Sistema olonomo
Buongiorno a tutti, avrei un problema riguardante la definizione di sistema olonomo.
Sia \(\displaystyle P_1 , ... , P_N \) un sistema materiale discreto. FIssiamo un sistema di riferimento inerziale avente origine in \(\displaystyle O \). Allora \(\displaystyle P_i -O=(x_i (t) , y_i (t) , z_i (t)) \) rispetto a questo riferimento. Si dice che il sistema è vincolato a vincoli olonomi se le coordinate cartesiane dei punti soddisfino le seguenti equazioni:
\(\displaystyle \matrix{f_1 (x_1 , y_1 , z_1 , x_2 , ... , z_N ;t)=0 \\ \vdots \\ f_m (x_1 , y_1 , z_1 , x_2 , ... , z_N ;t)=0} \)
(si suppone che tutte le funzioni coinvolte siano almeno differenziabili).
Nei sistemi olonomi, è possibile descrivere il sistema attraverso un numero \(\displaystyle n \) finito di parametri indipendenti e necessari (ovvero non bastano \(\displaystyle n-1 \) parametri per descrivere il moto, e non esistono correlazioni finite tra i parametri). Ora, io mi chiedo: nella condizione di sistema olonomo richiediamo che la matrice Jacobiana
\(\displaystyle \left ( \matrix{
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} \
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} \
\frac{\partial f_1}{\partial z_1} \
\dots \
\frac{\partial f_1}{\partial x_N} \
\frac{\partial f_1}{\partial y_N} \
\frac{\partial f_1}{\partial z_N} \\
\vdots \
\
\
\
\
\
\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} \
\frac{\partial f_m}{\partial y_1} \
\frac{\partial f_m}{\partial z_1} \
\dots \
\frac{\partial f_m}{\partial x_N} \
\frac{\partial f_m}{\partial y_N} \
\frac{\partial f_m}{\partial z_N}} \right ) \)
abbia rango massimo (in un generico punto)? (Supponiamo che \(\displaystyle m<3N \) ) Se così non fosse, come potrei fare ad esplicitare \(\displaystyle m \) parametri in funzione dei \(\displaystyle 3N-m \) rimanenti, che costituirebbero il set di coordinate lagrangiane?
Sia \(\displaystyle P_1 , ... , P_N \) un sistema materiale discreto. FIssiamo un sistema di riferimento inerziale avente origine in \(\displaystyle O \). Allora \(\displaystyle P_i -O=(x_i (t) , y_i (t) , z_i (t)) \) rispetto a questo riferimento. Si dice che il sistema è vincolato a vincoli olonomi se le coordinate cartesiane dei punti soddisfino le seguenti equazioni:
\(\displaystyle \matrix{f_1 (x_1 , y_1 , z_1 , x_2 , ... , z_N ;t)=0 \\ \vdots \\ f_m (x_1 , y_1 , z_1 , x_2 , ... , z_N ;t)=0} \)
(si suppone che tutte le funzioni coinvolte siano almeno differenziabili).
Nei sistemi olonomi, è possibile descrivere il sistema attraverso un numero \(\displaystyle n \) finito di parametri indipendenti e necessari (ovvero non bastano \(\displaystyle n-1 \) parametri per descrivere il moto, e non esistono correlazioni finite tra i parametri). Ora, io mi chiedo: nella condizione di sistema olonomo richiediamo che la matrice Jacobiana
\(\displaystyle \left ( \matrix{
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} \
\frac{\partial f_1}{\partial y_1} \
\frac{\partial f_1}{\partial z_1} \
\dots \
\frac{\partial f_1}{\partial x_N} \
\frac{\partial f_1}{\partial y_N} \
\frac{\partial f_1}{\partial z_N} \\
\vdots \
\
\
\
\
\
\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} \
\frac{\partial f_m}{\partial y_1} \
\frac{\partial f_m}{\partial z_1} \
\dots \
\frac{\partial f_m}{\partial x_N} \
\frac{\partial f_m}{\partial y_N} \
\frac{\partial f_m}{\partial z_N}} \right ) \)
abbia rango massimo (in un generico punto)? (Supponiamo che \(\displaystyle m<3N \) ) Se così non fosse, come potrei fare ad esplicitare \(\displaystyle m \) parametri in funzione dei \(\displaystyle 3N-m \) rimanenti, che costituirebbero il set di coordinate lagrangiane?
Risposte
Ciao! Le tue domande sono un po' ambigue/confuse/malposte quindi è difficile risponderti seguendole letteralmente. Facciamo così: ti spiego come stanno le cose poi mi dici se ti ho risposto.
Innanzi tutto, tu ti chiedi
Questa domanda ha poco senso. Innanzi tutto, l'olonomia dei vincoli non ha nulla a che vedere con la matrice jacobiana, quindi non si "richiede" nulla ad essa ai fini dell'olonomia. La condizione di rango massimo, invece, garantisce l'indipendenza funzionale delle \(\displaystyle m \) equazioni vincolari. Qunindi, se \(\displaystyle r \) è il rango della matrice jacobiana, allora può succedere che (mettiamoci nell'ipotesi \(\displaystyle m<3N \):
\(\displaystyle r
\(\displaystyle r=m \), e quindi il rango è massimo, e quindi ciascuna delle m le equazioni contribuisce a diminuire di 1 i gradi di libertà del sistema
In ogni caso, i parametri indipendenti (cioè il numero di coordinate lagrangiane) è dato da \(\displaystyle n=3N-r \), (che solo nel caso in cui la jacobiana abbia rango massimo, diventa $n=3N-m$).
Detto ciò, credo di aver capito che tu vuoi sapere come si fa a ricavarsi le altre $r$ varabili a partire dalle coordinate lagrangiane.
Nell'ipotesi che le coordinate lagrangiane scelte (ma non è mai così....) siano $n$ delle $3N$ variabili del sistema, allora basta risolvere il sistema delle equazioni vincolari rispetto alle $r$ variabili cercate. Tale possibilità, almeno da un punto di vista teorico, ti è garantita dal teorema della funzione implicità (il teorema del Dini) ma ovviamente ciò non significa che sia possibile ricavare analiticamente (cioè in termini di funzioni elementari) l'espressione delle r variabili. Male che ti va, il teorema ti garantisce che lo puoi fare numericamente.
Se invece le $n$ coordinate lagrangiane te le sei definite per conto tuo, allora devi usare, oltre che le equazioni vincolari, anche le equazioni che legano le tue coordinate lagrangiane alle coordinate cartesiane del sistema.
Spero di averti risposto...
Innanzi tutto, tu ti chiedi
"bestiedda2":
Ora, io mi chiedo: nella condizione di sistema olonomo richiediamo che la matrice Jacobiana abbia rango massimo (in un generico punto)?
Questa domanda ha poco senso. Innanzi tutto, l'olonomia dei vincoli non ha nulla a che vedere con la matrice jacobiana, quindi non si "richiede" nulla ad essa ai fini dell'olonomia. La condizione di rango massimo, invece, garantisce l'indipendenza funzionale delle \(\displaystyle m \) equazioni vincolari. Qunindi, se \(\displaystyle r \) è il rango della matrice jacobiana, allora può succedere che (mettiamoci nell'ipotesi \(\displaystyle m<3N \):
\(\displaystyle r
\(\displaystyle r=m \), e quindi il rango è massimo, e quindi ciascuna delle m le equazioni contribuisce a diminuire di 1 i gradi di libertà del sistema
In ogni caso, i parametri indipendenti (cioè il numero di coordinate lagrangiane) è dato da \(\displaystyle n=3N-r \), (che solo nel caso in cui la jacobiana abbia rango massimo, diventa $n=3N-m$).
Detto ciò, credo di aver capito che tu vuoi sapere come si fa a ricavarsi le altre $r$ varabili a partire dalle coordinate lagrangiane.
Nell'ipotesi che le coordinate lagrangiane scelte (ma non è mai così....) siano $n$ delle $3N$ variabili del sistema, allora basta risolvere il sistema delle equazioni vincolari rispetto alle $r$ variabili cercate. Tale possibilità, almeno da un punto di vista teorico, ti è garantita dal teorema della funzione implicità (il teorema del Dini) ma ovviamente ciò non significa che sia possibile ricavare analiticamente (cioè in termini di funzioni elementari) l'espressione delle r variabili. Male che ti va, il teorema ti garantisce che lo puoi fare numericamente.
Se invece le $n$ coordinate lagrangiane te le sei definite per conto tuo, allora devi usare, oltre che le equazioni vincolari, anche le equazioni che legano le tue coordinate lagrangiane alle coordinate cartesiane del sistema.
Spero di averti risposto...
ma allora qual è la definizione di sistema olonomo?
"bestiedda2":
ma allora qual è la definizione di sistema olonomo?
Sistema con vincoli olonomi, ovvero dipendenti esclusivamente dalle coordinate ed, eventualmente, dal tempo, ma non dalle velocità.
"giuliofis":
[quote="bestiedda2"]ma allora qual è la definizione di sistema olonomo?
Sistema con vincoli olonomi, ovvero dipendenti esclusivamente dalle coordinate ed, eventualmente, dal tempo, ma non dalle velocità.[/quote]
ecco, (aggiungiamoci la bilateralità) allora non riesco a capire perchè queste condizioni siano equivalenti al fatto che il sistema possa essere descritto attraverso un numero finito di parametri indipendenti e necessari?
"bestiedda2":
[quote="giuliofis"][quote="bestiedda2"]ma allora qual è la definizione di sistema olonomo?
Sistema con vincoli olonomi, ovvero dipendenti esclusivamente dalle coordinate ed, eventualmente, dal tempo, ma non dalle velocità.[/quote]
ecco, (aggiungiamoci la bilateralità) allora non riesco a capire perchè queste condizioni siano equivalenti al fatto che il sistema possa essere descritto attraverso un numero finito di parametri indipendenti e necessari?[/quote]
Devo ancora studiarla Meccanica Analitica, quindi passo.
"bestiedda2":
allora non riesco a capire perchè queste condizioni siano equivalenti al fatto che il sistema possa essere descritto attraverso un numero finito di parametri indipendenti e necessari?
Se tu hai $N$ punti materiali, non soggetti a nessun vincolo, hai bisogno di $3N$ coordinate per descriverne la configurazione (3 per ciascun punto) ci sei? Ora, se hai $r$ equazioni indipendenti che legano tra loro le coordinate dei punti, allora significa (per quanto ho detto nell'altro post) che $r$ coordinate possono essere ricavate dalle altre $3N-r$. Dunque, il numero di parametri (o variabili, o coordinate generalizzate, o come altro le vogliamo chiamare...) indipendenti di cui hai bisogno per descrivere completamente la configurazione del sistema è $n=3N-r$
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