Sistema meccanico - Forza conservativa
Stavolta credo di aver fatto bene la cinetica, mentre il potenziale non son riuscito a farlo, per la presenza di questa forza conservativa che non sapevo come considerarla nel potenziale(p.s. occhio che in questo sistema la forza peso non va considerata, è un sitema meccanico orizzontale 
)
http://imageshack.us/content_round.php? ... ad&newlp=1
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Risposte
$V(x_1,x_2)=3/2kx_1^2+kx_2^2+C rarr U(x_1,x_2)=-3/2kx_1^2-kx_2^2+C$
Quindi, al posto di $x_1$ e $x_2$, dovrai sostituire le loro espressioni in funzione delle coordinate lagrangiane $\phi$ e $s$.
Quindi, al posto di $x_1$ e $x_2$, dovrai sostituire le loro espressioni in funzione delle coordinate lagrangiane $\phi$ e $s$.
Si tratta di trovare il potenziale della forza conservativa $F=(3x^1"e"_1+2x^2"e"_2)$.
E volutamente ho segnato gli indici in alto -perchè quelle sono le componenti controvarianti della forza.
Per trovare il potenziale, bisogna passare all'espressione di una forma differenziale, in cui le componenti
sono covarianti. Poichè stiamo lavorando in ambiente cartesiano ortogonale, esse coincidono con le componenti controvarianti.
Cioè hanno lo stesso valore, seppure sono entità diverse.
La forma differenziale è dunque:
$\delta_"i1"F^1"d"x^1+\delta_"j2"F^2"d"x^2=3kx_1"d"x^1+2kx_2"d"x^2$
A questo punto si trova la primitiva $-\phi("covar.")$ della forma differenziale,
e si riporta in componenti controvarianti (in questo caso, appunto, coincidenti con le covarianti), e questo è il tuo potenziale:
$\phi("controvar.")=3/2k(x^1)^2+k(x^2)^2+cost.$
Se si lavorava in coordinate cilindriche per esempio, le componenti covarianti e controvarianti sarebbero state diverse.
@edit: avevo dimenticato, prima, il parametro k, ed il segno negatico per il potenziale. Pardon.
E volutamente ho segnato gli indici in alto -perchè quelle sono le componenti controvarianti della forza.
Per trovare il potenziale, bisogna passare all'espressione di una forma differenziale, in cui le componenti
sono covarianti. Poichè stiamo lavorando in ambiente cartesiano ortogonale, esse coincidono con le componenti controvarianti.
Cioè hanno lo stesso valore, seppure sono entità diverse.
La forma differenziale è dunque:
$\delta_"i1"F^1"d"x^1+\delta_"j2"F^2"d"x^2=3kx_1"d"x^1+2kx_2"d"x^2$
A questo punto si trova la primitiva $-\phi("covar.")$ della forma differenziale,
e si riporta in componenti controvarianti (in questo caso, appunto, coincidenti con le covarianti), e questo è il tuo potenziale:
$\phi("controvar.")=3/2k(x^1)^2+k(x^2)^2+cost.$
Se si lavorava in coordinate cilindriche per esempio, le componenti covarianti e controvarianti sarebbero state diverse.
@edit: avevo dimenticato, prima, il parametro k, ed il segno negatico per il potenziale. Pardon.
Qualche conferma su ciò che è giusto, ciò che è sbagliato, tutto giusto, tutto sbagliato?
Vi rimando anche al calcolo della energia cinetica, dove nel calcolo dell'energia cinetica di traslazione del triangolo rettangolo isoscele, dovrebbe venir fuori un termine 9/4 ml^2, è da un'ora che fisso il foglio, ma non capisco da dove debba spuntare.. ho ricontrollato pure l'impostazione delle coordinate del suo baricentro, non vedo dove possa aver sbagliato.-
http://imageshack.us/photo/my-images/171/ultimoah.jpg/
Vi rimando anche al calcolo della energia cinetica, dove nel calcolo dell'energia cinetica di traslazione del triangolo rettangolo isoscele, dovrebbe venir fuori un termine 9/4 ml^2, è da un'ora che fisso il foglio, ma non capisco da dove debba spuntare.. ho ricontrollato pure l'impostazione delle coordinate del suo baricentro, non vedo dove possa aver sbagliato.-
http://imageshack.us/photo/my-images/171/ultimoah.jpg/
Come hai calcolato le coordinate del centro di massa del triangolo?
Ho capito dove ho sbagliato, non ho tenuto conto della semibase da aggiungere alle coordinate in x di G.
Il potenziale invece è giusto?
Il potenziale invece è giusto?
Se qualcuno mi può confermare che il procedimento per il calcolo del potenziale è giusto glie ne sarei grato, ho provato a fare anche le configurazioni all'equilibrio e la stabilità, nel calcolo degli hessiani, soprattutto l'ultimo, ho qualche dubbio, non so come andare avanti.
http://imageshack.us/f/841/p1000558q.jpg/
Sono gli ultimi chiarimenti, tra pochi giorni ho l'esame: in particolare il mio professore su questo argomento del potenziale correlato alle forze conservative vuole insistere, potete darmi degli esercizi a questi(Cioè di forze definite da campi da cui calcolarne il potenziale)?
Ringrazio in anticipo.
http://imageshack.us/f/841/p1000558q.jpg/
Sono gli ultimi chiarimenti, tra pochi giorni ho l'esame: in particolare il mio professore su questo argomento del potenziale correlato alle forze conservative vuole insistere, potete darmi degli esercizi a questi(Cioè di forze definite da campi da cui calcolarne il potenziale)?
Ringrazio in anticipo.
Comunque il risultato del potenziale che ho scritto presenta 2 errori , alla decima riga al posto di 324 ci va un 348 e alla dodicesima al posto di 18l ci va 15l tenendo conto della base del triangolino.
Però, raga il potenziale così com'è non mi convince, ci son troppi termini si dovrebbe semplificare qualcosa!
Inoltre, siamo sicuri che io debba considerare U=-V e non semplicemente V per sostituire all'inizio le coordinate in funzione di phi ed s?
Però, raga il potenziale così com'è non mi convince, ci son troppi termini si dovrebbe semplificare qualcosa!
Inoltre, siamo sicuri che io debba considerare U=-V e non semplicemente V per sostituire all'inizio le coordinate in funzione di phi ed s?
Il potenziale dovrebbe essere $V(\phi,s)=-11/2ks^2+75kls+502kl^2cos^2\phi+348kl^2sen^2\phi-72kl^2cos\phisen\phi$.
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