Sistemi a massa variabile

[cristian.vitali.102]

Ciao a tutti, sono alle prese con un problema su sistemi a massa variabile.

E' il calssico esercizio del razzo a riposo nello spazio, che espelle carburante. Mi chiede di calcolare il rapporto tra la massa iniziale e quella finale dopo un periodo di attività del motore in modo tale che:

a) la velocità finale sia uguale alla velocità di espulsione dei gas di scarico;
b) la velocità finale sia uguale al doppio della velocità di espulsione dei gas di scarico.

Poichè non si hanno forze esterne la quantità di moto si conserva e risulta $M (dv)/dt=v_(rel) (dM)/dt$

Non avendo nessun dato a disposizione oltre a $v_f=v_(rel)$ e $v_f=2v_(rel)$, non riesco a capire come risalire al rapporto tra le masse.

[RenzoDF]

Direi che sia sottinteso che la velocità iniziale sia nulla ... e di conseguenza, dalla equazione differenziale da te indicata (occhio ai segni), scritta per "comodità" ... come segue

$ \dot (v)=-v_{rel}\frac{\dot M}{M}$

avremo che

$v_f= ...$

[cristian.vitali.102]

ok quindi:



$dv=-v_(rel) (dM)/M$

integriamo ottenendo

$v=-v_(rel)ln(M)+K$

per $t=0$ si ha $v=0$ e $M=M_0$ da cui:

$K=v_(rel)ln(M_0)$

$v=-v_(rel)ln(M)+v_(rel)ln(M_0)= v_(rel)ln(M_0/M)$

$M_0/M=e^(v/v_(rel))$

dove v=..

a) $v_(rel)$
b) $2v_(rel)$

quindi si ha rispettivamente $e^1$ ed $e^2$.

è corretto?