solito, ringrazio chiunque per una risposta pertinente. Ovviamente sono a disposizione per chiarimenti su quanto scritto. Ciao ciao!
Risposte
up
per il secondo punto direi che bisogna imporre $g(x) ne 0,forall x ne 0$
si, è quello che ho detto in effetti quindi è giusto così? forte
quindi è giusto così? forte
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