Sistema meccanico
Ebbene è arrivato il tempo delle Lagrangiane anche per me...e ovviamente tedio voi...
Riporto due problemi per entrambi ho dei dubbi... spero voi li chiariate...
Un sistema meccanico pesante, appartenente al piano verticale $Oxy$, x orizzontale e y verticale discendente, è costituito da 2 punti di ugual massa m. $P_1$ e $P_2$ sono collegati da una sbarretta di massa trascurabile in modo che la loro distanza assuma invariabilmente il valore l; $P_1$ è vincolare ad appartenere all'asse x. $P_2$ è collegato all'origine mediante una molla ideale di costante elastica k>0 e lunghezza a riposo nulla.
Scrivere la lagrangiana e le equazioni di lagrange.
Sia io che il proff siamo d'accordo sulle cordinate dei due punti $P_1(x,0)$ e $P_2(x+lsin theta, lcos theta)$ dove $x$ è la distanza di $P_1$ dall'origine e $theta$ è l'angolo tra la retta passante per $P_1$ e parallela all'asse $y$ e la retta che passa per i due punti.
L'energia cinetica è:
$T=1/2m(2dotx^2+2ldotxcostheta dot theta+l^2dot theta^2)$
L'enargia potenziale è:
$U=-mglcostheta+1/2k(x^2+l^2+2xlsintheta)$
Anche qui sono in accordo con il mio proff
Ora quando derivo non siamo più in accordo:
io trovo che:
$2mddotx+mlddotxdotthetacostheta+kx+klsintheta=0$
metre il proff:
$2mddotx+mlddotthetacostheta-mldot(theta)^2sintheta+kx+klsintheta=0$
Anche per la seconda equazione:
$ml^2ddottheta+mldotxddotthetacostheta-mldotxdotthetasintheta+mglsintheta+klcosthetax$
versione del proff...
$ml^2ddottheta+mlddotxcostheta-mldotxdotthetasintheta+mglsintheta+klcosthetax$
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo...
Riporto due problemi per entrambi ho dei dubbi... spero voi li chiariate...
Un sistema meccanico pesante, appartenente al piano verticale $Oxy$, x orizzontale e y verticale discendente, è costituito da 2 punti di ugual massa m. $P_1$ e $P_2$ sono collegati da una sbarretta di massa trascurabile in modo che la loro distanza assuma invariabilmente il valore l; $P_1$ è vincolare ad appartenere all'asse x. $P_2$ è collegato all'origine mediante una molla ideale di costante elastica k>0 e lunghezza a riposo nulla.
Scrivere la lagrangiana e le equazioni di lagrange.
Sia io che il proff siamo d'accordo sulle cordinate dei due punti $P_1(x,0)$ e $P_2(x+lsin theta, lcos theta)$ dove $x$ è la distanza di $P_1$ dall'origine e $theta$ è l'angolo tra la retta passante per $P_1$ e parallela all'asse $y$ e la retta che passa per i due punti.
L'energia cinetica è:
$T=1/2m(2dotx^2+2ldotxcostheta dot theta+l^2dot theta^2)$
L'enargia potenziale è:
$U=-mglcostheta+1/2k(x^2+l^2+2xlsintheta)$
Anche qui sono in accordo con il mio proff
Ora quando derivo non siamo più in accordo:
io trovo che:
$2mddotx+mlddotxdotthetacostheta+kx+klsintheta=0$
metre il proff:
$2mddotx+mlddotthetacostheta-mldot(theta)^2sintheta+kx+klsintheta=0$
Anche per la seconda equazione:
$ml^2ddottheta+mldotxddotthetacostheta-mldotxdotthetasintheta+mglsintheta+klcosthetax$
versione del proff...
$ml^2ddottheta+mlddotxcostheta-mldotxdotthetasintheta+mglsintheta+klcosthetax$
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo...
Risposte
A dire il vero la seconda del tuo prof non mi torna, perché mi pare che un elemento sparisca... ma forse mi sono incasinato pure io.
Ad ogni modo ti metto i miei calcoli.
Se l'energia cinetica e potenziale sono quelli che dici tu (non l'ho verificato, lo riporto soltanto), allora si ha:
[tex]\begin{array}{l}
L = T - V = m{{\dot x}^2} + ml\dot x\dot \theta \cos \theta + \frac{1}{2}m{l^2}{{\dot \theta }^2} + mgl\cos \theta - \frac{1}{2}k{x^2} - kxl\sin \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}} \right] - \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 0 \\
\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \theta }}} \right] - \frac{{\partial L}}{{\partial \theta }} = 0 \\
\\
\\
\\
\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} = 2m\dot x + ml\dot \theta \cos \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left( {2m\dot x + ml\dot \theta \cos \theta } \right) = 2m\ddot x + ml\ddot \theta \cos \theta - ml{{\dot \theta }^2}\sin \theta \\
\\
- \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = kx + kl\sin \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}} \right] - \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 2m\ddot x + ml\ddot \theta \cos \theta - ml{{\dot \theta }^2}\sin \theta + kx + kl\sin \theta \\
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \theta }} = ml\dot x\cos \theta + m{l^2}\dot \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left( {ml\dot x\cos \theta + m{l^2}\dot \theta } \right) = ml\ddot x\cos \theta - ml\dot x\dot \theta \sin \theta + m{l^2}\ddot \theta \\
\\
- \frac{{\partial L}}{{\partial \theta }} = ml\dot x\dot \theta \sin \theta + mgl\sin \theta + kxl\cos \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \theta }}} \right] - \frac{{\partial L}}{{\partial \theta }} = ml\ddot x\cos \theta + m{l^2}\ddot \theta + mgl\sin \theta + kxl\cos \theta \\
\end{array}[/tex]
O almeno così mi pare.
Forse la tua confusione sta nel non aver fatto ordinatamente prima la derivata parziale della lagrangiana rispetto alla velocità e poi la derivata totale di questa rispetto al tempo.
(ti confesso che la lagrangiana non mi sta affatto simpatica
)
Ad ogni modo ti metto i miei calcoli.
Se l'energia cinetica e potenziale sono quelli che dici tu (non l'ho verificato, lo riporto soltanto), allora si ha:
[tex]\begin{array}{l}
L = T - V = m{{\dot x}^2} + ml\dot x\dot \theta \cos \theta + \frac{1}{2}m{l^2}{{\dot \theta }^2} + mgl\cos \theta - \frac{1}{2}k{x^2} - kxl\sin \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}} \right] - \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 0 \\
\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \theta }}} \right] - \frac{{\partial L}}{{\partial \theta }} = 0 \\
\\
\\
\\
\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} = 2m\dot x + ml\dot \theta \cos \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left( {2m\dot x + ml\dot \theta \cos \theta } \right) = 2m\ddot x + ml\ddot \theta \cos \theta - ml{{\dot \theta }^2}\sin \theta \\
\\
- \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = kx + kl\sin \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}} \right] - \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 2m\ddot x + ml\ddot \theta \cos \theta - ml{{\dot \theta }^2}\sin \theta + kx + kl\sin \theta \\
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \theta }} = ml\dot x\cos \theta + m{l^2}\dot \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left( {ml\dot x\cos \theta + m{l^2}\dot \theta } \right) = ml\ddot x\cos \theta - ml\dot x\dot \theta \sin \theta + m{l^2}\ddot \theta \\
\\
- \frac{{\partial L}}{{\partial \theta }} = ml\dot x\dot \theta \sin \theta + mgl\sin \theta + kxl\cos \theta \\
\\
\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \theta }}} \right] - \frac{{\partial L}}{{\partial \theta }} = ml\ddot x\cos \theta + m{l^2}\ddot \theta + mgl\sin \theta + kxl\cos \theta \\
\end{array}[/tex]
O almeno così mi pare.
Forse la tua confusione sta nel non aver fatto ordinatamente prima la derivata parziale della lagrangiana rispetto alla velocità e poi la derivata totale di questa rispetto al tempo.
(ti confesso che la lagrangiana non mi sta affatto simpatica
)
Falco controllo i calcoli domani mattina appena mi sveglio... ora non credo di essere nella fase giusta.
Grazie ci aggiorniamo domani, mi svegliero con una speranza ;D
Grazie ci aggiorniamo domani, mi svegliero con una speranza ;D
hai semplicemente sbagliato a derivare.. come ha fatto Falco è giusto
GRAZIE FALCO!!!!
Torna tutto, sbagliavo a derivare, derivavo rispetto al tempo solo $tetha$ e solo $x$ invece sono come hai fatto tu derivate totali rispetto al tempo!
Grazie ancora un bacio Mari.
Torna tutto, sbagliavo a derivare, derivavo rispetto al tempo solo $tetha$ e solo $x$ invece sono come hai fatto tu derivate totali rispetto al tempo!
Grazie ancora un bacio Mari.
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