Sistema molla-massa
Ciao a tutti! Ho questo problema
Una massa $m$ é appesa ad una molla che ha lunghezza a riposo $l$. Il sistema é messo in rotazione con velocità angolare costante $ omega $. La molla forma una angolo $ alpha $ con la verticale.
Devo calcolare l allungamento della molla e la costante elastica $k$.
Prima trovo il raggio $ r=l sin(alpha) $ e la velocità $ v=omega r$
Per trovare l allungamento della molla cosa devo considerare?
Una massa $m$ é appesa ad una molla che ha lunghezza a riposo $l$. Il sistema é messo in rotazione con velocità angolare costante $ omega $. La molla forma una angolo $ alpha $ con la verticale.
Devo calcolare l allungamento della molla e la costante elastica $k$.
Prima trovo il raggio $ r=l sin(alpha) $ e la velocità $ v=omega r$
Per trovare l allungamento della molla cosa devo considerare?
Risposte
Applicando le equazioni cardinali della dinamica si ottiene il sistema:
\(\displaystyle -kx\sin \alpha -R\sin \alpha =ma_{x} \)
\(\displaystyle -mg+kx\cos \alpha +R\cos \alpha =ma_{y} \)
\(\displaystyle -mg\left( l+x \right)\sin \alpha =-\omega mv\left( l+x \right)\cos \alpha \)
dove \(\displaystyle \omega \) è la velocità di rotazione, \(\displaystyle \alpha \) è l'angolo tra molla e asse, \(\displaystyle x \) l'allungamento della molla, \(\displaystyle l \) la sua lunghezza a riposo, \(\displaystyle v \) la velocità del punto materiale, \(\displaystyle a_x \) l'accelerazione lungo l'asse x e analogamente per l'asse y, \(\displaystyle R \) la reazione del cardine.
Gli assi li ho scelti centrati nel cardine.
Sai inoltre che l'accelerazione è centripeta perché il moto circolare è a velocità angolare fissa e che la velocità lineare è legata a quella angolare da una relazione ben precisa che coinvolge il raggio (distanza tra punto e asse).
Ora continua tu
PS: La massa della molla l'ho assunta trascurabile, la traccia per caso dice che non lo è?
\(\displaystyle -kx\sin \alpha -R\sin \alpha =ma_{x} \)
\(\displaystyle -mg+kx\cos \alpha +R\cos \alpha =ma_{y} \)
\(\displaystyle -mg\left( l+x \right)\sin \alpha =-\omega mv\left( l+x \right)\cos \alpha \)
dove \(\displaystyle \omega \) è la velocità di rotazione, \(\displaystyle \alpha \) è l'angolo tra molla e asse, \(\displaystyle x \) l'allungamento della molla, \(\displaystyle l \) la sua lunghezza a riposo, \(\displaystyle v \) la velocità del punto materiale, \(\displaystyle a_x \) l'accelerazione lungo l'asse x e analogamente per l'asse y, \(\displaystyle R \) la reazione del cardine.
Gli assi li ho scelti centrati nel cardine.
Sai inoltre che l'accelerazione è centripeta perché il moto circolare è a velocità angolare fissa e che la velocità lineare è legata a quella angolare da una relazione ben precisa che coinvolge il raggio (distanza tra punto e asse).
Ora continua tu
PS: La massa della molla l'ho assunta trascurabile, la traccia per caso dice che non lo è?
Quindi $r=l sin(alpha)$ , $a= omega^2 r$, $a_x=a cos (alpha)$ e $a_y= a sin (alpha)$ e $ v= omega r$
Dalle equazioni scritte sopra trovo $R$ $x$ e $k$?
Giusto?
Dalle equazioni scritte sopra trovo $R$ $x$ e $k$?
Giusto?
Attento al raggio, non hai considerato l'allungamento, quella è solo la lunghezza riposo della molla.
$r=(l+x) sin(alpha)$?
Ma l ultima equazione del sistema cosa uguaglia?
Momenti delle forze e derivata del momento angolare.
E se voglio trovare il lavoro della molla per ogni rivoluzione?
$ L=int_(0)^(2 pi) -kx dx $
dove $x=R/sin(alpha) -l$?
$ L=int_(0)^(2 pi) -kx dx $
dove $x=R/sin(alpha) -l$?
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