Sistemi di punti materiali : Corpo lanciato su un cuneo
Un corpo puntiforme di massa m viene lanciato con velocità v0 lungo il piano inclinato di un cuneo di massa M, inizialmente fermo su un piano orizzontale liscio e libero di traslare su di esso. L’altezza del cuneo è h, $ alpha $ l’angolo di inclinazione del piano inclinato. Il corpo di massa m viene lanciato dalla base del cuneo come mostrato nella figura. Calcolare il modulo della velocità v0 che consente al corpo m di arrivare in cima al piano inclinato con velocità nulla rispetto al cuneo nei due seguenti casi: (a) l’attrito tra M e m è trascurabile; (b) l’attrito tra M e m non è trascurabile e $ W_(f_d) $ è il lavoro compiuto dalla forza di attrito.
Salve, ho riportato il testo di un esercizio di Fisica 1. Ho provato a risolverlo ma non sono sicuro dei risultati ottenuti. Per questo chiedo il supporto di qualcuno che magari ha più esperienza di me o che abbia fatto un esercizio simile.
Caso A :
Ho scritto che la risultante delle forze esterne al sistema è uguale a $ (m + M)*a_(CM) $ e che la componente orizzontale di tale risultante sia pari a zero (non essendoci forze che agiscono in quella direzione). Di conseguenza la quantità di moto in x si conserva, cioè $ P_x = 0 $. Scriverò che $ mv_0cosalpha = (m + M)v_(CM) $; trovo la $ v_(CM) $ e passo all'energia meccanica.
$ Delta E_k + Delta E_p = 0 $
$ 1/2(m+M)v_(CM)^2-1/2mv_0+mgh = 0 $
svolgendo i calcoli trovo che :
$ v_0 = sqrt(2((m +M )-mgh)/(m(mcos^2alpha)) $
Punto B:
Nel punto B essendo adesso presente la forza d'attrito dinamico sicuramente l'energia meccanica non si conserverà. Apparentemente nemmeno la quantità di moto, ma considerando il sistema di riferimento del centro di massa la quantità di moto si conserva sempre; da questo punto in poi non sono tanto sicuro di ciò che ho scritto. La velocità del CM è sempre la stessa; stavolta l'energia meccanica è pari à $ W_(f_d) $ ; Il lavoro della forza d'attrito l'ho trovato così; $ W_(f_d) = -mu_dNDeltax rArr -mu_dmgcosalphaDeltax $
$ Deltax $ rappresenta l'ipotenusa del cuneo che posso calcolare come $ h/(sinalpha) $ Il lavoro della forza d'attrito è negativo poiché l'angolo che si viene a formare con lo spostamento $ Deltax $ è di 180 gradi. Alla fine l'energia meccanica è pari a:
$ 1/2(m+M)v_(CM)^2-1/2mv_0+mgh $ = $ -mu_dmgcosalphaDeltax $
svolgendo i calcoli ottengo che :
$ v_0 = sqrt((2(m+M)[-(mgh(mu_dcosalpha-sinalpha)/sinalpha)])/(m(mcos^2alpha))) $
Da questo calcolo risulta che la velocità ha segno negativo e quindi non è corretto. Aspetto un vostro riscontro, grazie.
Salve, ho riportato il testo di un esercizio di Fisica 1. Ho provato a risolverlo ma non sono sicuro dei risultati ottenuti. Per questo chiedo il supporto di qualcuno che magari ha più esperienza di me o che abbia fatto un esercizio simile.
Caso A :
Ho scritto che la risultante delle forze esterne al sistema è uguale a $ (m + M)*a_(CM) $ e che la componente orizzontale di tale risultante sia pari a zero (non essendoci forze che agiscono in quella direzione). Di conseguenza la quantità di moto in x si conserva, cioè $ P_x = 0 $. Scriverò che $ mv_0cosalpha = (m + M)v_(CM) $; trovo la $ v_(CM) $ e passo all'energia meccanica.
$ Delta E_k + Delta E_p = 0 $
$ 1/2(m+M)v_(CM)^2-1/2mv_0+mgh = 0 $
svolgendo i calcoli trovo che :
$ v_0 = sqrt(2((m +M )-mgh)/(m(mcos^2alpha)) $
Punto B:
Nel punto B essendo adesso presente la forza d'attrito dinamico sicuramente l'energia meccanica non si conserverà. Apparentemente nemmeno la quantità di moto, ma considerando il sistema di riferimento del centro di massa la quantità di moto si conserva sempre; da questo punto in poi non sono tanto sicuro di ciò che ho scritto. La velocità del CM è sempre la stessa; stavolta l'energia meccanica è pari à $ W_(f_d) $ ; Il lavoro della forza d'attrito l'ho trovato così; $ W_(f_d) = -mu_dNDeltax rArr -mu_dmgcosalphaDeltax $
$ Deltax $ rappresenta l'ipotenusa del cuneo che posso calcolare come $ h/(sinalpha) $ Il lavoro della forza d'attrito è negativo poiché l'angolo che si viene a formare con lo spostamento $ Deltax $ è di 180 gradi. Alla fine l'energia meccanica è pari a:
$ 1/2(m+M)v_(CM)^2-1/2mv_0+mgh $ = $ -mu_dmgcosalphaDeltax $
svolgendo i calcoli ottengo che :
$ v_0 = sqrt((2(m+M)[-(mgh(mu_dcosalpha-sinalpha)/sinalpha)])/(m(mcos^2alpha))) $
Da questo calcolo risulta che la velocità ha segno negativo e quindi non è corretto. Aspetto un vostro riscontro, grazie.
Risposte
"parsifal_7366":
$ 1/2(m+M)v_(CM)^2-1/2mv_0^2+mgh = 0 $
svolgendo i calcoli trovo che :
$ v_0 = sqrt(2((m +M )-mgh)/(m(mcos^2alpha)) $
Ho aggiunto un quadrato di $v_0$ che hai dimenticato di scrivere.
Poi però, vedo, sotto radice, un $(m + M) - mgh$, che proprio non ci sta dimensionalmente, quindi comincia a correggere questo....
Ciao, vorrei sapere se l'equazione della conservazione dell'energia l'ho scritta correttamente nel caso a; perchè se è sbagliata questa probabilmente il problema nasce prima
Se intendi
direi di sì: L'energia iniziale è $1/2mv_0^2$ e quella finale è $1/2(m+M)v_(CM)^2 + mgh$
"parsifal_7366":
$ 1/2(m+M)v_(CM)^2-1/2mv_0^2+mgh = 0 $
direi di sì: L'energia iniziale è $1/2mv_0^2$ e quella finale è $1/2(m+M)v_(CM)^2 + mgh$
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