Sistema in moto circolare uniforme

[Giacomo9992]

Il sistema disegnato in figura è formato da quattro aste rigide incernierate di massa trascurabile e lunghezza $l=0,127 m$, due masse laterali di massa $m=1,61 kg$ e una massa inferiore $M=3,67kg$. Esso si trova in rotazione attorno al suo asse verticale, e tutti i giunti sono privi di attrito. Si osserva che l'angolo è di $theta=20,6°$. Qual'è velocità angolare con cui il sistema sta ruotando? ( $omega =271 (rad)/s $)



Io ho inizialmente pensato che le forze esercitate dalle sbarrette fossero dirette lungo le sbarrette stesse, in pratica le ho trattate come se fossero dei fili e infatti non ne sono tanto sicuro.
Asse x orizzontale alla figura e asse y verticale alla figura
Quindi per le due masse $m$ le componenti verticali delle forze agenti sono:
$T_1 cos(theta)-T_2 cos(theta)-mg=0 $ 1° equazione
Mentre per quella inferiore (sempre asse y):
$2T_2cos(theta)=Mg$ 2° equazione
Mentre facendo il bilancio per entrambe le masse sull'asse x:
$ T_1sin(theta) + T_2 sin(theta) = m(omega)^2 l sin(theta) $ (massa $m$) 3° equazione
Metntre per la massa $ M $ le componenti sull'asse x si elidono indipendentemente dalla velocità angolare.
Mettendo a sistema le tre equazioni ottengo una soluzione errata, molto più piccola di quanto dovrebbe venire

$(omega)^2 = g/(lcos(theta)) (1+M/(4m)) $
Grazie mille, in anticipo!!

[professorkappa]

Guarda, questi problemi si risolvono bene col principio dei lavori virtuali:.
Nel tuo caso hai:
Forze agenti sulle masse m: forza peso e forza centrifuga.
Forza agente sulla massa M. Forza peso.

Asse y del sistema di riferimento rivolto verso il basso.
Posizione dell masse in funzione di $\theta$
PLV:

$dL=2mgdy_1+Mgdy_2+2m\omega^2x_1dx_1$.

Ora:
$y_1=Lcos\theta$ Per cui $dy_1=-Lsin\thetad\theta$
$x_1=Lsin\theta$ Per cui $x_1=Lcos\thetad\theta$
$y_2=2Lcos\theta$ Per cui $dy_2=-2Lsin\thetad\theta$

Sostituendo e imponendo che ${dL}/{d\theta}=0$

$-2mgLsin\theta-2MgLsin\theta+2m\omega^2L^2sin\thetacos\theta=0$

Siccome $2Lsin\theta!=0$ semplifichi

$-mg-Mg+m\omega^2Lcos\theta=0$ e ottieni $omega^2={(M+m)g}/{mLcos\theta}$

[Giacomo9992]

Perfetto, non conoscevo questo principio ma mi sembra molto utile, credo come al solito che ci sia un errore nel risultato ovvero veniva fornito $ omega^2$ e non $ omega$. Ho cercato di capire il principio attraverso internet e proverò ad applicarlo ad altri sistemi in equilibro!! Grazie mille!