Sistemi di riferimento in moto rotatorio
Buonasera a tutti, avrei un dubbio teorico nell'ambito della relatività galileiana riguardo alle leggi di trasformazione dell'accelerazione per un sistema di riferimento non inerziale in moto circolare uniforme.
Dall'uguaglianza dei vettori posizione (\( \vec{r}=\vec{r}' \)) per un punto P solidale con il sistema non inerziale, l'uno riferito al suddetto sistema e l'altro al sistema inerziale con origine coincidente a quella del primo, si ottiene facilmente che:
\( \vec{v}=\vec{v}'+\vec{\omega}\times\vec{r}'\hspace{0.5cm}\text{(1)} \).
Derivando ancora una volta per l'accelerazione, si ha:
\( \vec{a}=\dfrac{d\vec{v}'}{dt}+\vec{\omega}\times(\vec{v}'+\vec{\omega}\times\vec{r}')\hspace{0.5cm}\text{(2)} \).
Risulta, a quanto pare, che il termine \( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} \) vale \( \vec{a}'+\vec{\omega}\times\vec{v}' \). Questo, in forza della proprietà associativa del prodotto vettoriale, restituisce la cara legge della trasformazione delle accelerazioni con tanto di forza centrifuga e forza di Coriolis. Il problema, che si capisce bene essere puramente di carattere matematico, è proprio il calcolo della derivata della velocità. Il procedimento corretto sembra essere:
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \right) = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}. \)
Non capisco però perché, mentre nel derivare rispetto al tempo la posizione del corpo rispetto al sistema non inerziale si devono derivare anche i versori in quanto soggetti all'accelerazione centripeta, adesso nel derivarne la velocità si ignorino i versori e si derivino soltanto le componenti.
Tra l'altro, ho provato a fare il calcolo derivando anche i versori (quindi applicando la regola per la derivata di un prodotto) e il risultato è stato abbastanza curioso: la derivata viene uguale a \( \vec{a}'+2\vec{\omega}\times\vec{v}'+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}') \), ossia proprio la legge di trasformazione! A questo punto, però, bisognerebbe sostituire nella \( \text{(2)} \) e le cose si sfalserebbero. Perdonatemi se il dubbio nasce da una lacuna teorica, ma purtroppo non ho mai studiato seriamente Algebra Lineare, conosco soltanto Analisi 1 e qualche elemento di Analisi 2 e con questi cerco di affrontare al meglio lo studio della fisica. Spero che qualcuno possa chiarirmi le idee...!
Dall'uguaglianza dei vettori posizione (\( \vec{r}=\vec{r}' \)) per un punto P solidale con il sistema non inerziale, l'uno riferito al suddetto sistema e l'altro al sistema inerziale con origine coincidente a quella del primo, si ottiene facilmente che:
\( \vec{v}=\vec{v}'+\vec{\omega}\times\vec{r}'\hspace{0.5cm}\text{(1)} \).
Derivando ancora una volta per l'accelerazione, si ha:
\( \vec{a}=\dfrac{d\vec{v}'}{dt}+\vec{\omega}\times(\vec{v}'+\vec{\omega}\times\vec{r}')\hspace{0.5cm}\text{(2)} \).
Risulta, a quanto pare, che il termine \( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} \) vale \( \vec{a}'+\vec{\omega}\times\vec{v}' \). Questo, in forza della proprietà associativa del prodotto vettoriale, restituisce la cara legge della trasformazione delle accelerazioni con tanto di forza centrifuga e forza di Coriolis. Il problema, che si capisce bene essere puramente di carattere matematico, è proprio il calcolo della derivata della velocità. Il procedimento corretto sembra essere:
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \right) = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}. \)
Non capisco però perché, mentre nel derivare rispetto al tempo la posizione del corpo rispetto al sistema non inerziale si devono derivare anche i versori in quanto soggetti all'accelerazione centripeta, adesso nel derivarne la velocità si ignorino i versori e si derivino soltanto le componenti.
Tra l'altro, ho provato a fare il calcolo derivando anche i versori (quindi applicando la regola per la derivata di un prodotto) e il risultato è stato abbastanza curioso: la derivata viene uguale a \( \vec{a}'+2\vec{\omega}\times\vec{v}'+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}') \), ossia proprio la legge di trasformazione! A questo punto, però, bisognerebbe sostituire nella \( \text{(2)} \) e le cose si sfalserebbero. Perdonatemi se il dubbio nasce da una lacuna teorica, ma purtroppo non ho mai studiato seriamente Algebra Lineare, conosco soltanto Analisi 1 e qualche elemento di Analisi 2 e con questi cerco di affrontare al meglio lo studio della fisica. Spero che qualcuno possa chiarirmi le idee...!
Risposte
No, purtroppo non lo ha chiarito.
Provo ad esprimermi un po' meglio... Consideriamo due sistemi di riferimento con origine coincidente, uno dei quali è inerziale e in quiete, l'altro è non inerziale e in moto rotatorio uniforme (\( \vec{\omega} \) costante). Dato un punto materiale, il vettore posizione \( \vec{r} \) (che descrive la posizione del punto percepita da un osservatore solidale con il sistema inerziale) è uguale al vettore posizione \( \vec{r}' \) (che invece descrive la posizione del corpo percepita da un osservatore solidale con il sistema NON inerziale). Quindi:
\( \vec{r}=\vec{r}' \) ossia \( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=x'\hat{i}'+y'\hat{j}'+z'\hat{k}' \).
A questo punto, per ottenere una relazione fra le velocità del punto percepite dai due osservatori calcoliamo la derivata temporale dei due vettori, attenti a derivare a destra anche i versori (perché il sistema ruota e quindi nel tempo cambia anche la direzione dei versori). Otteniamo:
\( \vec{v}=\vec{v}'+\vec{\omega}\times\vec{r}' \).
Nel derivare una seconda volta per ottenere la legge di trasformazione delle accelerazioni, si giunge al membro di destra al calcolo di \( \dfrac{d^2\vec{r}'}{dt^2} \). Il procedimento corretto (che ho letto su Internet da fonti molto attendibili) vuole adesso che la derivata temporale seconda si svolga senza tenere conto della variazione nel tempo dei versori:
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \right) = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}. \)
Non capisco perché sia sbagliato derivare tutto quanto così:
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+x'\dfrac{d^2\hat{i}'}{dt^2}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+y'\dfrac{d^2\hat{j}'}{dt^2}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}+z'\dfrac{d^2\hat{k}'}{dt^2}. \)
Provo ad esprimermi un po' meglio... Consideriamo due sistemi di riferimento con origine coincidente, uno dei quali è inerziale e in quiete, l'altro è non inerziale e in moto rotatorio uniforme (\( \vec{\omega} \) costante). Dato un punto materiale, il vettore posizione \( \vec{r} \) (che descrive la posizione del punto percepita da un osservatore solidale con il sistema inerziale) è uguale al vettore posizione \( \vec{r}' \) (che invece descrive la posizione del corpo percepita da un osservatore solidale con il sistema NON inerziale). Quindi:
\( \vec{r}=\vec{r}' \) ossia \( x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=x'\hat{i}'+y'\hat{j}'+z'\hat{k}' \).
A questo punto, per ottenere una relazione fra le velocità del punto percepite dai due osservatori calcoliamo la derivata temporale dei due vettori, attenti a derivare a destra anche i versori (perché il sistema ruota e quindi nel tempo cambia anche la direzione dei versori). Otteniamo:
\( \vec{v}=\vec{v}'+\vec{\omega}\times\vec{r}' \).
Nel derivare una seconda volta per ottenere la legge di trasformazione delle accelerazioni, si giunge al membro di destra al calcolo di \( \dfrac{d^2\vec{r}'}{dt^2} \). Il procedimento corretto (che ho letto su Internet da fonti molto attendibili) vuole adesso che la derivata temporale seconda si svolga senza tenere conto della variazione nel tempo dei versori:
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \right) = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}. \)
Non capisco perché sia sbagliato derivare tutto quanto così:
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+x'\dfrac{d^2\hat{i}'}{dt^2}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+y'\dfrac{d^2\hat{j}'}{dt^2}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}+z'\dfrac{d^2\hat{k}'}{dt^2}. \)
Nello scrivere questo
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \right) = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}. \)
dai per implicito che
\( \vec{v}' = \dfrac{d\vec{r}'}{dt} = \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \)
------------------------------------------------------------------------
Se ho capito bene quello che stai facendo, questo e' corretto:
\( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} = \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \)
... ma questo NON e' corretto:
\( \vec{v}' = \dfrac{d\vec{r}'}{dt} \)
...mentre invece questo e' corretto:
\( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} = \vec{v}'+\vec{\omega}\times\vec{r}' \)
...e questo e' corretto:
\( \vec{v}' = \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}' \)
...e anche questo e' corretto:
\( \vec{\omega}\times\vec{r}' = x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \)
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \right) = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt}. \)
dai per implicito che
\( \vec{v}' = \dfrac{d\vec{r}'}{dt} = \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \)
------------------------------------------------------------------------
Se ho capito bene quello che stai facendo, questo e' corretto:
\( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} = \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'+x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \)
... ma questo NON e' corretto:
\( \vec{v}' = \dfrac{d\vec{r}'}{dt} \)
...mentre invece questo e' corretto:
\( \dfrac{d\vec{r}'}{dt} = \vec{v}'+\vec{\omega}\times\vec{r}' \)
...e questo e' corretto:
\( \vec{v}' = \dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}' \)
...e anche questo e' corretto:
\( \vec{\omega}\times\vec{r}' = x'\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+y'\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+z'\dfrac{d\hat{k}'}{dt} \)
@_clockwise
Mi sa che stai facendo confusione tra vettori scritti rispetto al sistema inerziale esterno e vettori scritti rispetto al sistema mobile.
Quinzio credo abbia centrato il punto.
La procedura generale più semplice, una volta compreso come derivare un vettore generico nel tempo se il vettore è scritto rispetto ad una terna mobile, é in quel link, se capisci quei passaggi tutto dovrebbe diventarti chiaro.
Mi sa che stai facendo confusione tra vettori scritti rispetto al sistema inerziale esterno e vettori scritti rispetto al sistema mobile.
Quinzio credo abbia centrato il punto.
La procedura generale più semplice, una volta compreso come derivare un vettore generico nel tempo se il vettore è scritto rispetto ad una terna mobile, é in quel link, se capisci quei passaggi tutto dovrebbe diventarti chiaro.
Grazie mille, problema risolto. La svista è sempre stata proprio questa, dare per scontato (erroneamente) che \( \vec{v}' = \dfrac{d\vec{r}'}{dt} \).
In realtà:
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'\right) = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt} = \vec{a}'+\vec{\omega}\times\vec{v}' \)
in cui deriviamo anche i versori!
Vi ringrazio ancora per l'aiuto prezioso.
In realtà:
\( \dfrac{d\vec{v}'}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx'}{dt}\hat{i}'+\dfrac{dy'}{dt}\hat{j}'+\dfrac{dz'}{dt}\hat{k}'\right) = \dfrac{d^2x'}{dt^2}\hat{i}'+\dfrac{d^2y'}{dt^2}\hat{j}'+\dfrac{d^2z'}{dt^2}\hat{k}'+\dfrac{dx'}{dt}\dfrac{d\hat{i}'}{dt}+\dfrac{dy'}{dt}\dfrac{d\hat{j}'}{dt}+\dfrac{dz'}{dt}\dfrac{d\hat{k}'}{dt} = \vec{a}'+\vec{\omega}\times\vec{v}' \)
in cui deriviamo anche i versori!
Vi ringrazio ancora per l'aiuto prezioso.
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