Sistema olonomo a 2 gradi di libertà
Ciao a tutti!
ho questo problema:
quando devo trovare le "coordinate dei punti significativi" (utili per il calcolo del potenziale totale delle forze attive agenti sul sistema) non riesco a capire come si arrivi a quelle di G (che immagino sia nel centro del quadrato, visto che "è omogeneo")
per il punto P il libro scrive:
$ P = (u cos(theta), u sin(theta)) $
che infatti trovo abbastanza agilmente:
il problema arriva con G.
Essendo il baricentro del quadrato immagino che debba trovarlo "aggiungendo e togliendo qualcosa" alle coordinate di P
(infatti il libro scrive:
$ G = (ucos(theta) - lsin(theta), u sin(theta) + lcos(theta)) $ )
ma non riesco a capire come
avevo pensato a una cosa del genere:
(se ho l'angolo $theta$ (in rosso) posso ricavare tramite gli angoli complementari i valori di altri angoli - in giallo e verde - che mi permettano di ribaltare, ad esempio sulle ascisse (caso angolo verde), le quantità coseno in seno per poi sommarle a quelle di P, ma non riesco a capire come collegarle con i lati $l$ e le coordinate trovate del punto P)
Qualcuno mi spieghi come posso fare ..please :'(
ho questo problema:
quando devo trovare le "coordinate dei punti significativi" (utili per il calcolo del potenziale totale delle forze attive agenti sul sistema) non riesco a capire come si arrivi a quelle di G (che immagino sia nel centro del quadrato, visto che "è omogeneo")
per il punto P il libro scrive:
$ P = (u cos(theta), u sin(theta)) $
che infatti trovo abbastanza agilmente:
il problema arriva con G.
Essendo il baricentro del quadrato immagino che debba trovarlo "aggiungendo e togliendo qualcosa" alle coordinate di P
(infatti il libro scrive:
$ G = (ucos(theta) - lsin(theta), u sin(theta) + lcos(theta)) $ )
ma non riesco a capire come
avevo pensato a una cosa del genere:
(se ho l'angolo $theta$ (in rosso) posso ricavare tramite gli angoli complementari i valori di altri angoli - in giallo e verde - che mi permettano di ribaltare, ad esempio sulle ascisse (caso angolo verde), le quantità coseno in seno per poi sommarle a quelle di P, ma non riesco a capire come collegarle con i lati $l$ e le coordinate trovate del punto P)
Qualcuno mi spieghi come posso fare ..please :'(
Risposte
Preso il sistem di riferimento com in figura, Puoi scrivere semplicemente che:
$\vec{OG}=u*\vec{AB}+\vec{PG}$
Ovviamente AB e' il versore associato al lato. E se chiamiamo $\vec{n}$ il versore ortogonale al versore AB nel senso della rotaazione:
$\vec{OG}=u*\vec{AB}+L*\vec{n}$
Moltiplica scalarmente per $\vec{i}$ e $\vec{j}$ e ora il compito dovrebbe essere facilitato.
Se non ci riesci riscrivi
$\vec{OG}=u*\vec{AB}+\vec{PG}$
Ovviamente AB e' il versore associato al lato. E se chiamiamo $\vec{n}$ il versore ortogonale al versore AB nel senso della rotaazione:
$\vec{OG}=u*\vec{AB}+L*\vec{n}$
Moltiplica scalarmente per $\vec{i}$ e $\vec{j}$ e ora il compito dovrebbe essere facilitato.
Se non ci riesci riscrivi
"professorkappa":
$\vec{OG}=u*\vec{AB}+\vec{PG}$
$u*\vec{AB}$ sarebbe OP?
cioè in pratica $OG = OP + PG$ per la regola di sommatoria dei vettori?
e per altro poichè definiva $ u = OP*\ vers(AB)$ ---> $\vec{OG}=u*\vec{AB}+\vec{PG}$ ---> $\vec{OG}= OP *\vers(AB)*\vec{AB}+\vec{PG}$
e quindi $OP *\vers(AB)*\vec{AB}$ = OP ?
Yes
$OP *\vers(AB)*\vec{AB}$ = OP ?
"YES" anche per quest'ultima relazione? (che poi in pratica sarebbe quello che chiedevo all'inizio in maniera più concisa)
No, mi sembra che all'inizio chiedessi come si calcolano le coordinate di G in funzione delle coordinate lagrangiane perche non ti spiegavi come ci arrivava il libro.
La relazione e' sbagliata. il risultato di quella relazione e' il prodotto dei muduli di AB e OP ($AB*OP$)
La relazione e' sbagliata. il risultato di quella relazione e' il prodotto dei muduli di AB e OP ($AB*OP$)
ma scusa tu quando scrivi $u *\ \vec{AB}$ con $vec{AB}$ intendi il "vettore AB" o il "versore AB"?
perchè se intendi il vettore io non capisco, a questo punto, perchè non potrei sostituire ad $u$ la relazione data nei dati dal libro..
io non riesco a capire come si opera con i versori in generale.. cioè quando lavoro con le terne cartesiane usuali (i, j, k) so che i versori servono a far capire come è orientato il vettore.. ma qui io non capisco perchè devo prendere dei versori tangenti e ortogonali ad AB quando il sistema di riferimento fisso Oxy è orientato in altra maniera..
cioè alla fine l'orientazione di AB varia in continuazione.. perchè prendere quella?
E poi ad esempio: se $u = OP *\vers{AB}$, OP non dovrebbe essere $OP = u/ (vers{AB})$
perchè se intendi il vettore io non capisco, a questo punto, perchè non potrei sostituire ad $u$ la relazione data nei dati dal libro..
io non riesco a capire come si opera con i versori in generale.. cioè quando lavoro con le terne cartesiane usuali (i, j, k) so che i versori servono a far capire come è orientato il vettore.. ma qui io non capisco perchè devo prendere dei versori tangenti e ortogonali ad AB quando il sistema di riferimento fisso Oxy è orientato in altra maniera..
cioè alla fine l'orientazione di AB varia in continuazione.. perchè prendere quella?
E poi ad esempio: se $u = OP *\vers{AB}$, OP non dovrebbe essere $OP = u/ (vers{AB})$
Io ti ho scritto che $\vec{AB}$ e' il versore associato al lato.
Tu, d'altra parte, hai scritto $vers(AB)$ facendomi pensare che per te $\vec{AB}$ NON e' il versore.
Tagliamo la testa al toro, il versore lungo il lato lo chiamiamo $\vec{tau}$ e quello ortogonale $\vec{mu}$.
Ora, il vettore OG lo puoi scrivere come:
$\vec{OG}=\vec{OP}+\vec{PG}=u\vec{\tau}+L\vec{\mu}$
Scomponi lungo i e j e ottieni esattamente lo stesso risultato.
Meglio?
Tu, d'altra parte, hai scritto $vers(AB)$ facendomi pensare che per te $\vec{AB}$ NON e' il versore.
Tagliamo la testa al toro, il versore lungo il lato lo chiamiamo $\vec{tau}$ e quello ortogonale $\vec{mu}$.
Ora, il vettore OG lo puoi scrivere come:
$\vec{OG}=\vec{OP}+\vec{PG}=u\vec{\tau}+L\vec{\mu}$
Scomponi lungo i e j e ottieni esattamente lo stesso risultato.
Meglio?
credo piu o meno di aver capito.. ci provo
credo di aver capito.. profK ti chiederei gentilmente di darmi conferma del fatto che non ho scritto minchiate 
[posto le immagini perchè magari possono aiutare anche altri che abbiano il mio stesso problema]
che ne dite?
[posto le immagini perchè magari possono aiutare anche altri che abbiano il mio stesso problema]
che ne dite?
Hai fatto una vagonata di calcoli.
Va bene, ma bastava considerare che, come scritto all'inizio:
$\vec{OG}=u\vec{tau}+L\vec{\mu}$
Adesso moltiplica entrambi i membri prima per $\vec{i}$ e poi per $\vec{j}$, ricordandoti che il prodotto scalare tra due vettori altro non e' che la proiezione di un vettore sull'altro vettore
$\vec{OG}*\vec{i}=x_G$ e $\vec{OG}*\vec{j}=y_G$
$\vec{\tau}*\vec{i} = cos\theta$ (proiezione di $\vec{\tau}$ su $\vec{i}$
$\vec{\mu}*\vec{i} = -sin\theta$ (proiezione di $\vec{\mu}$ su $\vec{i}$, negativa, perche la proiezione e' opposta a $\vec{i}$
$\vec{\tau}*\vec{j} = sin\theta$ (proiezione di $\vec{\tau}$ su $\vec{j}$
$\vec{\mu}*\vec{j} = cos\theta$ (proiezione di $\vec{\mu}$ su $\vec{j}$
Da qui, trovi esattamente le formule che hai trovato tu un po' piu' laboriosamente.
Va bene, ma bastava considerare che, come scritto all'inizio:
$\vec{OG}=u\vec{tau}+L\vec{\mu}$
Adesso moltiplica entrambi i membri prima per $\vec{i}$ e poi per $\vec{j}$, ricordandoti che il prodotto scalare tra due vettori altro non e' che la proiezione di un vettore sull'altro vettore
$\vec{OG}*\vec{i}=x_G$ e $\vec{OG}*\vec{j}=y_G$
$\vec{\tau}*\vec{i} = cos\theta$ (proiezione di $\vec{\tau}$ su $\vec{i}$
$\vec{\mu}*\vec{i} = -sin\theta$ (proiezione di $\vec{\mu}$ su $\vec{i}$, negativa, perche la proiezione e' opposta a $\vec{i}$
$\vec{\tau}*\vec{j} = sin\theta$ (proiezione di $\vec{\tau}$ su $\vec{j}$
$\vec{\mu}*\vec{j} = cos\theta$ (proiezione di $\vec{\mu}$ su $\vec{j}$
Da qui, trovi esattamente le formule che hai trovato tu un po' piu' laboriosamente.
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