Sistema meccanico complicato

[bug54]

mi trovo a svolgere il seguent esercizio


ho svolto il puno a) ma non trovo approccio per il punto b).
l'eq. del moto di mc:
mc ac = mu mc g (l'accelerazione ha verso positivo?)
mb ab = -T -mu(mb+mc)g + mu mc g ???

[RenzoDF]

Io farei in questo modo (anche se probabilmente ci sono metodi più rapidi): notando che sulla massa C e sul "treno" A + B le forze e quindi le accelerazioni sono costanti nel tempo, andrei a scivere le due velocità come funzioni lineari del tempo

$v_c=v_0-a_ct=\frac{I}{m_c}-a_ct$

e

$v_b=a_bt$

che portano a poter scrivere lo spazio $l$ percorso da C su B, come area di un trapezio che ha per base maggiore $v_0$ per base minore $U$ e per altezza il tempo $t_u$ impiegato per percorrere $l$

$l=\frac{(v_0+U)t_u}{2}=v_0t_u-\frac{(a_c+a_b)t_u^2}{2} \qquad (1)$

dove

$U=v_0-(a_c+a_b)t_u$

Dall'equazione (1) ricavo il tempo $t_u$, lo sostituisco in $U$ ed infine, esplicitando le accelerazioni, risolvo

$U=\sqrt{(\frac{I}{m_c})^2-\frac{2lm_ag}{m_a+m_b}(sin(\alpha)+\mu(1- cos(\alpha)))}$

[bug54]

Grande..
solo non mi è chiaro da dove sbuca la relazione di l come area del trapezio....non dovrebbe essere l = v0t - (1/2) a t^2 ?
ed inoltre ac ed ab come si scrivono?
come fanno ad essere entrambe funzioni di ma e mb? mc che fine fa?
Grazie

[RenzoDF]

"zorrok":... solo non mi è chiaro da dove sbuca la relazione di l come area del trapezio....non dovrebbe essere l = v0t - (1/2) a t^2 ?

Certo, nella relazione (1) c'è proprio quella classica forma, ho solo usato la più facile via geometrica, come alternativa alla solita via integrale; il trapezio lo vedi subito se tracci le due rette delle velocità

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 45 15 45 85 0
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 110 65 110 65 0
TY 50 15 4 3 0 0 0 * v
TY 99 68 4 3 0 0 0 * t
LI 45 30 85 60 0
LI 45 65 88 39 0
LI 60 55 60 55 0
LI 60 57 60 65 0
FCJ 0 0 3 1 1 0
TY 36 26 4 3 0 0 0 * vo
TY 58 68 4 3 0 0 0 * tu
TY 85 53 4 3 0 0 0 * vc
TY 83 31 4 3 0 0 0 * vb
TY 51 46 4 3 0 0 0 * l
LI 60 41 60 56 2
TY 62 46 4 3 0 0 2 * U
LI 30 65 100 65 15
FCJ 2 0 3 1 0 0[/fcd]

"zorrok":... ed inoltre ac ed ab come si scrivono? ... come fanno ad essere entrambe funzioni di ma e mb? mc che fine fa?

Scrivendo le forze che agiscono su C e su A+B, come avevi già indicato nel post iniziale, ovvero

$a_c=\frac{m_c\mug}{m_c}$

$a_b=\frac{m_agsin\alpha-m_a g \mucos\alpha-m_bg\mu}{m_a+m_b}$

e per entrambe considero (per comodità) solo il valore assoluto .

"zorrok":... come fanno ad essere entrambe funzioni di ma e mb? mc che fine fa?

Non sono entrambe funzioni di ma e mb, solo la $a_b$ lo è (per la quale il contributo di mc si annulla), mentre la $a_c$ dipende ovviamente solo dal coefficiente di attrito e da g.

[bug54]

Ora è tutto chiaro.
Un grande grazie.
Un bel compito di fisca 1, magari per fare un po' di selezione...